【同步辅导】2021高中数学北师大版必修五导学案：《解三角形的实际应用》

第5课时解三角形的实际应用 1.把握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义.2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.3.学会解三角形应用题的一般步骤.中国的“海洋国土”面积约300万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显.近几年,我国海军先后参与了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开头走出近海,深化远海进行演习,实力在不断增加,为护卫我们的“蓝色国土”供应了坚实的保障.2005年7月11日,是中国宏大航海家郑和下西洋600周年纪念日.2005年4月25日,经国务院批准,将每年的7月11日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日固定下来,海洋强国正成为13亿华夏儿女的共同幻想.问题1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经格外先进.在较早时期,人们在海上航行时,定位船只的方法通常是依据方位角、方向角和距离来进行的.那么何为方位角、方向角呢?方位角:;方向角:.此外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角:和仰角:,这些是测量中的常用的名词,在我们的学习中也会经常消灭.

问题2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些?(1)a∶b∶c=;

(2)R为△ABC外接圆的半径,则sinA=,sinB=,sinC=;

(3)余弦定理的推论可以用式子表示为cosA=,cosB=,cosC=.

问题3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤?分如下四个步骤:(1):理解题意,分清已知与未知,画出示意图.

(2):依据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题.

(3):利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解.

(4):检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.

问题4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的?应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是依据题意,从实际问题中抽象出,通过解这些三角形,从而使实际问题得到解决.解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意图,要理解好应用题中有关的名词、术语,如、、、等,要留意解的实际意义以及题目中给出的精确度.

1.若P在Q的北偏东44°50',则Q在P的().A.东偏北45°10' B.东偏北45°50'C.南偏西44°50' D.南偏西45°50'2.一船向正北航行,观察正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,连续航行半小时后,观察一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的航行速度是每小时().A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里3.在直径为30m的圆形广场中心上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照到整个广场,则光源的高度为m.

4.在同一平面内,在A处测得B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,求B、C间的距离.利用正、余弦定理求解距离问题如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距3千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.利用正、余弦定理求解高度问题如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20m,求山高CD.利用正、余弦定理求解角度问题在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发觉在北偏东45°方向,相距12nmile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进,若侦察艇以每小时14nmile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A动身有一条南偏东35°走向的大路,在C处测得与C相距31km的大路上的B处有一人正沿此大路向A走去,走了20km后到达D处,此时测得CD距离为21km,求此人在D处距A的距离.如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心马上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,求cosθ.1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为().A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观看站C的距离都等于akm,灯塔A在观看站C的北偏东20°,灯塔B在观看站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为().A.akm B.3akmC.2akm D.2akm3.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10nmile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是nmile.

4.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°,且A、B两点之间的距离为60m,求树的高度h.(2021年·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲动身2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=1213,cosC=3(1)求索道AB的长;(2)问乙动身多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考题变式(我来改编):第5课时解三角形的实际应用学问体系梳理问题1:从正北方向顺时针到目标方向线的水平角从指定方向线到目标方向线的水平角在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角问题2:(1)sinA∶sinB∶sinC(2)a2Rb2Rc2R(3问题3:(1)分析(2)建模(3)求解(4)检验问题4:一个或几个三角形坡角仰角俯角方位角基础学习沟通1.C依据P在Q的北偏东44°50',可以推断Q在P的南偏西44°50',故选C.2.C如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10(海里),在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是50.5=10(海里/3.53轴截面如图,则光源高度h=15tan60°=53(m4.解:依据题意得:∠BAC=120°,AB=2,AC=3,∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos120°=19,∴BC=19.重点难点探究探究一:【解析】在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴AC=CD=3.在△BDC中,∵∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,由正弦定理,可得BC=3sin75°sin60°=2sin(30°+45°)=2sin30°cos45°+2cos30°sin在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,∴AB2=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×cos75°=5+3-(32+6)(cos30°cos45°-sin30°sin45°)故两目标A,B间的距离为5千米.【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法.(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用格外广泛的“三角网”测量方法的原理,其中AB可视为基线.(3)计算方法:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24.同理cos75°=6探究二:【解析】如图,过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,设CD=xm,则AE=(x-20)m,∵tan60°=CDBD∴BD=CDtan60°=x3=33x在△AEC中,x-20=33x,解得x=10(3+3)m.故山高CD为10(3+3)m【小结】(1)测量高度时,要精确     理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.探究三:【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.依据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.依据正弦定理得BCsinα=ACsin120°,解得sinα=所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为53【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义.(2)在解应用题时,理清已知与所求,再依据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,在解题过程中也要留意体会正、余弦定理综合使用的特点.思维拓展应用应用一:如图,∠CAD=25°+35°=60°.在△BCD中,由余弦定理,得cosB=B=312+2故sinB=123在△ABC中,由正弦定理,得AC=BCsinBsinA=由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,即312=AB2+242-2×AB×24cos60°,∴AB2-24AB-385=0,解得AB=35或AB=-11(舍去),∴AD=AB-BD=15(km).故此人在D处距A还有15km.应用二:在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得BCsin∠BDC所以BC=CDsin∠BDC在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=stan应用三:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=207.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=21由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=27故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=277×32-217×或由cosθ=sinB及正弦定理有sinB=ACBC·sin120°=20227×32基础智能检测1.B依据仰角与俯角的定义可知α=β.2.B由题意知∠ACB=120°,AC=BC=a.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×(-12)=3a2,∴AB=33.56在△ABC中,由正弦定理可得BCsinA=ABsinC,即BC=ABsinA4.解:由正弦定理得:60sin(45°-30°)=PBsin30°,∴PB=30sin15°,∴h=PB全新视角拓展(1)在△ABC中,由于cosA=1213,cosC=35,所以sinA=513,sin从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC