【全程复习方略】2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第六章-第六节直接证明与间接证明

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十)一、选择题1.(2021·潍坊模拟)在证明命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”中应用了()(A)分析法(B)综合法(C)分析法和综合法综合使用(D)间接证法2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明()(A)2ab-1-a2b2≤0 (B)a2+b2-1-QUOTE≤0(C)QUOTE-1-a2b2≤0 (D)(a2-1)(b2-1)≥03.假如a<0,b<0,则必有()(A)a3+b3≥ab2+a2b(B)a3+b3≤ab2+a2b(C)a3+b3>ab2+a2b(D)a3+b3<ab2+a2b4.若实数a,b满足a+b<0,则()(A)a,b都小于0(B)a,b都大于0(C)a,b中至少有一个大于0(D)a,b中至少有一个小于05.若P=QUOTE+QUOTE,Q=QUOTE+QUOTE(a≥0),则P,Q的大小关系是()(A)P>Q (B)P=Q(C)P<Q (D)由a的取值确定6.(2021·郑州模拟)若|logaQUOTE|=logaQUOTE,|logba|=-logba,则a,b满足的条件是()(A)a>1,b>1 (B)0<a<1,b>1(C)a>1,0<b<1 (D)0<a<1,0<b<17.(2021·惠州模拟)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为()(A)(2-QUOTE,2+QUOTE) (B)[2-QUOTE,2+QUOTE](C)[1,3] (D)(1,3)8.已知a,b,c都是负数,则三数a+QUOTE,b+QUOTE,c+QUOTE()(A)都不大于-2(B)都不小于-2(C)至少有一个不大于-2(D)至少有一个不小于-2二、填空题9.设P=QUOTE,Q=QUOTE-QUOTE,R=QUOTE-QUOTE,则P,Q,R的大小挨次是.10.(2021·揭阳模拟)已知x>0,y>0,若QUOTE+QUOTE>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是.11.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意的m,n∈N*都有:(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.(2)f(m+1,1)=2f(m,1).给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有.三、解答题12.已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.13.(2022·福建高考)某同学在一次争辩性学习中发觉,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°.(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°.(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°.(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°.(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.②依据①的计算结果,将该同学的发觉推广为三角恒等式,并证明你的结论.14.(1)求证:当a>1时,不等式a3+QUOTE>a2+QUOTE成立.(2)要使上述不等式成立,能否将条件“a>1”适当放宽?若能,请放宽条件,并简述理由;若不能,也请说明理由.(3)请你依据(1)(2)的结果,写出一个更为一般的结论,且予以证明.答案解析1.【解析】选B.从已知条件动身,推出要证的结论,满足综合法.2.【解析】选D.a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.3.【解析】选B.(a3+b3)-(ab2+a2b)=(a3-ab2)-(a2b-b3)=a(a2-b2)-b(a2-b2)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b),由于a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0,于是(a3+b3)-(ab2+a2b)≤0,故a3+b3≤ab2+a2b.4.【解析】选D.假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相冲突,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.5.【解析】选C.要比较P,Q的大小关系,只要比较P2,Q2的大小关系,只要比较2a+7+2QUOTE与2a+7+2QUOTE的大小,只要比较QUOTE与QUOTE的大小,即比较a2+7a与a2+7a+12的大小,只要比较0与12的大小,∵0<12,∴P<Q.【变式备选】在不等边三角形ABC中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是()(A)a2<b2+c2 (B)a2=b2+c2(C)a2>b2+c2 (D)a2≤b2+c2【解析】选C.当A为钝角时,cosA<0,因此QUOTE<0,于是a2>b2+c2.6.【思路点拨】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a和b的范围.【解析】选B.∵|logaQUOTE|=logaQUOTE,∴logaQUOTE≥0=loga1,依据对数函数的单调性可知0<a<1.∵|logba|=-logba,∴logba≤0=logb1,但b≠1,所以依据对数函数的单调性可知b>1.7.【解析】选A.由题可知f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b)∈(-1,1],即-b2+4b-3>-1,解得2-QUOTE<b<2+QUOTE.8.【解析】选C.假设三个数都大于-2,即a+QUOTE>-2,b+QUOTE>-2,c+QUOTE>-2,则得到(a+QUOTE)+(b+QUOTE)+(c+QUOTE)>-6.而a,b,c都是负数,所以(a+QUOTE)+(b+QUOTE)+(c+QUOTE)=(a+QUOTE)+(b+QUOTE)+(c+QUOTE)≤-2QUOTE-2QUOTE-2QUOTE=-6,这与(a+QUOTE)+(b+QUOTE)+(c+QUOTE)>-6冲突,因此三个数中至少有一个不大于-2.【变式备选】证明:若正数a,b,c满足abc>8,则a,b,c中至少有一个大于2.【解析】假设a,b,c都不大于2,即0<a≤2,0<b≤2,0<c≤2,所以0<abc≤8,这与abc>8冲突,因此a,b,c中至少有一个大于2.9.【解析】∵P=QUOTE,Q=QUOTE,R=QUOTE,而2QUOTE<QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE,∴QUOTE>QUOTE>QUOTE,故QUOTE>QUOTE>QUOTE,即P>R>Q.答案:P>R>Q10.【解析】由于x>0,y>0,所以QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=8,当且仅当y=2x时等号成立.若QUOTE+QUOTE>m2+2m恒成立,则8>m2+2m,解得-4<m<2.答案:(-4,2)11.【解析】在(1)式中令m=1可得f(1,n+1)=f(1,n)+2,则f(1,5)=f(1,4)+2=…=9;在(2)式中,由f(m+1,1)=2f(m,1)得,f(5,1)=2f(4,1)=…=16f(1,1)=16,从而f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确.答案:①②③12.【证明】假设a,b,c,d都是非负数,由于a+b=c+d=1,所以a,b,c,d∈[0,1],所以ac≤QUOTE≤QUOTE,bd≤QUOTE≤QUOTE,所以ac+bd≤QUOTE+QUOTE=1,这与已知ac+bd>1相冲突,所以原假设不成立,即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.13.【解析】①选择(2)式计算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-QUOTEsin30°=QUOTE.②三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=QUOTE.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+QUOTEcos2α+QUOTEsinαcosα+QUOTEsin2α-QUOTEsinαcosα-QUOTEsin2α=QUOTEsin2α+QUOTEcos2α=QUOTE.14.【解析】(1)a3+QUOTE-a2-QUOTE=QUOTE(a-1)(a5-1),由于a>1,所以QUOTE(a-1)(a5-1)>0,故原不等式成立.(2)能将条件“a>1”适当放宽.理由如下:由于a-1与a5-1对于任意的a>0且a≠1都保持同号,所以上述不等式对任何a>0且a≠1都成立,故条件可以放宽为a>0且a≠(3)依据(1)(2)的证明,