平面向量的数量积练习题

§5.3平面向量的数量积一、选择题1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4 B．3C．2 D．0解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案：D2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b，则向量a与c的夹角为()A．0B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)解析∵a·c＝a·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·a,a·b)))b))＝a·a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a·b)))a·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝eq\f(π,2)，故选D.答案D3.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于（）ABC.0D.-1解析正确的是C.答案C4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()．A．－4 B．4 C．－2 D．2解析设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2,3)，∴|a|cosθ＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－4.答案A5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()．A.eq\r(2)－1 B．1 C.eq\r(2) D．2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·故|a＋b－c|≤1.答案B6．已知非零向量a、b满足|a|＝eq\r(3)|b|，若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))解析∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有两不相等的实根，∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即a·b＜eq\f(1,2)|a|2，∵cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，|a|＝eq\r(3)|b|，∴cos〈a，b〉＜eq\f(\f(1,2)|a|2,|a||b|)＝eq\f(\r(3),2)，∵0≤〈a，b〉≤π，∴eq\f(π,6)＜〈a，b〉≤π.答案D7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()．∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，cos∠BAC＝eq\f(3,5)，cos∠BCA＝eq\f(4,5)，∴eq\o(BC,\s\up16(→))和eq\o(CA,\s\up16(→))夹角的余弦值为－eq\f(4,5)，eq\o(CA,\s\up16(→))和eq\o(AB,\s\up16(→))夹角的余弦值为－eq\f(3,5)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－25.16．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．思路分析转化为(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．解析由已知得eeq\o\al(2,1)＝4，eeq\o\al(2,2)＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2teeq\o\al(2,1)＋(2t2＋7)e1·e2＋7teeq\o\al(2,2)＝2t2＋15t＋7.欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0.得－7＜t＜－eq\f(1,2).设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t＝λ，,7＝tλ.))∴2t2＝7.∴t＝－eq\f(\r(14),2)，此时λ＝－eq\r(14).即t＝－eq\f(\r(14),2)时，向量2te1＋