【创新大课堂】2022高考数学(新课标人教版)一轮总复习练习：第6章-不等式-第2节-基本不等式

第六章第2节一、选择题1．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b[解析]∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，A、C错误；eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，D错误，故选B.[答案]B2．下列不等式肯定成立的是()A．lg(x2＋eq\f(1,4))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)[解析]当x>0时，x2＋eq\f(1,4)≥2·x·eq\f(1,2)＝x，所以lg(x2＋eq\f(1,4))≥lgx(x>0)，故选项A不正确；而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由均值不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有eq\f(1,x2＋1)＝1，故选项D不正确．[答案]C3．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)[解析]∵0<x<1，∴1－x>0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3(eq\f(x＋1－x,2))2＝eq\f(3,4).当x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)时取等号．[答案]B4．(2021·福建厦门质检)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1)e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝be1－2e2(a>0，b>0)．若A，B，C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是()A．2 B．4C．6 D．8[解析]依题意得－2×(a－1)＝b×1，∴2a＋b＝2.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))×eq\f(2a＋b,2)＝2＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(b,2a)＝\f(2a,b)，即a＝\f(1,2)，b＝1时取等号)).故选B.[答案]B5．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x＜0)，则f(x)有()A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4[解析]∵x＜0，∴f(x)＝－[(－x)＋eq\f(1,－x)]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时取等号．[答案]C6．某车间分批生产某种产品，每批的生产预备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件 B．80件C．100件 D．120件[解析](1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.当且仅当eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.[答案]B7．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．4[解析]f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2.∵x>2，∴x－2>0.∴f(x)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时，“＝”成立．又f(x)在x＝a处取最小值．∴a＝3.[答案]C8．已知a>0，b>0，若不等式eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，则m的最大值为()A．4 B．16C．9 D．3[解析]由于a>0，b>0，所以由eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立得m≤(eq\f(3,a)＋eq\f(1,b))(3a＋b)＝10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)恒成立．由于eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥16，所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.[答案]B9．(2021·福建宁德质检)关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)的最小值是()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(2,3)eq\r(3)C.eq\f(4,3)eq\r(3) D.eq\f(2,3)eq\r(6)[解析]依题意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a2，∴x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)＝4a＋eq\f(a,3a2)＝4a＋eq\f(1,3a)≥2eq\r(4a·\f(1,3a))＝eq\f(4\r(3),3)，故x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)的最小值为eq\f(4,3)eq\r(3).故选C.[答案]C10．设x，y均为正实数，且eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1，则xy的最小值为()A．4 B．4eq\r(3)C．9 D．16[解析]由eq\f(3,2＋x)＋eq\f(3,2＋y)＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2eq\r(xy)(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2eq\r(xy)－8≥0，解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.故选D.[答案]D11．(2021·洛阳市高三统考)在△ABC中，D为BC边的中点，AD＝1，点P在线段AD上，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值为()A．－1 B．1C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]依题意得，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝－2|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥－2(eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|＋|\o(PD,\s\up6(→))|,2))2＝－eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|2,2)＝－eq\f(1,2)，当且仅当|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)时取等号，因此eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是－eq\f(1,2)，故选D.[答案]D12．(2021·北京模拟)已知关于x的方程x2＋2px＋(2－q2)＝0(p，q∈R)有两个相等的实数根，则p＋q的取值范围是()A．[－2,2] B．(－2,2)C．[－eq\r(2)，eq\r(2)] D．(－eq\r(2)，eq\r(2))[解析]由题意知4p2－4(2－q2)＝0，即p2＋q2＝2，∵(eq\f(p＋q,2))2≤eq\f(p2＋q2,2)＝1，∴－1≤eq\f(p＋q,2)≤1，即－2≤p＋q≤2，故选A.[答案]A二、填空题13．(2021·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.[解析]借助基本不等式求最值的条件求解．f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)(x＞0，a＞0)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即x＝eq\f(\r(a),2)时等号成立，此时f(x)取得最小值4eq\r(a).又由已知x＝3时，f(x)min＝4eq\r(a)，∴eq\f(\r(a),2)＝3，即a＝36.[答案]3614．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹放射后的轨迹在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与放射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为________千米．[解析]令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\f(1,k))≤eq\f(20,2)＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．[答案]1015．(2021·青岛二模)设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________．[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b∵a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋4＝8，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即b＝2a时等号成立．[答案]816．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为_