【创新设计】2021高考数学(四川专用-理科)二轮补偿练6

补偿练6平面对量与解三角形(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(－2，k)，若向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则实数k＝ ()．A．4 B．3C．2 D．1解析由于A(1,3)，B(－2，k)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，k－3)，由于eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.答案A2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为 ()．A．－2 B．－eq\f(1,3)C．－1 D．－eq\f(2,3)解析由题知λa＋b＝(λ＋2,2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案C3.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝ ()．A.eq\o(OH,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))C.eq\o(EO,\s\up6(→))D.eq\o(FO,\s\up6(→))解析以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(3,2)，而恰好eq\o(FO,\s\up6(→))＝(3,2)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→)).答案D4．在平面四边形ABCD中，满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是 ()．A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形解析由于eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD是平行四边形，又(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以四边形的对角线相互垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案C5．在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中肯定成立的是 ()．A．B＞30°B．A＝2BC．c＜bD．S≤b2解析由三角形的面积公式知S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)2b·bsinC＝b2sinC，由于0＜sinC≤1，所以b2sinC≤b2，即S≤b2.答案D6．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是A．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞)D．[－3,3)解析由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，eq\f(m,1)≠eq\f(2m－3,3)，得m≠－3.答案B7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，则角B等于 ()．A．90° B．60°C．45° D．30°解析由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sinCsinC，由于sin(B＋A)＝sinC，所以sinC＝1，C＝90°，依据三角形面积公式和余弦定理得，S＝eq\f(1,2)bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,4)·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.答案C8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于 ()．A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)解析由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×eq\f(1,2)absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(absinC－2ab,2ab)＝eq\f(sinC,2)－1，所以cosC＋1＝eq\f(sinC,2)，即2cos2eq\f(C,2)＝sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)，所以taneq\f(C,2)＝2，即tanC＝eq\f(2tan\f(C,2),1－tan2\f(C,2))＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).答案C9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积为 ()．A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,10) D.eq\f(6,5)解析依题意得，(3eq\o(OA,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→)))2＝(－4eq\o(OB,\s\up6(→)))2,9eq\o(OA,\s\up6(→))2＋25eq\o(OC,\s\up6(→))2＋30eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝16eq\o(OB,\s\up6(→))2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－eq\f(3,5)，sin∠AOC＝eq\r(1－cos2∠AOC)＝eq\f(4,5)，△AOC的面积为eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|sin∠AOC＝eq\f(2,5).答案A10．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是 ()．A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．1解析∵a与b的夹角为60°，且b为单位向量，∴a·b＝eq\f(|a|,2)，|ta－b|＝eq\r(ta－b2)＝eq\r(|a|2t2－|a|t＋1)＝eq\r(|a|2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2|a|)))2＋\f(3,4))≥eq\f(\r(3),2).答案C二、填空题11．若向量m＝(1,2)，n＝(x,1)满足m⊥n，则|n|＝__________.解析∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，∴|n|＝eq\r(－22＋12)＝eq\r(5).答案eq\r(5)12．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则BC的长为________．解析S＝eq\f(1,2)×AB·ACsin60°＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3).答案eq\r(3)13．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，则角C的大小为________．解析依题意得acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝eq\f(π,2)，C＝eq\f(π,2).答案eq\f(π,2)14.在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝________.解析由于eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＝1.答案115．给出以下结论：①在三角形ABC中，若a＝5，b＝8，C＝60°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝20；②已知正方形ABCD的边长为1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)；③已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．其中正确结论的序号为__________．解析对于①，Beq\o(C,\s\up6(→))·Ceq\o(A,\s\up6(→))＝abcos(π－C)＝－abcosC＝－20；对于②，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq