【优化设计】2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第一章章末综合检测

(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)在x＝1处的导数为1，则eq\f(f1－x－f1＋x,3x)的值为()A．3 B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解析：选D.由题意知f′(1)＝eq\f(f1＋x－f1,x)＝1，∴eq\f(f1－x－f1＋x,3x)＝eq\f(1,3)eq\f(f1－x－f1－[f1＋x－f1],x)＝eq\f(1,3)[－f′(1)－f′(1)]＝－eq\f(2,3).2．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式可以为()A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4＋1C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝－x4解析：选C.由f′(x)＝4x3，可设f(x)＝x4＋c(c为常数)，由f(1)＝－1得－1＝1＋c，∴c＝－2.3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4 B．－eq\f(1,4)C．2 D．－eq\f(1,2)解析：选A.由已知g′(1)＝2，而f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2×1＝4，故选A.4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．1解析：选A.y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，点(0,2)处的切线方程为y－2＝－2x.令y＝0得x＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2＝－2x,y＝x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(2,3)，))∴S＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×1＝eq\f(1,3).5．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是()A．y＝2－3x2 B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,x－2) D．y＝sinx解析：选C.对于函数y＝eq\f(1,x－2)，其导数y′＝eq\f(－1,x－22)＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝eq\f(1,x－2)在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求．6．如图，抛物线的方程是y＝x2－1，则阴影部分的面积是()A.eq\i\in(0,2,)(x2－1)dxB．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|C.eq\i\in(0,2,)|x2－1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx－eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx解析：选C.由图形可知阴影部分的面积为：eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx.而eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx＝eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx.故选C.7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极值状况为()A．极大值eq\f(4,27)，微小值0B．极大值0，微小值eq\f(4,27)C．极大值0，微小值－eq\f(4,27)D．极大值－eq\f(4,27)，微小值0解析：选A.f′(x)＝3x2－2px－q.依据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝0，,f′1＝0.))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－p－q＝0，,3－2p－q＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1.))∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝1.通过分析得，当x＝eq\f(1,3)时，y取极大值eq\f(4,27)；当x＝1时，y取微小值0.8．已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(－1,0)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞)D．a∈R且a≠0，a≠－1解析：选B.若存在实数m，使直线l是曲线y＝f(x)的切线，∵f′(x)＝2sinxcosx＋2a＝sin2x＋2a，∴方程sin2x＋2a＝－1有解，∴－1≤a≤0，故所求a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.9．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x＜0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选D.令F(x)＝eq\f(fx,gx)，则F(x)为奇函数，F′(x)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x).∵当x＜0时，F′(x)＞0.∴F(x)在区间(－∞，0)上为增函数．又F(3)＝eq\f(f3,g3)＝0，∴F(－3)＝0.∴当x＜－3时，F(x)＜0；当－3＜x＜0时，F(x)＞0.又F(x)为奇函数，∴当0＜x＜3时，F(x)＜0；当x＞3时，F(x)＞0.而不等式f(x)g(x)＜0和eq\f(fx,gx)＜0为同解不等式(g(x)恒不为0)，∴不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．10.函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是()A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1解析：选B.观看图象易知，a>0，f(x)在[0,1]上先增后减，但在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有增有减且不对称．对于选项A，m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)是二次函数，图象应关于直线x＝eq\f(1,2)对称，不符合题意．对于选项B，m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(x－1)(3x－1)，令f′(x)≥0，得x≥1或x≤eq\f(1,3)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上单调递增，符合题意，选B.对于选项C，m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，f′(x)＝a(2x－3x2)＝ax(2－3x)，令f′(x)≥0，得0≤x≤eq\f(2,3)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))上单调递增，不符合题意．对于选项D，m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，f′(x)＝a(3x2－4x3)＝ax2(3－4x)，令f′(x)≥0，得0≤x≤eq\f(3,4)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))上单调递增，不符合题意．二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________．解析：f(x)＝f(－x)⇒f′(x)＝－f′(－x)⇒y＝f′(x)为奇函数，故f′(0)＝0.又f(x)＝f(x＋5)⇒f′(x)＝f′(x＋5)⇒y＝f′(x)为周期函数，周期为5.由于f′(0)＝0，从而f′(5)＝0.答案：012.eq\i\in(1,2,)eq\f(1,xx＋1)dx＝________.解析：f(x)＝eq\f(1,xx＋1)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)，取F(x)＝lnx－ln(x＋1)＝lneq\f(x,x＋1)，则F′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)，所以eq\i\in(1,2,)eq\f(1,xx＋1)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋1)))dx＝＝lneq\f(4,3).答案：lneq\f(4,3)13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．解析：f′(x)＝2ax＋b，有f′(0)＞0⇒b＞0.由于对于任意实数x都有f(x)≥0，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝b2－4ac≤0，))得c＞0，从而eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)＝1＋eq\f(a＋c,b)≥1＋eq\f(a＋c,2\r(ac))≥1＋eq\f(2\r(ac),2\r(ac))＝2，当且仅当a＝c时取等号．答案：214.如图所示，A1，A2，…，Am－1(m≥2)将区间[0,1]m等分，直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝ex所围成的区域为Ω1，图中m个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．解析：依题意，阴影区域Ω2的面积为SΩ2＝eq\f(1,m)(1＋eeq\f(1,m)＋eeq\f(2,m)＋…＋eeq\f(m－1,m))＝eq\f(1,m)·；区域Ω1的面积为：SΩ1＝eq\i\in(0,1,)exdx＝e－1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率答案：15．若以曲线y＝f(x)任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线y＝f(x)具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出全部满足条件的函数的编号)①y＝x3－x②y＝x＋eq\f(1,x)③y＝sinx④y＝(x－2)2＋lnx解析：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x值，总存在x1(x1≠x)使得f′(x1)＝f′(x)．对于①，由f′(x1)＝f′(x)可得xeq\o\al(2,1)＝x2，但当x＝0时不符合题意，故不具有可平行性；对于②，由f′(x1)＝f′(x)可得eq\f(1,x\o\al(2,1))＝eq\f(1,x2)，此时对于定义域内的任意一个x值，总存在x1＝－x，使得f′(x1)＝f′(x)；对于③，由f′(x1)＝f′(x)可得cosx1＝cosx，∃x1＝x＋2kπ(k∈Z)，使得f′(x1)＝f′(x)；对于④，由f′(x1)＝f′(x)可得2(x1－2)＋eq\f(1,x1)＝2(x－2)＋eq\f(1,x)，整理得x1x＝eq\f(1,2)，但当x＝eq\f(\r(2),2)时不符合题意，综上，答案为②③.答案：②③三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1,y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3),y＝3))，故A(eq\f(1,3)，3)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1,y＝x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－1))(舍去)，故B(1,1)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x,y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝3))，故C(3,3)．17．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．解：∵f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1＝0，,f－1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－6a＋b＝0，,－1＋3a－b＋a2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9.))当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数；∴f(x)在x＝－1时取得微小值．∴a＝2，b＝9.18．设曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ.解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋1，,y＝x3＋x，))得x3－x2＋x－1＝0，即(x－1)(x2＋1)＝0，∴x＝1，∴交点为(1,2)．又f′(x)＝2x，∴f′(1)＝2，∴曲线y＝f(x)在交点处的切线l1的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x，又g′(x)＝3x2＋1.∴g′(1)＝4.∴曲线y＝g(x)在交点处的切线l2的方程为y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.取切线l1的方向向量为a＝(1,2)，切线l2的方向向量为b＝(1,4)，则cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(9,\r(5)×\r(17))＝eq\f(9\r(85),85).19．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax(a>0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求全部的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．解：(1)由于f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，所以f′(x)＝eq\f(a2,x)－2x＋a＝－eq\f(x－a2x＋a,x).由于