中考数学二轮培优训练专题25 费马点（原卷版）

专题25费马点费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点。模型：如图，已知∆ABC中所有内角都小于120°，且其内部有一点P，连接PA、PB、PC，当PA+PB+PC的值最小时，求∠APC、∠APB、∠BPC【思路】将PA、PB、PC三条分散的线段转化为连续的折线，然后借助两点之间的线段最短找到符合条件的点P。求解过程：将∆APB绕着点B逆时针旋转60°得到∆A’P’B则∆APB≌∆A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB而∠P’BP=60°则∆P’BP为等边三角形∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°【进阶】已知∆ABC，如何作费马点？①已知∠BAC<120°作法：1）如图，分别以∆ABC中的AB、AC为边，作等边∆ADB、等边∆AEC2）连接CD、BE，则∆ADC≌∆ABE(手拉手模型)3）记CD、BE交点为P，点P为费马点。4）以BC为边作等边∆BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD。②已知∠BAC=120°作法：在∆ABC外作∠BAD=120°,连接BD、CD此时点A为∆BCD的费马点则AB+AC+AD≤PB+PC+PD即AB+AC≤PB+PC+PD-AD≤PA+PB+PC(只有当P、A重合时取等号)③已知∠BAC>120°作法：在∠BAC内部作∠BAE=120°,连接BE、CE则AB+AE≤PA+PB+PE而AC≤AE+EC∴AB+AC≤PA+PB+PE+EC≤PA+PB+PC(只有当P、A重合时取等号)【过关培优练】1．（2023春·湖北十堰·九年级统考阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC【解决问题】如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若，求PA+PB+PC2．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB=AC=7,BC=23，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=_________；若AB=23,BC=2,AC=4，3．（2019秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为_____．4．（2021·四川成都·九年级专题练习）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_____．5．（2023春·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=5，BC=6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA、PB、PC6．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为m，m，2m，将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则∠7．（2023春·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=32，点P为△ABC二、单选题8．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接，若，则4PA+2PB+23PC的最小值是（

）A． B．36 C． D．三、解答题9．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）探究题(1)知识储备①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．(2)知识迁移我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离．(3)知识应用①如图3所示的△ABC（其中∠A､∠B､∠C均小于120°），AB=3,BC=4,∠ABC=30°，现取一点P，使点②如图4，若三个村庄A､B､C构成Rt△ABC，其中AC=6km,BC=43km,∠C=910．（2022·四川成都·模拟预测）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，连接PP'，此时△ACP'≌△ABP(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求证：BE=PA+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出PA+PB+PC的值．11．（2022秋·全国·九年级专题练习）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．如图，点P是△ABC内的一点，将绕点A逆时针旋转60°到△AP'C'，则可以构造出等边△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值转化为PP'+PB+P'C(1)【拓展应用】如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△A①若PA=3，则点P与点P'②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠A(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC12．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图1，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM,BM,CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB（2）若的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，求此时∠AMB,∠（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC．（加权费马点）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值14．（2021·山东济南·统考三模）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．15．（2021·山西·九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：费马，17世纪德国的业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，他独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理.费马得到过这样的结论：如图①，当三角形的三个角均小于120°时，在三角形内有一点P，使得证明：如图②，把绕A点逆时针旋转60°得到△AP'C'∵________，∴△∴AP=P∴PA+PB+PC=P点C'可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°∴当B、P、P'、这时∠BPA=18∠APC=∠BPC=36任务：（1）横线处填写的条件是__________；（2）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长.16．（2019秋·浙江台州·九年级校考期中）(1)知识储备①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．(2)知识迁移①我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离.②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P(要求尺规作图).(3)知识应用①判断题（正确的打√，错误的打×）：ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（

）；ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（

）.②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为6+边长．

17．（2022·全国·九年级专题练习）若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为；(2)如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB'连结BB'．求证：BB'过△ABC的费马点P，且BB'=PA+PB+PC．18．（2022秋·广东河源·九年级校考期中）皓皓在学习“两点之间