2022高考(新课标)数学(理)大一轮复习试题：第十章-概率10-9b

限时·规范·特训[A级基础达标]1.设随机变量的分布列如表所示，且E(ξ)＝1.6，则a×b＝()ξ0123P0.1ab0.1A.0.2 B.0.1C.0.15 D.0.4解析：由分布列的性质，得0.1＋a＋b＋0.1＝1.∴a＋b＝0.8.①又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3.②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a×b＝0.3×0.5＝0.15.答案：C2.某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为()A.0.6,60 B.3,12C.3,120 D.3,1.2解析：X～B(5,0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.答案：C3.[2021·绵阳诊断]已知随机变量ξ听从正态分布N(eq\f(1,2)，σ2)，且P(0≤ξ≤eq\f(1,2))＝a,则P(ξ<0)＝()A.a B.eq\f(1,2)C.1－a D.eq\f(1,2)－a解析：由随机变量ξ听从正态分布N(eq\f(1,2)，σ2)，且P(0≤ξ≤eq\f(1,2))＝a，可得P(eq\f(1,2)≤ξ≤1)＝a，且P(ξ<0)＝P(ξ>1)＝eq\f(1－a－a,2)＝eq\f(1,2)－a.故选D.答案：D4.[2021·沈阳高三检测]已知ξ～B(4，eq\f(1,3))，并且η＝2ξ＋3，则方差D(η)＝()A.eq\f(32,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(43,9) D.eq\f(59,9)解析：D(ξ)＝4×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(8,9)，∵η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×eq\f(8,9)＝eq\f(32,9).答案：A5.[2021·济南模拟]现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是()A.6 B.7.8C.9 D.12解析：P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))，P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))，P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))，则E(ξ)＝6×eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＋9×eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＋12×eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝7.8.答案：B6.[2021·嘉兴模拟]甲乙两人分别独立参与某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是eq\f(2,3)，则面试结束后通过的人数X的数学期望是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(11,9)C.1 D.eq\f(8,9)解析：依题意，X的取值为0,1,2，且P(X＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,9)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).故X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(4,9)＝eq\f(12,9)＝eq\f(4,3)，故选A.答案：A7.已知某随机变量X的概率分布列如下表，其中x>0，y>0，随机变量X的方差D(X)＝eq\f(1,2)，则x＋y＝________.X123Pxyx解析：由分布列性质，得2x＋y＝1，E(X)＝4x＋2y＝2.又D(X)＝eq\f(1,2)，即D(X)＝(－1)2·x＋12·x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,4)，∴y＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故x＋y＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)8.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________.解析：ξ的取值有0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),9)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),9)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,9)，所以E(ξ)＝0×eq\f(4,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9.某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必需回答，但相互不影响)．设某同学对每道题答对的概率都为eq\f(2,3)，则该同学在面试时得分的期望值为________分．解析：设面试时得分为随机变量X，由题意可知，X的取值可以是－15,0,15,30.则P(X＝－15)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(1,27)，P(X＝0)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝15)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(X＝30)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，∴E(X)＝－15×eq\f(1,27)＋0×eq\f(2,9)＋15×eq\f(4,9)＋30×eq\f(8,27)＝15.答案：1510.在某次数学考试中，考生的成果ξ听从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成果ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估量考试成果在(80,100)间的考生大约有多少人？解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成果ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内的取值的概率是0.6826，所以考试成果ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成果在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．11.甲、乙两名同学参与一项射击玩耍，两人商定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两名同学射击的命中率分别为eq\f(3,5)和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为eq\f(9,20)，假设甲、乙两人射击互不影响．(1)求p的值；(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X，求X的分布列和均值．解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为大事A，“乙射击一次，击中目标”为大事B，“甲射击一次，未击中目标”为大事eq\o(A,\s\up15(－))，“乙射击一次，未击中目标”为大事eq\o(B,\s\up15(－))，则P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(A,\s\up15(－)))＝eq\f(2,5)，P(B)＝p，P(eq\o(B,\s\up15(－)))＝1－p.依题意得eq\f(3,5)(1－p)＋eq\f(2,5)p＝eq\f(9,20)，解得p＝eq\f(3,4)，故p的值为eq\f(3,4).(2)X的取值分别为0,2,4.P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up15(－))eq\o(B,\s\up15(－)))＝P(eq\o(A,\s\up15(－)))P(eq\o(B,\s\up15(－)))＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,10)，P(X＝2)＝eq\f(9,20)，P(X＝4)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,20)，∴X的分布列为X024Peq\f(1,10)eq\f(9,20)eq\f(9,20)∴E(X)＝0×eq\f(1,10)＋2×eq\f(9,20)＋4×eq\f(9,20)＝eq\f(27,10).12.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列，期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解：(1)ξ的全部可能取值为0,1,2,3,4.分布列为：ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4))即为所求．[B级知能提升]1.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100 B.200C.300 D.400解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.答案：B2.若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为________，D(ξ)的最大值为________.ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)解析：E(ξ)＝p＋1≤eq\f(3,2)(0≤p≤eq\f(1,2))；D(ξ)＝－p2－p＋1≤1.答案：eq\f(3,2)13.某毕业生参与人才聘请会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.解析：由题意知P(X＝0)＝eq\f(1,3)(1－p)2＝eq\f(1,12)，∴p＝eq\f(1,2).随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(5,12)eq\f(1,6)E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)4.[2022·湖北高考]方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求将来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站期望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X>120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二项分布，在将来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝Ceq\o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq\o\al(1,4)(1－p3)3p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))4＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)