平面向量同步练习

平面向量的概念及线性运算A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为 ()A．1B．2C．3D．42．设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则 ()A.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0B.eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝03．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ()A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))二、填空题(每小题5分，共15分)5．设a、b是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．6．在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝___(用a，b表示)．7．给出下列命题：①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．三、解答题(共22分)8．(10分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？9．(12分)在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·浙江)设a，b是两个非零向量． ()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|2．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m等于A．2 B．3 C．4 D．53．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 ()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形ABCD是梯形，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线．5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为________．6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝________.三、解答题7．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))；(2)若PQ过△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝nb，求证：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，则BC等于 ()A.eq\r(3) B.eq\r(7) C．2eq\r(2) D.eq\r(23)2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．23．(2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)等于 A．2 B．4 C．5 D．10二、填空题(每小题5分，共15分)4．(2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.5．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是________．(2012·上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的取值范围是________．三、解答题7．(13分)设平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量eq\r(3)a＋b与a－eq\r(3)b的模相等时，求α的大小．平面向量的应用A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC中，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，则△ABC为()A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3) C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)3．已知P是△ABC所在平面内一点，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题(每小题5分，共15分)5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，那么c＝________.6．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))≤1,0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))≤1，则z＝eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值为________．7．已知在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，a·b<0，S△ABC＝eq\f(15,4)，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.三、解答题(共22分)8．(10分)已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.9．(12分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．(1)若x＝eq\f(π,6)，求向量a与c的夹角；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(9π,8)))时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．平面上O，A，B三点不共线，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则△OAB的面积等于()A.eq\r(|a|2|b|2－a·b2)B.eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)C.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2)D.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)2.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝eq\r(7)，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于 ()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2