《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习-第三章-第5讲-三角函数的图象与性质-轻松闯关

1．函数y＝eq\r(cosx－\f(\r(3),2))的定义域为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,6)))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))，k∈ZD．R解析：选C.∵cosx－eq\f(\r(3),2)≥0，得cosx≥eq\f(\r(3),2)，∴2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.2．函数f(x)＝(1＋sinx)(sin2x＋cos2x－sinx)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：选B.f(x)＝(1＋sinx)(1－sinx)＝1－sin2x＝cos2x＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数．3．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．－1－eq\r(3) B．－1C．0 D．2－eq\r(3)解析：选D.∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(πx,6)－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).∴y∈[－eq\r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq\r(3).4．假如函数y＝3sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称，则|φ|的最小值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：选A.依题意得，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝±1，则eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，因此|φ|的最小值是eq\f(π,6).5．(2022·高考安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．0 D．－eq\f(1,2)解析：选A.∵f(x＋π)＝f(x)＋sinx，∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sinx.∴f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．∴f(x)是以2π为周期的周期函数．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－eq\f(1,2).∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).故选A.6．比较大小：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))________sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).解析：由于y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上为增函数且－eq\f(π,18)＞－eq\f(π,10)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).答案：＞7．(2022·高考山东卷)函数y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期为________．解析：∵y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴函数的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.答案：π8．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))的值域为________，并且取最大值时x的值为________．解析：∵0≤x≤eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，∴0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴－1≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1≤1，即值域为[－1，1]，且当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1，即x＝eq\f(π,12)时，y取最大值．答案：[－1，1]eq\f(π,12)9．已知函数f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x.(1)求f(x)的单调减区间；(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标．解：f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(1)由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)得，kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．∴f(x)的单调减区间为[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)．(2)由sin(2x＋eq\f(π,6))＝0，得2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)．∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(－eq\f(π,12)，0)．10．(2022·高考天津卷)已知函数f(x)＝cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f(x)＝cosx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,2)sinx·cosx－eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)(1＋cos2x)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)cos2x＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由于f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上是减函数，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上是增函数．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，所以，函数f(x)在闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值为eq\f(1,4)，最小值为－eq\f(1,2).1．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，且|φ|<\f(π,2)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上是单调减函数，且函数值从1削减到－1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．1解析：选C.由题意得函数f(x)的周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入上式得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，于是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).2．(2021·开封市第一次摸底)已知函数f(x)＝sin2xcosφ＋cos2xsinφ(x∈R)，其中φ为实数，且f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)))对任意实数R恒成立，记p＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))，r＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)))，则p、q、r的大小关系是()A．r<p<q B．q<r<pC．p<q<r D．q<p<r解析：选C.f(x)＝sin2xcosφ＋cos2xsinφ＝sin(2x＋φ)，∴f(x)的最小正周期T＝π.∵f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)))是最大值．∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,18)))，∴p＝sineq\f(25π,18)，q＝sineq\f(31π,18)，r＝sineq\f(7π,18)，∴p<q<r.3．当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．解析：∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8).∴当sinx＝eq\f(1,4)时，ymin＝eq\f(7,8)，当sinx＝－eq\f(1,2)或sinx＝1时，ymax＝2.答案：eq\f(7,8)24．(2021·内蒙古包头一模)给出下列命题：①函数f(x)＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，0))；②已知函数f(x)＝min{sinx，cosx}，则f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))；③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ.其中全部真命题的序号是________．解析：对于①，令x＝－eq\f(5,12)π，则2x＋eq\f(π,3)＝－eq\f(5,6)π＋eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)π))＝0，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)π，0))为f(x)的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝eq\f(1,2)＜sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故③为假命题，所以真命题为①②.答案：①②5．(2021·辽宁省五校联考)设函数f(x)＝sinωx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，x∈R.(1)若ω＝eq\f(1,2)，求f(x)的最大值及相应x的集合；(2)若x＝eq\f(π,8)是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．解：由已知：f(x)＝sinωx－cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4))).(1)若ω＝eq\f(1,2)，则f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，又x∈R，则eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))≤eq\r(2)，∴f(x)max＝eq\r(2)，此时eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.即x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝4kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)∵x＝eq\f(π,8)是函数f(x)的一个零点，∴eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)ω－\f(π,4)))＝0，∴eq\f(π,8)ω－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，此时其最小正周期为π.6．(选做题)已知a>0，函数f(x)＝－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间．解：(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6))).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－