《状元之路》2022届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查-必修部分6-函数的奇偶性与周期性

开卷速查(六)函数的奇偶性与周期性A级基础巩固练1．下列函数：①f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))；④f(x)＝lneq\f(1－x,1＋x).其中奇函数的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)既是奇函数又是偶函数；②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；③由x＋eq\r(x2＋1)＞x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋eq\r(－x2＋1))＝lneq\f(1,x＋\r(x2＋1))＝－ln(x＋eq\r(x2＋1))＝－f(x)，则f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))为奇函数；④由eq\f(1－x,1＋x)＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－lneq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故选D.答案：D2．[2021·“江淮十校”联考]已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)为偶函数，则实数a的值为()A.eq\f(2,3) B.2C．4 D.6解析：∵f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，∴由3－2a＜x＋1＜a＋1，得2－2a＜x＜a，∴f(x＋1)的定义域为(2－2a，a)．又∵f(x＋1)为偶函数，其定义域关于原点对称，∴2－2a＝－a，a＝2，故选B.答案：B3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图像关于直线x＝eq\f(1,3)对称，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝()A．0 B.1C．－1 D.2解析：由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))).又y＝f(x)的图像关于x＝eq\f(1,3)对称，所以f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，因此feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝0.答案：A4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2014)等于()A．2012B.2C．2013D.－2解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2014)＝f(2)，又f(x)为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－2，即f(2014)＝－2.答案：D5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3)B.(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D.(－1,0)∪(0,1)解析：f(x)的图像如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0，得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0，得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0，得x∈(1,3)．∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.答案：C6．若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()A．f(2)＜f(3)＜g(0)B．g(0)＜f(3)＜f(2)C．f(2)＜g(0)＜f(3)D．g(0)＜f(2)＜f(3)解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－gx＝ex，,－fx－gx＝e－x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝\f(ex－e－x,2)，,gx＝－\f(ex＋e－x,2).))故g(0)＝－1，f(x)为R上的增函数，0＜f(2)＜f(3)，故g(0)＜f(2)＜f(3)．答案：D7．[2021·潍坊市期中]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≥0，,x2－2x，x＜0，))若f(a)－f(－a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B.(－∞，1]C．[－1,1] D.[－2,2]解析：由于f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x＜0，,x2＋2x，x＞0，))所以f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，且是减函数，所以不等式变形为2f(a)≤2f(1)，即f(a)≤f(1)，所以a的取值范围是[1，＋∞)，故选A.答案：A8．[2022·课标全国Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是__________．解析：由题可知，当－2＜x＜2时，f(x)＞0.f(x－1)的图像是由f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)＞0，则－1＜x＜3.答案：(－1,3)9．已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不相等实数x1、x2，不等式(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0恒成立，则不等式f(1－x)＜0的解集为__________．解析：∵f(x＋1)是定义在R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，则f(1)＝0.又∵(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，∴f(x)在R上单调递减．∵f(1－x)＜0＝f(1)，∴1－x＞1，解得x＜0.∴不等式f(1－x)＜0的解集为(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．解析：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x∈[－1，0，,x，x∈[0，1，,－x＋2，x∈[1，2].))B级力气提升练11．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3.其中全部正确命题的序号是__________．解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋x，函数y＝f(x)的图像如图所示：当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f(x)＝f(x－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x＞0，,0，x＝0，,x2＋mx，x＜0))是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解析：(1)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图像知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＞－1，,a－2≤1，))∴1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．13．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．解析：(1)证明：若x1＋x2＝0，明显不等式成立．若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，∵f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，∴f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)＞0.∴[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.∴[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．综上得证，对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x