中考数学一轮复习知识点梳理+题型训练专题26 垂径定理(解析版)

专题26垂径定理基础知识回顾垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。模型的概述：在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于点E,则CE=CEeq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))证明（思路）：如图，连接OC、OD，则OC=OD∵AB⊥CD∴∠OED=∠OEC=90°∴∆OED≌∆OEC（HL）∴CE=DE∠BOC=∠BOD∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))∵AB为⊙O的直径∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ACB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ADB))∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理。

【口诀】

垂径定理五条件，一个垂直三平分；一条直线过圆心，知二明三把理明；平分弦时要谨慎，此弦不可为直径；两条直径都平分，哪能啥时都垂直。

【解题技巧】见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解。【培优过关练】1．（2022年安徽省中考数学真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（

）A． B．4 C． D．5【答案】D【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，则，，∵PA＝4，PB＝6，∴，∴，∴，在中，，在中，，故选：D【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．2．（2022年四川省泸州市中考数学真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵是的直径，垂直于弦于点，∴∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵∴，解得∴BC=2OD=2x=2故选：C【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．3．（2022年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．【答案】或【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①如图，当点在线段上时，连接，的直径，，，，，，；②如图，当点在线段上时，连接，同理可得：，，；综上，的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．4．（2022年青海省中考数学真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．【答案】/【分析】连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，设的半径长为，则，，再在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：如图，连接，是中的弦的中点，且，，，设的半径长为，则，，，在中，，即，解得，即的半径长为，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．5．（2022年湖南省长沙市中考数学真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．【答案】7【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，连接，A、B、C是上的点，，，D为OC的中点，，四边形是菱形，，．故答案为：7．【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．6．（2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．【答案】【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．【答案】30°/30度【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【详解】∵OC⊥AB，OD为直径，∴，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．8．（2022年贵州省六盘水市中考数学试题卷）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．【答案】(1)(2)，因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况【分析】（1）根据垂径定理可得，勾股定理解，即可求解；（2）在优弧上任取一点，连接根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．根据因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．【详解】（1）解：，，，设半径为，则在中，解得答：半径的长约为（2）如图，在优弧上任取一点，连接，，，因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．（2022年湖北省宜昌市中考数学真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．(1)直接判断与的数量关系；(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．【答案】(1)(2)这座石拱桥主桥拱半径约为【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．【详解】（1）解：∵半径，∴．故答案为：．（2）设主桥拱半径为，由题意可知，，∴，，在中，由勾股定理，得，即，解得，∴，因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．10．（2022年天津市中考数学真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；（2）证明四边形为矩形，FD=CE=CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．【详解】（1）∵为的直径，∴，由C为的中点，得，∴，得，在中，，∴；根据勾股定理，有，又，得，∴；（2）∵是的切线，∴，即，∵，垂足为E，∴，同（1）可得，有，∴，∴四边形为矩形，∴，于是，在中，由，得，∴．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．11．（2022年江苏省扬州市中考数学真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长．【答案】(1)相切，证明见详解(2)6【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论；（2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：，，，，，，即，，，为半径，经过点O，直线与的位置关系是相切．（2）分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．12．（2022年四川省德阳市中考数学真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．(1)求证：是的切线；(2)如果，，①求的长；②求的面积．【答案】(1)证明过程见详解(2)①；②【分析】（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，则问题得解；②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．【详解】（1）连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切线；（2）①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面积为．【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点．13．（北京市2021年中考数学真题试题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．【答案】（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∴；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半径为5，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．14．（2022·山东德州·统考中考真题）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，．(1)与的位置关系为_______；(2)求证：是的切线；(3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：)【答案】(1)相切(2)见解析(3)【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；（2）过点作于点，连接，通过证明，利用直线与圆相切的定义解答即可；（3）过点作于点，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．【详解】（1）解：，点为圆心，为半径，圆心到直线的距离等于圆的半径，为的切线，与的位置关系为相切，故答案为：相切；（2）证明：过点作于点，连接，如图，，为底边的中点，为的平分线，，，，为的半径，为的半径，是的切线；（3）解：过点作于点，如图，，，，，．，，，，为的平分线，．在中，，∴的直径．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．15．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120