【优化方案】2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第9章-第9课时

[基础达标]一、选择题1．(2022·安徽芜湖质检)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2 B．2－4C．3·2－10 D．2－8解析：选C.E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝eq\f(1,2)，n＝12，则P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\f(1,2)·(eq\f(1,2))11＝3·2－10.2．(2022·孝感市高三统一考试)设随机变量ξ听从正态分布N(3，22)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为()A.eq\f(7,3) B.eq\f(5,3)C．5 D．3解析：选A.由题意，正态曲线关于直线x＝3对称，所以(2a－3)＋(a＋2)＝2×3，解得a＝eq\f(7,3).3．(2022·甘肃嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6解析：选B.由题意可知，X可以取3，4，5，6，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.4．袋中装有大小相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选D.依题意得，ξ的全部可能取值是0，1，2，且P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,7)·Aeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，因此E(ξ)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).5．体育课的排球发球项目考试的规章是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则始终发到3次为止．设同学一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：选C.发球次数X的分布列如下表：X123Pp(1－p)p(1－p)2所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)(舍去)或p<eq\f(1,2).又p>0，则0<p<eq\f(1,2).二、填空题6．(2022·安徽阜阳质检)某项玩耍活动的嘉奖分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该玩耍获得资金的期望为________元．解析：a1＋2a1＋4a1＝1，∴a1＝eq\f(1,7)，E(ξ)＝eq\f(1,7)×700＋eq\f(2,7)×560＋eq\f(4,7)×420＝500(元)．答案：5007．已知某次英语考试的成果X听从正态分布N(116，82)，则10000名考生中成果在140分以上的人数为________．解析：由已知得μ＝116，σ＝8.∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974，∴P(X＞140)＝eq\f(1,2)(1－0.9974)＝0.0013，∴成果在140分以上的人数为13.答案：138．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为eq\f(2,3)，此人得分的数学期望与方差分别为________．解析：记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则η～B(3，eq\f(2,3))，ξ＝10η，∴E(ξ)＝10E(η)＝10×3×eq\f(2,3)＝20，D(ξ)＝100D(η)＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(200,3).答案：20，eq\f(200,3)三、解答题9．(2022·河北石家庄市高中毕业班质检)某市的训练争辩机构对全市高三同学进行综合素养测试，随机抽取了部分同学的成果，得到如图所示的成果频率分布直方图．(1)估量全市同学综合素养成果的平均值；(2)若评定成果不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市同学中任选3名同学(看作有放回地抽样)，变量ξ表示3名同学中成果优秀的人数，求变量ξ的分布列及期望E(ξ)．解：(1)依题意可知55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6，所以综合素养成果的平均值为74.6.(2)由频率分布直方图知优秀率为10×(0.008＋0.022)＝0.3，由题意知，ξ～B(3，eq\f(3,10))，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(3,10))k(eq\f(7,10))3－k，故其分布列为ξ0123Peq\f(343,1000)eq\f(441,1000)eq\f(189,1000)eq\f(27,1000)E(ξ)＝3×eq\f(3,10)＝eq\f(9,10).10．(2022·武汉市高三供题训练)某争辩小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验，预备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨摸拟试验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响．(1)求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率；(2)考虑到旱情和水土流失，假如甲地恰需中雨即能达到抱负状态，乙地必需是大雨才能达到抱负状态，丙地只要是小雨或中雨就能达到抱负状态，求降雨量达到抱负状态的地方个数的概率分布与数学期望．解：(1)记“甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨”为大事A，则P(A)＝eq\f(6,12)×eq\f(6,12)×eq\f(8,12)＝eq\f(1,6).所以甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率为eq\f(1,6).(2)甲、乙、丙三地能达到抱负状态的概率分别为eq\f(1,2)、eq\f(1,4)、eq\f(5,6)，记降雨量达到抱负状态的地方个数为ξ，则ξ的可能取值为0、1、2、3，又P(ξ＝0)＝(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,4))×(1－eq\f(5,6))＝eq\f(3,48)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(5,6)＝eq\f(19,48)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(5,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(5,6)＝eq\f(21,48)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,48).ξ的概率分布为：ξ0123Peq\f(3,48)eq\f(19,48)eq\f(21,48)eq\f(5,48)∴E(ξ)＝0×eq\f(3,48)＋1×eq\f(19,48)＋2×eq\f(21,48)＋3×eq\f(5,48)＝eq\f(19,12).[力气提升]1．(2022·湖北省高三适应性考试)某车站每天上午支配A、B两种型号的客车运送旅客，A型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B型车发车时刻可能是9：00，9：20,9：40.两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表：频数频率A型车8：00发车250.25A型车8：20发车m0.50A型车8：40发车250.25B型车9：00发车250.25B型车9：20发车500.50B型车9：40发车25n(1)直接写出表中的m，n的值；(2)某旅客8：10到达车站乘车，依据上表反映出的客车发车规律，①求该旅客能乘上A型客车的概率；②求该旅客候车时间ξ(单位：分钟)的分布列和数学期望．(注：将频率视为概率)解：(1)m＝50，n＝0.25.(2)①设某旅客8：20，8：40乘上车分别为大事A，B，则A，B互斥．∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).②可能取值为ξ＝10，30，50，70，90，则P(ξ＝10)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝30)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝50)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，P(ξ＝70)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝90)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).故ξ的分布列是ξ1030507090Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,16)eq\f(1,8)eq\f(1,16)∴E(ξ)＝10×eq\f(1,2)＋30×eq\f(1,4)＋50×eq\f(1,16)＋70×eq\f(1,8)＋90×eq\f(1,16)＝30.2．(2022·武汉市高三供题)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参与学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)在男生甲被选中的状况下，求女生乙也被选中的概率．解：(1)ξ的可能取值为0，1，2，依题意得：P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为大事C，则P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，∴所求概率为P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－P(C)＝eq\f(4,5).(3)设“男生甲被选中”为大事A，“女生乙被选中”为大事B，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，∴在男生甲被选中的状况下，女生乙也被选中的概率为P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(2,5).3．(2022·北京东城区统一检测)为迎接6月16日的“全国爱眼日”，某高中学校同学会随机抽取16名同学，经校医用对数视力表检查得到每个同学的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.同学视力测试结果435666777889950112(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是