中考数学二轮培优训练专题28 定弦定角(原卷版)

专题28定弦定角模型的概述：因为同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等，所以当弦的长度保持不变和弦所对应的角度大小固定时，动点的轨迹就是圆或者圆弧。如图，已知AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB对称的圆弧上（①∠APB<90°，在线段AB对称的优弧上运动②∠APB>90°，在线段AB对称的劣弧上运动），但不包括A、B两点。定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆。【练习】如图，已知AB=2，点C为动点，且∠ACB=30°、45°、60°，画点C的运动轨迹，求△ABC外接圆半径。【提问】在△ABP中,∠P=α,AB=2x.1）求△ABP中AB边所对的高的最值。2）求△ABP面积的最值。【提示】这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在AB边固定的同时,虽然∠P的大小不变,但顶点P的位置可以发生变化P,由于同弧所对的圆周角不变,故顶点P可以在△ABP的外接圆的BC这段弦所对的圆弧上运动（不包括B,C两点）。当高线PD过圆心时有最大的高,即h≤OP1+OD.思路：作△ABP的外接圆圆O∵∠AP1B=α∴∠AOB=2α而△AOD≌△BOD∴∠AOD=∠BOD=αAD=BD=x在Rt△AOD中，AO=ADsinα=xsinαDO=AOPC≤P1D=OP1+OD=xsinα+xcosαsinα=xsinS△ABP=12•PC•AB≤12•P1D•AB=12•xsinα(1+cosα【培优过关练】1．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若∠AEC=120°，AC=4，则AD与BCA． B．2π C．43π D．2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点D在半圆O上，半径OB=5，AD=4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DH⊥AC，垂足为，连接BH，点C在移动的过程中，BH3．（2021秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为的外接圆，直线BP交⊙O于4．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=6，将边AB绕点A顺时针旋转a0°<a<120°，得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE=2CE．连接，则的最小值为__________________．5．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F，若点D在△ABC内，∠DBC=15°，则∠BAF=______°；现将△．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）【学习心得】小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是ΔABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，(1)【初步运用】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠(2)【方法迁移】如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°(3)【问题拓展】①如图，已知矩形ABCD，AB=2，BC=m，M为CD上的点．若满足∠AMB=45°的点M恰好有两个，则m②如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2，求7．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】(1)如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则(2)如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB=mm<180°，点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角【问题解决】(3)如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB=135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C【实际应用】(4)如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接、，交于点P，若始终保持AE=CF，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______．8．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−3交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE/​/PD交直线l：y=12x+2于点E，AP交DE于点F，交（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为，当S1（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t9．（2023·陕西西安·校考二模）[发现]如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数（填“变”或“不变”）；若∠AOB=150°，则∠ACB=°．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠[研究]为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB=22，直线AB上方一点C满足∠ACB=45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，[应用]（1）如图（3），AB=23，平面内一点C满足∠ACB=60°，则△ABC（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P①∠BPE=°②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，求CP的最小值．10．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB=4，线段AB上方一点C满足∠ACB=45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段AB的长度已知，∠【模型应用】(1)若AB=6，平面内一点C满足∠ACB=60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB=__________，劣弧AB(2)如图3，已知正方形ABCD以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．①求∠BPE②连接CP，若正方形ABCD的边长为4，求CP的最小值．11．（2023春·广西南宁·九年级校考阶段练习）【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB=4，线段AB上方一点C满足∠ACB=45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点【模型应用】（1）若AB=63，平面内一点C满足∠ACB=60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB=________，半径OA（2）如图3，已知正方形ABCD以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．①求∠BPA②连接CP，若正方形ABCD的边长为6，求CP的最小值．12．（2023·吉林长春·校考二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，AC=5，点P在边AC上（点P与点C不重合），连结PB，过点C作CQ⊥射线BP于点Q．(1)当点Q在△ABC内部时，求AP长的取值范围．(2)连结AQ，则AQ长的最小值为．(3)当△BCP是等腰三角形时，求△BCQ(4)当tan∠PCQ=213．（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC上一点．(1)如图1，过C作CE⊥AB于E，连接AD,DE．若AD平分∠BAC，CD=6，求DE的长；(2)如图2，以CD为直角边，点C为直角顶点，向右作等腰直角三角形△DCM，将△DCM绕点C顺时针旋转α(0<α<45)，连接AM,BD，取线段AM的中点N，连接CN．猜想BD、CN的数量关系，并说明理由：(3)如图3，连接AD，将△ACD沿AD翻折至△ADF处，在BC上取点，连接AH，过点F作FQ⊥AH交AC于点Q，FQ交AH于点G，连接，若FQ∶AH=3∶2，AB=4，当取得最小值时，求△ACG的面积．14．（2023·江苏苏州·统考一模）在边长为8的等边三角形ABC中，D为BC的中点，E，F分别为AC、AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转60∘得到线段EG，连接FG交AC于点N，连接(1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，证明：四边形是菱形；(2)如图2，EF的延长线交AB于点M，当AM+MF=AE时，求∠EAG(3)如图3，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B'EH，连接B15．（2023春·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）在正方形ABCD中，边长为2．点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90o，其中EF交CD于点P，AF交CD于点Q(1)如图1，①若BE=12时，求线段②当点E在线段BC上运动时，求证：∠QEF=(2)如图2，过点B