中考数学二轮培优训练专题31 相似三角形模型（解析版）

专题31相似三角形模型相似三角形的判定方法：判定定理一：平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。判定定理二：三边成比例的两个三角形相似，即：若，则∽判定定理三：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似。即：若，且∠C＝则∽判定定理四：两个角分别相等的两个三角形相似。

即：若，,则∽判定定理五：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似。即：在中，若或,则相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。3）相似三角形周长的比等于相似比。4）相似三角形面积比等于相似比的平方。模型图形结论证明过程（思路）A字模型①∆ADE~∆ABC②AD1)已知DE∥BC则∠ADE=∠ABC而∠A=∠A所以∆ADE~∆ABC2)已知∠1=∠2∠A=∠A所以∆ADE~∆ABC共边反A字模型①∆ABC~∆ACD②AB③AC2=AB•AD剪刀反A字模型①∆ABC~∆ADE②AB证明过程参照按照2）8字模型正8字模型①∆AOB~∆COD②AO反8字模型①∆AOB~∆DOC②AO3)已知AB∥DC则∠A=∠C而∠AOB=∠DOC所以∆AOB~∆COD4)已知∠1=∠2∠AOB=∠DOC所以∆AOB~∆DOC射影定理①∆ABC~∆ADB~∆BDC②AB2=AC•AD,BD2=AD•CDBC2=AC•CD（口诀：公共边的平方=共线边的乘积）③AB•BC=BD•AC（面积法）5)已知∠ABC=∠ADB=90°∠ABD=∠C∠A=∠DBC∴∆ABC~∆ADB~∆BDC一线三垂直①∆ABC~∆CDE②AB③当点C为BD中点时，∆ABC~∆CDE~∆ACE6)∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°则∠1=∠3由此可得∆ABC~∆CDE7)∵∆ABC~∆CDE∴ABCD=AC则ABBC=AC∴∆ABC~∆ACE则∆ABC~∆CDE~∆ACE一线三等角①∆ABC~∆CDE②AB③当点C为BD中点时，∆ABC~∆CDE~∆ACE8）∵∠B=∠D=∠ACE=α∴∠ACD=∠1+∠B=∠1+α而∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠3+α则∠1=∠3由此可得∆ABC~∆CDE结论③证明过程参照7）线束模型(一)①DFEF②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）9）∵DE∥BC∴∆ADF~∆ABG，∆AFE~∆AGC∴DFBG∴DF同理右图结论DF:FG:EG=BH:HI:CI线束模型(二)①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）10）∵AB∥CD∴∆AOE~∆DOF，∆BOE~∆COF∴AEDF∴AE同理右图结论AE:EF:BF=DH:HG:CG三角形内接矩形①∆ABC~∆ADG②AD③若四边形DEFG为正方形即DGBC=AMAN则xBC=AN−xAN若已知B11)∵四边形DEFG为矩形∴DG∥BC而AN⊥BC∴∆ABC~∆ADG∠AMG=∠ANC=90°∴ADAB三平行模型①1②112)∵AB∥EF∥CD∴∆ABC~∆EFC，∆BEF~∆BDC∴EFAB①+②得EFAB+两边同除EF得,13)作AM⊥BC于点M,EN⊥BC于点N,DP⊥BC于点P同理可得1则1AM∴1旋转相似模型①∆ABD~∆ACE∵∆ADE~∆ABC∴∠BAC=∠DAEAD而∠1+∠DAC=∠BAC∠2+∠DAC=∠DAE∴∠1=∠2∴∆ABD~∆ACE【总结】三角形相似就意味着对应线段的比值相等，所以就能建立等式关系。因此，题目中只要看到线段比例已知，就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件，为进一步完成解题创下基础。口诀：线段比例若知道，三角相似解题巧。【专项练习】【A字模型】1．（四川省遂宁市2020年中考数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．2．（2021年陕西省宝鸡市金台区中考一模数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．3．（江苏省南通市2020年中考数学试题）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【答案】（1）；（2）BF＝3．【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴，∴．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得：x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴，∴，∴BF＝3．【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4．（2020年浙江省金华市、丽水市中考数学试题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．【答案】（1）4;（2）①90°；②【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，==4.（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP.

又∵AE＝BE，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠AEP＝90°.

②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°.∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△EAF∽△CAB，∴＝，即＝，∴AF＝,在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．【答案】见详解【分析】先证明，即有，再结合，即可证明．【详解】∵、分别是、边上的高，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．6（辽宁省丹东市东港市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有，即，解得t＝，答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．7．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．（结果精确到．【答案】路灯的高CD的长约为6.1m【分析】根据，，，得到，从而得到，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【详解】解：设长为m，，，，，，m，，，即，解得：．经检验，是原方程的解，且符合题意，路灯高的长约为6.1m【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．【8字模型】1．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．【答案】2【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．2．（山西省2021年中考数学真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．【答案】．【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，∵，，∴，，为等腰．由题意可得E为CD的中点，且，∴，在等腰中，，，又∵，在，∴（AAS）∴，∵，，∴，∴，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．3．（广东省2020年中考数学试题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．（1）填空：_________；（2）求的面积；（3）求证：四边形为平行四边形．【答案】（1）2

（2）3

（3）见解析【分析】（1）根据题意设点B的坐标为（x，），得出点M的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k；（2）连接，根据反比例函数系数k的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形．【详解】解：（1）∵点B在上，∴设点B的坐标为（x，），∴OB中点M的坐标为（，），∵点M在反比例函数（），∴k=·=2，故答案为：2；（2）连接，则，，∵，∴，∵，∴点到的距离等于点到距离，∴；（3）设，，，，又∵，∴，同理，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，关于对称，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴是平行四边形．【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．4．（安徽省2020年中考数学试题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点求证：；若，求的长；如图2，连接，求证：．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可；（3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC，在△EAF和△DAB，，∴△EAF≌△DAB(SAS)，∴∠E=∠BDA，∵∠BDA+∠ABD=90º，∴∠E+∠ABD=90º，∴∠EGB=90º，∴BG⊥EC；（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，∵AF∥BC，∠E=∠E，∴△EAF∽△EBC，∴，又AF=AB=1，∴即，解得：，（舍去）即AE=；（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，在△EAH和△DAG，，∴△EAH≌△DAG(SAS)，∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，∵∠EAH+∠DAH=90º，∴∠DAG+∠DAH=90º，∴∠HAG=90º，∴△GAH是等腰直角三角形，∴即，∴GH=AG，∵GH=EG-EH=EG-DG，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．5．（辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷）如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为．②如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长．【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）或【分析】（1）①结论：．如图1中，作交AM于T．想办法证明，，可得结论．②结论：．过点C作于Q．想办法证明，，可得结论．（2）分两种情形：如图3－1中，当时，过点B作于J，过点F作于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明，可得结论．如图3－2中，当时，，解直角三角形求出AK，可得结论．【详解】解：（1）①结论：．理由：如图1中，作交AM于T．，，是等边三角形，，，，，四边形AFCT是平行四边形，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，．故答案为：．②如图2中，结论：．理由：过点C作于Q．，，，，，四边形AFCQ是矩形，，，，，，，，，，，，，．（2）如图3－1中，当时，过点B作于J，过点F作于K．在中，，，，，，，，，，，，，，，四边形CDKF是平行四边形，，四边形CDKF是矩形，，，，，．如图3－2中，当时，同理可得：，，，在中，，，，，，，，，，，，．综上所述，满足条件的AF的值为或．【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解题的关键．6．（四川省广元市2021年中考数学试题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，∵点E为DC的中点，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，∴，，∴，，∴，∵的面积为2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【母子型】（含射影定理）1．（安徽省阜阳市阜阳实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．【答案】【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，∵GC＝a，FC＝2a，∴，∴，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝；故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答．2．（江苏省南京市联合体2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．3．（上海市金山初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．4（辽宁省葫芦岛市连山区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图：中，，以为直径作交于点，交于点，点在的延长线上，．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接AD，根据直角所对圆周角是直角可得∠BAD与ABD的和是90°，再根据等腰三角形的性质可得∠BAD是∠BAC的一半，结合已知条件即可得到结论；（2）连接BE，设AC=m，在Rt△ABF中由勾股定理即可得到AB和AC的长，再证，得到AE的长，即可得到CE的长；【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵是的半径，∴是的切线．（2）设，则，在中，∵，∴，解得，∴，，连接，∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，∴，∴∴．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似，由勾股定理得出方程是解题的关键．5．（江苏省苏州工业园区星海实验中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．（1）解：点是的“理想点”，理由如下：是中点，，，，，，，，，，，点是的“理想点”；（2）①在上时，如图：是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想点”不可能在边上，③在边上时，如图：是的“理想点”，，又，，，即，，综上所述，点是的“理想点”，的长为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．【一线三等角】1．（2022年湖北省襄阳市初中毕业生“新中考”文化课模拟（一模）数学试题）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．【答案】【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF，∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°，∴∠DFB=∠CEF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴，即，设CF=x(x>0)，∵BF=4CF，∴BF=4x，∵BD=3，∴，∵，∴，，∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，∴S△BDF=，∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，∴．故答案为:．【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．2．（江苏省宿迁市2020年中考数学试题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．【答案】（1）见解析

（2）见解析

（3）见解析【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．【详解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽Rt△EBC，∴；（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．【答案】(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．【分析】（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．【详解】解：（1）如图可知：在中，又．（2），是等腰直角三角形BC=2，AB=AC=BC=①当AD=AE时，，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上此情况不符合题意．②当AD=DE时，由（1）结论可知：AB=DC=．③当AE=DE时，是等腰直角三角形，，即．综上所诉：或．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．4．（吉林省长春市绿园区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（山东省泰安市东平县2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．求证：；连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析．【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得．【详解】（1）四边形是正方形，，，，，，，在和中，，；（2）点在中点位置时，，证明如下：如图，连接，延长于的延长线相交于点H，为中点，，四边形是正方形，，，在和中，，，，，是等腰三角形，，，故当点在中点位置时，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．【旋转模型】1．（河南省2019年中考数学试题）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【答案】（1）1，（2）45°（3），【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．，，，，，，，，，，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，故答案为1，．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．，，，，，，，，直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，A，D，C，B四点共圆，，，，，设，则，，c．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，，．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．（广东省深圳市2021年中考数学真题）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．（1）①__________；②__________；③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：①__________（用k的代数式表示）②__________（用k、的代数式表示）【答案】（1）①；②45°；③见解析；（2）①；②【分析】（1）①通过中位线得出，再通过等腰直角三角形斜边与直角边的关系得出,则，在等腰Rt△OBA中得出，再结合中位线OH和正方形的性质证明∠BOH=∠BAF，即可证明出，即可得出比值；②利用相似三角形的性质，对应角相等，代换角即可求出；（2）①用与（1）相似的方法可以证明出，即可得出比值；②通过添加辅助线，构造两个直角三角形，用锐角三角函数和勾股定理表示出两边，即可求出比值．【详解】（1）；②45°③证明：如图所示：由正方形性质得：，O为的中点又∵H为的中点，则，∴是等腰直角三角形∴∴∵∴，又∵∴又∴，又∵∴∴，∴（2）①②理由如下：①如图，连接，与交于O点，连接由题可知四边形ABCD为平行四边形，∴O为AC和BD的中点，又∵H为CE中点，∴，,又∵,∴,即，,即，∵OH是△ACE的中位线，∴OH∥AE，∴,又∵是△AOD的外角，∴,又∵,∴,∴,又∵，∴∴②：由得：，则在中，，不妨令，，如图作则：，则由勾股定理解得：∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，涉及知识点较多，难度较大，能够通过已知条件找出判定相似三角形的条件是解题关键．3．（山东省威海市2020年中考数学试题）发现规律：（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值【答案】（1）的度数为；（2）的度数为；（3）线段长度的最小值为【分析】（1）通过证明可得，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明可得，，可证，可得，由外角性质可得，再有三角形内角和定理进行求解即可；（3）由旋转的性质可得是等边三角形，可得，，如图③将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ，可得，OK=NQ，MO=MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵与是等边三角形∴AB=AC，AD=AE，∴∴∴∵∴∴；（2）∵，∴∴，∴，∴∴∵∴∵∴∴；（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MK∴，∴是等边三角形∴，如下图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ∴，∴OK=NQ，MO=MQ∴是等边三角形∴∴∵OK=NQ∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值∵点的坐标为∴∵轴，∴∴线段OK长度的最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．4．（河南省周口市西华县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）观察猜想(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．(2)类比探究如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可证明，继而得出结论；（2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样．（3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论．【详解】（1）证明：、是等边三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：结论仍成立；理由如下：、是等边三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．【三角形内接矩形模型】1．（人教版九年级27.7相似三角形的应用举例）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________．【答案】【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，∵四边形DEFG为正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，设正方形的边长为，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．2．（【区级联考】吉林省长春市南关区2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB