【原创】江苏省2020-2021学年高一数学必修二本章检测及答案：14立体几何综合

本章检测：立体几何综合试题1．在三棱锥中,,分别是的中点,,则异面直线与所成的角为．2．[2022·长春质检]如图，四棱锥P－ABCD的底面是始终角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．3．[2022·辽宁高考]已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．4．在正三棱柱中，各棱长均相等，的交点为，则与平面所成角的大小是_______．5．正方体的棱长为1，为的中点，为线段的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是①当时，为四边形②当时，为等腰梯形③当时，与的交点满足④当时，为六边形⑤当时，的面积为6．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P在正方体的表面上运动，则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于．7．右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是.8．在直角梯形ABCD中，AB=2DC=2AD=2,∠DAB=∠ADC=90°，将△DBC沿BD向上折起，使面ABD垂直于面BDC，则C－DAB三棱锥的外接球的体积为________.9．已知平面、、及直线，，，，，，以此作为条件得出下面三个结论：①②③，其中正确结论是10．已知三棱锥的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两相互垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为．11．设为两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，，，则；②若相交且不垂直，则不垂直；③若，则n⊥；④若，则．其中全部真命题的序号是．12．已知三条不同的直线,c和平面，有以下六个命题：①若②若异面③若④若⑤若直线异面，异面，则异面⑥若直线相交，相交，则相交其中是真命题的编号为____。13．已知正△ABC的边长为,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.（1）试推断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;（2）若棱锥E-DFC的体积为,求的值;（3）在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF？假如存在,求出的值;假如不存在,请说明理由.14．如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，，（1）.（2）证明：平面SBC⊥平面SAB.15．（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，底面，，E、F分别是棱的中点.（1）求证：AB⊥平面AA1C（2）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由；（3）证明：⊥A1C.16．四棱锥底面是菱形，，,分别是的中点.（1）求证：平面⊥平面；（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的正切值.17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面．（Ⅰ）若，分别为，中点，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，求证：平面平面．参考答案1．【解析】题分析：取中点,连接．则中,∥且,中,∥且,所以为所求．中,,所以．考点：异面直线所成角．2．平行【解析】取PD的中点F，连接EF，在△PCD中，EF=CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF=AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.3．【解析】依题意，以PA，PB，PC为棱构造如图所示的正方体，且此球为正方体的外接球，PD1为球的直径，PD1的中点O为球心，由PD1＝2，可得PA＝PB＝PC＝2，由等积法可得三棱锥P－ABC的高为，∴球心O到平面ABC的距离为－＝.4．【解析】试题分析：如图所示取BC中点E，连接AE，DE，易得与平面所成角为，设正三棱柱棱长为2，则等边三角形ABC，边上的中线，，直角三角形中考点：直线与平面所成的角.5．①②③⑤【解析】试题分析：如图，当时，，即Q为CC1中点，此时可得，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③时，如图，延长DD1至N，使，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证，由1，可得，故可、得，故正确；④由③可知当时，只需点Q上移即可，此时的截面外形仍旧上图所示的APQRS，明显为五边形，故错误；⑤当时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为，故正确．考点：空间图形与平面图形的关系6．【解析】试题分析：取的中点、，连接，则平面，设在平面中的射影为，过与平面平行的平面为，∴能使与垂直的点所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形的周长相等，∴正方形等于的棱长为1，∴矩形的周长为.考点：立体几何中的轨迹问题.7．4【解析】试题分析：由斜二测画法可知原图应为：

其面积为：故答案为4.考点：平面图形的直观图.8．【解析】试题分析：设中点为，,球心满足，设，解三角形可知，考点：空间线面位置关系及三棱锥外接球点评：要求球的体积，首先要求出半径，关键是找到球心的位置，依据球心到4个顶点距离相等及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般可确定下球心在过BD中点且垂直于平面ABD的直线上9．②【解析】10．18【解析】依题意知，PA,PB,PC两两垂直，以PA,PB,PC为棱构造长方体，则该长方体的对角线即为球的直径，所以11．④【解析】解：利用两条直线同时平行于同一个平面，不肯定能推出面面平行，因此1错误2中，若相交且不垂直，则可能垂直，错误3中，，则n有可能垂直，也可能不垂直，错误。只有4成立。12．③【解析】略13．（1）平行；（2）；（3）存在AP：AC=1：3【解析】试题分析：（1）由于E、F分别是AC和BC边的中点，所以在翻折后的三角形ABC中，.由线面平行的判定定理可得结论.（2）由棱锥E-DFC的体积为，由于△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，并且平面BCD，即由三棱锥的体积公式，即可求出结论.（3）在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF,即转化为直线与平面垂直的问题，假设存在点P作,k为垂足，连结BK即可得到直线DF平面BPK，所以可得.通过三角形的相像即可得到所求的结论.(1)AB//平面DEF,如图.在△ABC中,∵E,F分别是AC,BC的中点,故EF//AB,又AB平面DEF,∴AB//平面DEF,4分(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD,将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2,a=2.8分(3)存在满足条件的点P.做法：由于三角形BDF为正三角形,过B做BK⊥DF,延长BK交DC于K,过K做KP//DA,交AC于P.则点P即为所求.证明：∵AD⊥平面BCD,KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.故AP：OC=1：2,AP：AC=1：312分考点：1.图形的翻折.2.线面间的位置关系.3.开放性题的等价变换.4.空间想象力.14．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简洁记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，把握化归与转化思想方法是解决这类题的关键.试题解析：（1）连结，延长交于点，则，∴为正三角形，∴又，∴因此，为正三角形，∴，∴.（2）由题意，为等腰三角形，，∴，又，∴，∴∵⊥底面，底面，∴，又，∴⊥平面又∴平面⊥平面.考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）平面与平面垂直的判定.15．（1）详见解析；（2）是线段的中点；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）求证：AB⊥平面AA1C1C，证明线面垂直，只需证明线线垂直，即在平面找两条直线与垂直，由已知平面，故，且，故可证得结论；（2）线段上的点满足平面平面，且面面，面面，由面面平行的性质可以得到，在中，已知是的中点，由中位线定理，即可确定点的位置；（3）证明：⊥A1C，证明线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，留意到四边形是一个正方形，则，易证，可得平面，由（2）知平面平面，从而得平面，即可证得结论．（1）底面，，2分，，面.4分（2）面//面，面面，面面，//，7分在中是棱的中点，是线段的中点.8分（3）三棱柱中侧面是菱形，，9分由（1）可得，，面，11分.12分又分别为棱的中点，//，13分.14分考点：线面垂直的判定，线面垂直的性质，面面平行的性质．16．（1）参考解析；（2）【解析】试题分析：（1）由已知可得直线AE垂直于BC，即可得到AE垂直于AD，又由于PA垂直于AE.所以可得AE垂直于平面PAD.即可得平面要证平面⊥平面.（2）通过点E作EG垂直于AF，EQ垂直于AC，连结QG即可证得为所求的二面角的平面角.由与平面所成的最大角为.可得AE=AH.即可得EQ,QG的大小.从求得的正切值，即二面角的正切值.（1）设菱形ABCD的边长为2a，则AE=,∴AE⊥BC,又AD||BC,∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AE,AE⊥面PAD,∴面AEF⊥面PAD.（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.过点A作AH⊥PD，连接EH，∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.∵∠AHE＝，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒,PA=2,PC=4a,EQ=,CQ=,GQ=,tan∠EGQ=.考点：1.面面垂直的判定.2.动点问题.3.二面角问题.17．（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行.，分别为，中点，在△中，是中点，是中点，所以∥．又由于平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由面面垂直性质定理可得线面垂直，由于平面底面，且平面平面，又，平面，所以面．又由于平面，所以．即．（Ⅲ）证明面面垂直，关键找出线面垂直.在△中，由于，所以．由（Ⅱ）可知，且，所以平面．又由于平面，所以平面平面．证明：（Ⅰ）如图，连结．由于底面是正方形，所以与相互平分．又由于是中点，所以是