指数函数小题练习-2025届高三数学二轮复习

指数函数【A级基础巩固】1.下列函数中，值域是(0，＋∞)的为()A.y＝eq\r(3x－1) B.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)C.y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)) D.y＝3eq\s\up6(\f(1,x))2.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为()A.eq\f(1,2) B.1C.eq\f(3,2) D.23.函数y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是()4.(2023·郑州模拟)已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，c＝5eq\s\up6(\f(1,3))，则()A.c＜b＜a B.a＜b＜cC.b＜a＜c D.c＜a＜b5.函数y＝eq\f(x,|x|ex)的图象的大致形状是()6.(多选)(2024·武汉调研)已知函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)，则下列说法正确的是()A.定义域为R B.值域为(0，2]C.在[－2，＋∞)上单调递增 D.在[－2，＋∞)上单调递减7.(2024·自贡诊断)已知函数f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋3x＋3，且f(a2)＋f(3a－4)>6，则实数a的取值范围为()A.(－4，1) B.(－3，2)C.(0，5) D.(－∞，－4)∪(1，＋∞)8.(2024·东莞调研)已知函数f(x)＝eq\f(a,2x－1)＋eq\f(1,2)是奇函数，则a＝________.9.已知0≤x≤2，则函数y＝4x－eq\f(1,2)－3×2x＋5的最大值为________.10.满足下列三个性质的一个函数f(x)＝______.①若xy>0，则f(x＋y)＝f(x)f(y)；②f(x)＝f(－x)；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减.11.已知函数f(x)＝2mx2－x＋1.(1)若m＝1，判断f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的单调性并证明；(2)若f(x)的值域是[eq\r(2)，＋∞)，求m的取值范围.12.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0，且a≠1)是奇函数.(1)求实数k的值；(2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围.【B级能力提升】13.(多选)(2024·南京调研)已知函数f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A.a＋b＝0B.若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0C.若x<y<0，则f(x)<f(y)D.f(x)的值域为[0，2)14.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)＝4x＋a·2x－2.(1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围.指数函数1．B[函数y＝eq\r(3x－1)的值域为[0，＋∞)；函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的值域为(0，＋∞)；函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x))的值域为[0，1)；函数y＝3eq\s\up6(\f(1,x))的值域为(0，1)∪(1，＋∞)．故选B.]2．D[由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝eq\f(1,2).当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．∴a＝2.]3．D[根据题意，函数y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)，当x＝－1时，必有y＝0，即函数经过点(－1，0)，排除ABC.]4．A[因为a＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝4eq\s\up6(\f(2,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，所以a＝4eq\s\up6(\f(2,3))＞4eq\s\up6(\f(2,5))＝b，因为163＞55，所以16eq\s\up6(\f(1,5))＞5eq\s\up6(\f(1,3))，所以4eq\s\up6(\f(2,5))＞5eq\s\up6(\f(1,3))，即b＞c.综上所述，a＞b＞c.]5．C[∵y＝eq\f(x,|x|ex)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x＞0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x＜0，))∴根据指数函数图象即可判断选项C符合．]6．ABD[函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)的定义域为R，A正确；∵x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1，∴0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)≤2，故函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)的值域为(0，2]，B正确；∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(u)在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋4x＋3)在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确．]7．D[函数f(x)的定义域为R.令g(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋3x，g(x)的定义域为R，则g(x)＝f(x)－3，g(x)＋g(－x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋3x＋eq\f(3－x－1,3－x＋1)－3x＝eq\f(3x－1,3x＋1)＋eq\f(1－3x,3x＋1)＝0，所以g(x)为奇函数，且g(x)＝1－eq\f(2,3x＋1)＋3x为R上的增函数．因为f(a2)＋f(3a－4)>6，所以f(a2)－3＋f(3a－4)－3>0，所以g(a2)＋g(3a－4)>0，即g(a2)>－g(3a－4)＝g(4－3a)，所以a2>4－3a，解得a<－4或a>1，故a的取值范围为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．故选D.]8．1[法一f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以eq\f(a,2－x－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2x－1)＋\f(1,2)))，即eq\f(a,\f(1,2x)－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(a,2x－1)－eq\f(1,2)，所以eq\f(a·2x,1－2x)＋eq\f(a,2x－1)＝－1，即eq\f(a（1－2x）,2x－1)＝－1，所以a＝1.法二f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即eq\f(a,2－1－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2－1)＋\f(1,2)))，解得a＝1.当a＝1时，f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2)，f(－x)＝eq\f(1,2－x－1)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2x,1－2x)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(2x,2x－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(2x－1＋1,2x－1)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2x－1)－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))＝－f(x)，所以当a＝1时，f(x)为奇函数．]9.eq\f(5,2)[设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4，y＝4x－eq\f(1,2)－3×2x＋5＝eq\f(1,2)t2－3t＋5＝eq\f(1,2)(t－3)2＋eq\f(1,2)，故当t＝1，即x＝0时，函数有最大值eq\f(5,2).]10.eq\f(1,a|x|)(a>1)(答案不唯一)[令f(x)＝eq\f(1,a|x|)(a>1)，f(x＋y)＝eq\f(1,a|x＋y|)，f(x)f(y)＝eq\f(1,a|x|)·eq\f(1,a|y|)＝eq\f(1,a|x|＋|y|)＝eq\f(1,a|x＋y|)(xy>0)，所以满足若xy>0，则f(x＋y)＝f(x)f(y)．f(－x)＝eq\f(1,a|－x|)＝f(x)，即f(x)＝f(－x)成立．又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝eq\f(1,a|x|)(a>1)符合题意．]11．解(1)当m＝1时，f(x)＝2x2－x＋1，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．证明如下：记u＝x2－x＋1，任取eq\f(1,2)≤x1<x2，则u1－u2＝(xeq\o\al(2,1)－x1＋1)－(xeq\o\al(2,2)－x2＋1)＝(x1－x2)(x1＋x2－1)，因为eq\f(1,2)≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋x2－1>0，所以(x1－x2)(x1＋x2－1)<0，即有u1－u2<0，所以u1<u2，所以2u1<2u2，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．(2)f(x)的值域是[eq\r(2)，＋∞)，即2mx2－x＋1≥eq\r(2)＝2eq\f(1,2)，所以mx2－x＋1≥eq\f(1,2)且取到最小值eq\f(1,2)，所以有(mx2－x＋1)min＝eq\f(1,2).①当m＝0时，不符合要求；②当m≠0时，则有m>0且eq\f(4m－1,4m)＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(1,2).综上可知，m＝eq\f(1,2)，即m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).12．解(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，所以k＝2.(2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，∵f(1)＜0，即a－eq\f(1,a)＜0，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化为f(m2－2)＞f(－m)，∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，∴实数m的取值范围是(－2，1)．13．ABD[∵函数f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象过原点，∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－a，且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2，故A正确；由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)∈(0，1]，∴f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2∈[0，2)，故D正确．]14．解(1)当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3，令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞)．令g(t)＝(t－1)2