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文档简介

向量垂直公式向量垂直是指两个向量之间的夹角为90度。在三维空间中，两个向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$垂直，当且仅当它们的点积为0，即$\\vec{a}·\\vec{b}=0$。点积是指两个向量的数量积，它的计算公式如下：$$\\vec{a}·\\vec{b}=|\\vec{a}|\\cdot|\\vec{b}|\\cdotcos\\theta$$其中$|\\vec{a}|$和$|\\vec{b}|$分别表示向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$的模长，$\\theta$表示它们的夹角。由上式可知，当$\\theta=90^\\circ$时，$cos\\theta=0$，因此$\\vec{a}·\\vec{b}=0$，即$\\vec{a}$和$\\vec{b}$垂直。可以通过向量的坐标表示来证明上述结论。设向量$\\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，向量$\\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的点积为：$$\\vec{a}·\\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$如果$\\vec{a}$和$\\vec{b}$垂直，即$\\vec{a}·\\vec{b}=0$，则有：$$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$$上述方程称为向量的点积公式，它表明了两个向量垂直的条件。对于二维平面中的向量，其垂直判定条件也可以通过向量的坐标表示进行推导。设向量$\\vec{a}=(a_1,a_2)$，向量$\\vec{b}=(b_1,b_2)$，则它们的点积为：$$\\vec{a}·\\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$$如果$\\vec{a}$和$\\vec{b}$垂直，即$\\vec{a}·\\vec{b}=0$，则有：$$a_1b_1+a_2b_2=0$$上述方程也可以作为二维平面中两个向量垂直的判定条件。需要注意的是，向量的垂直关系是相对的，即如果向量$\\vec{a}$和向量$\\vec{b}$垂直，则向量$\\vec{b}$和向量$\\vec{a}$也垂直。此外，只有当向量的模长都不为0时，两个向量才能够垂直。如果其中一个向量的模长为0，则两个向量的夹角为未定义。在实际应用中，向量的垂直关系是非常重要的。比如，在几何学中，向量的垂直关系可以用来求解平面或直线的垂线，从而确定点、线、面的位置关系；在物理学中，向量的垂直关系可以用来求解力的正交分解，从而确定物体的平衡状态。在计算机图形学中，向量的垂直关系可以

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