中考数学二轮培优训练第04讲 倍长中线模型构造全等三角形（解析版）

第04讲倍长中线模型构造全等三角形【应对方法与策略】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD【多题一解】一、单选题1．（2021·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（

）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．【详解】解：延长BE交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故选：C．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．2．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点，可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；【详解】四边形是平行四边形由于条件不足，所以无法证明,故选项错误；故选项错误；同时延长和交于点在和中：由于条件不足，并不能证明，故选项错误；为的中点故选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.二、填空题4．（2019·湖北·武汉市粮道街中学九年级阶段练习）如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝_____．【答案】30°【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．【详解】解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，又∵∠ADC＝∠BDE，DE＝DC，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴AC＝BE，∵CD：AC：BC＝1：2：2，设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE，∴FC＝FB＝BC＝m，在Rt△CEF中，cos∠FCE＝＝＝，∴∠FCE＝30°，即∠BCD＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________．【答案】【分析】根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形，综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角函数值快速求解．【详解】如图，连接B，延长交于点，则，，根据翻折的性质可得为等腰三角形，，作于点，设，则正方形边长为，则，，，，由，得，则，解得，则，设，则，设，则，此时作，，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，及三角函数的应用，综合性比较强，难度较大，熟练掌握做辅助线的方法是解决问题的一个关键点，再有就是结合图中构造出的全等或相似，准确列式计算也是本题的一个关键点．6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，为AD上的中点，则BE＝______．【答案】【分析】延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.【详解】解：延长BE交CD于点F,∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，又E为AD上的中点，∴BE=EF,所以.∴∴在直角三角形BCF中，BF==.∴.【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.三、解答题7．（2020·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）△ABC中D是BC边上一点，连接AD．（1）如图1，AD是中线，则AB+AC2AD（填>，<

或=）；（2）如图2，AD是角平分线，求证AB-AC>BD-CD．【答案】（1）＞；（2）见解析【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，连接CE，利用“SAS”证明△CDE≌△ADB，再利用三角形的三边关系证明即可；（2）在AB上截取AG=AC，连接DG，利用“SAS”证明△ADC△ADG，再根据三角形三边关系即可证明AB-AC>BD-CD．【详解】（1）如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，在△CDE与△ADB中，，∴△CDE≌△ADB（SAS），∴AB=CE，∴AB+AC=AC+CE＞AE=2AD，即AB+AC＞2AD；故答案为：＞；（2）在AB上截取AG=AC，连接DG，∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC△ADG(SAS)，∴DC=DG，∴AB-AC=AB-AG=BG>BD-DG=BD-CD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．8．（2020·北京一七一中九年级阶段练习）在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【答案】（1）；（2）AE2+BF2＝EF2，证明见解析【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【详解】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF＝；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．9．（2020·全国·九年级专题练习）已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．求证：BE=CF．【答案】见解析.【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM＝∠N，所以BE＝BN＝CF.【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，∵BN∥AC，BM＝CM，∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，∴△BMN≌△CMF，∴CF＝BN，又∵MF//AD，AD平分∠BAC，∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∴∠BEM＝∠N，∴BE＝BN＝CF.【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．10．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析．【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．【详解】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点∴DE为的中位线，且∴，∵∴∵∴∴四边形DECF为矩形∴∴则在中，；（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG∵∴，∵D是AB的中点∴在和中，∴∴，又∵∴DF是线段EG的垂直平分线∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．11．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．（1）若AC=，AE=，求BE的长；（2）在（1）的条件下，求△ABD的面积．（3）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；【答案】（1）；（2）；（3）见详解【分析】（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解决问题；（2）设，则，根据勾股定理求出AD的长，再利用三角的面积公式计算即可；（3）如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MFB，再证明△ABM≌△ACD即可．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AC＝，∴AB＝，∵BE⊥AD，AE＝，∴在Rt△AEB中，；（2）设，则，，，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，即,则，则；（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，∵点F为BE的中点，∴EF＝BF，在△AEF和△MBF中，∴△AEF≌△MBF（SAS），∴∠FAE＝∠FMB，∴AE∥MB，∴∠EAB+∠ABM＝180°，∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，又∵AB＝AC，DB＝DA，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，∴∠ABM＝∠ACD．又∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，∴∠1＝∠2．在△ABM和△ACD中，，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴AM＝AD，又∵AM＝AF+MF＝2AF，∴2AF＝AD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．12．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．【答案】见解析【分析】延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，先证明△BDG≌△CDF（SAS）得BG＝FC，∠GBD＝∠C，从而有，DG＝DF，又由勾股定理的逆定理得，再利用平行线的性质即可证明结论成立．【详解】证明：如图，延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠GBD＝∠C，∴，DG＝DF，∵ED⊥DF，∴EG＝EF，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质、三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．13．（2020·福建福州·九年级开学考试）如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．【答案】（1）且．理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出、、三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出，从而证明；（2）延长至，使，连接交于，连接、，首先通过SAS证明，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明，从而可证明结论仍然成立；（3）连接，首先根据题意确定当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，然后根据平行四边形的判定及性质得出有最小值就是的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）且．理由如下：如图1，连接．∵正方形和等腰，∴，∴、、三点共线．∵，为的中点，，∴．∴，．∴，即，∴．（2）仍然成立．理由如下：如图2，延长至，使，连接交于，连接、．∵，，，∴，∴，，∴．∵是正方形，∴，．∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴为等腰直角三角形．又∵，∴且．（3）如下图，连接，当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，由（2）知，∴，即有最小值，就是的长，由勾股定理得．【点睛】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．14．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“”）问题探究（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最小时，求的长；问题解决（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）＞；（2）；（3）当点与的中点重合时，折线的长度最小，最小长度为4．【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出，再根据三角形的三边关系定理即可得；（2）如图（见解析），先根据矩形的性质得出，从而可得AE的长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出的周长最小时，点F的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得；（3）如图（见解析），先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线的长度最小时，四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出，，，然后利用轴对称的性质、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的长，即折线的最小长度；设交于点，根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，由此即可得折线的长度最小时，点Q的位置．【详解】（1）如图，延长AD，使得，连接CE是的中线在和中，在中，由三角形的三边关系定理得：，即故答案为：；（2）如图，作点关于的对称点，连接FG，则四边形ABCD是矩形，垂直平分点E是BC的中点，，则的周长为要使的周长最小，只需由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值∴∴，即解得；（3）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则∴折线的长度为由两点之间线段最短可知，，当且仅当点四点共线时，折线取得最小长度为∵在矩形中，∴，∵点为的中点∴∵点与点关于对称，点与点关于对称∴，，∴设交于点在中，∴，即又∵∴是等边三角形∴∵∴点与的中点重合综上，当点与的中点重合时，折线的长度最小，最小长度为4．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质正确找出折线的最小长度是解题关键．15．（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；(2)在(1)的条件下，求的值；(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析【分析】（1）延长BC交AF的延长线于点G，利用“AAS”证△ADF≌△GCF得AD＝CG，据此知CG＝BC＝BE＋CE，根据EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得证；（2）设CE＝a，BE＝b，则AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，据此可得答案；（3）连接DG，证△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再证△AFH∽△DFG得，结合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，从而得出∠ADF＝∠FGH，根据∠ADF＝90°即可得证．【详解】解：(1)如图1，延长BC交AF的延长线于点G，∵AD∥CG，∴∠DAF=∠G，又∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴EA=EG，∵点F为CD的中点，∴CF=DF，又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AD=CG，∴CG=BC=BE+CE，∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；(2)设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，解得b=3a，b=﹣a(舍)，∴；(3)如图2，连接DG，∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，∴△ADF≌△DCG(SAS)，∴∠CDG=∠DAF，∴∠HAF=∠FDG，又∵∠AFH=∠DFG，∴△AFH∽△DFG，∴，又∵∠AFD=∠HFG，∴△ADF∽△HGF，∴∠ADF=∠FGH，∵∠ADF=90°，∴∠FGH=90°，∴AG⊥GH．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点．16．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是；

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．【答案】（1）且；（2）；证明见解析；（3）且．【分析】（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C’进行角的等量代换进行分析即可；（2）根据题意在上截取,连接，并全等三角形的判定证明和，进而利用勾股定理得出进行分析求解即可；（3）过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，证明∆BFM≅∆CFO，∆AOD≅∆OBM，进而即可得到结论．【详解】解：∵，∴，延长AC交BD于点C’，如下图：∵，∴，即，综上且，故答案为：且；证明:在上截取,连接在和中在和中即；且，理由如下：过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，∵BM∥OC，∴∠M=∠FOC，∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,∴∆BFM≅∆CFO（AAS），∴OF=MF，BM=CO，∵DO=CO，∴DO=BM，∵BM∥OC，∴∠OBM+∠BOC=180°，∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，∴∠OBM=∠AOD，又∵AO=BO，∴∆AOD≅∆OBM（SAS），∴AD=OM=2OF，∠BOM=∠OAD，∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．∴且．【点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.17．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知：在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．（1）如图1，若．①求证：；②连接，求证：．（2）如图2，若，求的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．【分析】（1）①根据已知易得，再由可得，即可得，而矩形对边相等，从而可得；②延长、，交于点．易证B是CG的中点，故中，．再由即可得出结论；（3）根据可得，再由可得，进而由勾股定理可得，继而得到，再结合即可解题．【详解】（1）证明：①如图，在矩形中，∠DAB=∠ADC=90°，∴∠1+∠EDC=90°，又∵，∴∠2+∠EDC=90°，∴，∵，∴，∴，又∵AB=CD，∴，∴．②证明：如解图2，延长、，交于点．∵在矩形中，AD//BC,∴，在和中，∴≌，∴，故中，．由（1）可知，∴，∴，（2）∵，，∴，又∵∠ADF=∠DCA，∴，∴，在Rt△ADF中，，∴，∴，又∵在矩形中，AB//CD,∴，∴．【点睛】本题综合考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、三角形全等判定和性质、直角三角形性质等；本题综合性强，熟练掌握实数的运算，利用三角函数转换线段比是解题的关键．18．（2021·江苏宿迁·二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为（填“真命题”，“假命题”）；【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4．【思考】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用等量代换计算．结论可得；（1）过点作，交的延长线于点，利用同角的余角相等得出和，进而得到；再证明，结论可得；（2）过点作，交的延长线于点，易证，得到，．再进一步说明，可得，结论可得．【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．理由如下：如下图，∵，为的中点，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即：．∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．故答案为：真命题．【探究】（1）如下图，过点作，交的延长线于点，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵为等腰直角三角形，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．即是的中点．（2）如下图，过点作，交的延长线于点，∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．在和中，∴．∴．【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，利用中点添加平行线构造全等三角形是解题的关键．19．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解【分析】（1）根据旋转的性质可证明，，在中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出，根据垂直平分线的性质可得出，利用三角形三边关系即可得出结论；（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得，证明，得出，利用角的和差关系可推出，再证明，得出，即可得出结论．【详解】解：（1）∵∴∴在中根据三角形三边关系可得出：，即∴故答案为：；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，同（1）可得出，∵∴在中，∴；（3），理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，∵∴∴∴∵∴∴（SAS）∴∴∴．【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．【一题多解】1．（2021·河北·九年级专题练习）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．2．（2021·贵州·贵阳市第十九中学九年级阶段练习）在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）具有，证明见解析；（3）14或．【分析】（1）；当点落在的延长线上时，∠ADE=90º，点为的中点，直角三角形斜边中线的性质，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE即可；（2）成立（具有）延长到点，使，连接，由点为的中点，可知是的中位线，有结论，先证，再证，即可；（3）分两种情况∠BCD再BC的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE=60º或Rt△CGE，∠GCE=30º，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）结论即可．【详解】（1）当点落在的延长线上时，∠ADE=90º，∵点为的中点，∴AF=EF=FD，∴，∵BC=AC，∠ACB=90º，CD=DE，∠CDE=90º，∴∠DCE=∠DEC=45º，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90º+45º=135º，∴∠ACE=360º-∠ACB-∠BCE=360º-90º-135º=135º=∠BCE，∵CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SAS），∴AE=BE，∴，故答案为：；（2）成立（具有）证明：延长到点，使，连接，∵点为的中点，∴是的中位线，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）14或．过E作EH⊥BC于H，∴在Rt△ECD中，CE=2，∵∠BCD=105º，∴∠HCE=105º-∠DCE=60º，∴CH=，EH=，∵BC=，∴BH=BC-CH=-，∴FD2=；延长BC，过E作EG⊥BC于G，∵∠BCD=105º，∠DCE=45º，∴∠GCE=180º-∠ACD-∠DCE=30º，∴GE=，∴CG=，∴∴FD2=．综上所述，的值为或．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键．3．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）定义：如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，若，判断AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．【答案】（1）5或8；（2）见解析；（3）AEF是“匀称三角形”，见解析【分析】（1）设第三边长为，利用“匀称三角形”的定义，列出方程，但是由于等式中，4，6，均有可能为等式右边的“”，所以需要分三类讨论，最终确定下来的三边长必须满足“三角形两边之和大于第三边”，故最终答案为5或8；（2）要证明为切线，连接，由于是半径，只需要证明，又由于，所以只需要证明，又由于为中点，只需要证明为的中点，因为是直径，所以，又因为，所以为的中点，即可证明；（3）因为为的中点，仿照“中线倍长”模型，过作于，如图2，或者在上截取，构造，所以，将转化成，因为，所以，可以得到，设，则，利用勾股定理求出，满足定义，即可证明．【详解】解：（1）解：设第三边长为，①当时，解得，②当是，解得，③当时，解得，，当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以③舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接，，是直径，，，为的中点，即，为中点，，，，，，，，是半径，是