第14讲-椭圆(解析版)

第14讲椭圆.掌握椭圆的定义以及标准方程、几何图形和简单几何性质.1定义平面内与两个定点F1,F这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.如图：P是椭圆上一点，P注PF1+PF2=2a>FPF1+PF2PF2几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程xy范围−a≤x≤a且−b≤y≤b−b≤x≤b且−a≤y≤a顶点ABAB轴长短轴长2b，长轴长焦点FF焦距Fa、b、c的关系a离心率e=3一些常见结论①通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为2b②最大角，P是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，∠F③焦点三角形面积S∆P④焦半径PF1=a+e⑤椭圆x2a2【题型1椭圆的定义】【典题】（1）如图，点A是平面α外一定点，过A作平面α的斜线l，斜线l与平面α所成角为50°．若点P在平面α内运动，并使直线AP与l所成角为35°，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．抛物线 D．双曲线的一支【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分．故选：B．【典题】（2）设定点F10,－3、F2(0,3)动点A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【解析】由题意得，|PF所以|P当且仅当a=9a时取等号，此时a=3因为定点F1(0,－3)、F当|PF1|+|PF2|=6当|PF1|+|PF2|>6时，点故选：D．【点拨】注意椭圆定义的常数要大于两定点距离.巩固练习1.在棱长为1的正方体ABCD－A'B'C'D'中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC'|=2的点P的个数为()A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】∵正方体的棱长为1,∴AC'=∵|PA|+|PC'|=2∴点P是以2c=3为焦距，以a=1为长半轴，以1∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B'C',C'D',CC',AA',AB,AD上各有一点满足条件故选：B．2.设F1－4,0、F2(4,0)为定点，动点A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】B【解析】若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则∵|F1F2|=8∴点M在线段F1故选：D．【题型2椭圆方程】【典题】（1）已知F(2,0)是椭圆E：x2a2+y2b【解析】方法一已知F(2,0)是椭圆E：x2a2可得a2−(这里求a,b可“猜”，由2a2+1b所以所求椭圆方程为：x2方法二依题意可知，椭圆的两个焦点分别为F1−由椭圆的定义，可知2a=EF又c=2所以所求椭圆方程为：x2【点拨】方法二利用椭圆的定义求解，计算量较小.【典题】（2）经过两点A(0,2)、B(12,3)【解析】由题意，设椭圆的方程为x2m则4n=11∴椭圆的标准方程为x2【点拨】过两个点的椭圆设为x2m+y2【典题】（3）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在【解析】椭圆方程4x2+k由于椭圆的焦点在y轴上，则1k>故答案为：0<k<4.【点拨】曲线方程C:当m>0,n>0且m≠n时，C为椭圆(若m=n当m>n>0时，C为焦点在x轴上的椭圆且a当n>m>0时，C为焦点在y轴上的椭圆且a简而言之：看分母大小.巩固练习1.已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长等于16，则顶点A【答案】x225+【解析】∵|BC|=6，且△ABC的周长等于16，∴AB+AC=10>BC，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，∴2a=10，c=3，∴b=4，故顶点A的轨迹方程为x225+故答案为：x225+y22.已知方程x24−k+y2k−1=【答案】(1，52【解析】∵方程x24−k+∴4−k>0k−1>04−k>k−1∴k的取值范围是(1，52)．故答案为：(1，523.焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(3,−26)的椭圆标准方程是【答案】x2【解析】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为x∵焦距等于4，且椭圆经过点P(3,−26∴c=a2−b因此，椭圆的标准方程为x2故答案为：x【题型3椭圆的图像及其性质】【典题】（1）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|，且【解析】由题意可得c=25，设右焦点为由|OP|=|OF|=|OF'|，易得PF⊥PF'(P在三角形∆PFF'外接圆上)由勾股定理，得|PF'|=FF'由椭圆定义，得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12，从而a=6，于是b所以椭圆的方程为x2【点拨】注意焦点三角形△PFF'的运用，常用到椭圆定义|PF【典题】（2）椭圆的离心率为22，F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4【解析】由椭圆的离心率e=ca=2由b2=不妨设椭圆方程为x∴右焦点(－b,0)关于l：y=x+4的对称点设为(x',y')则y'x'+b=−1由点(－4,4－b)在椭圆上，得16+2由椭圆的对称性可知椭圆的焦点坐标也可以在y轴上，(注意焦点的位置)∴椭圆的标准方程为：x218+【点拨】点A(x1,y1⇒AA'的中点(x1+x2【典题】（3）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,【解析】在三角形∆F由余弦定理可得cos∠F1B(用二倍角公式求出也cos∠OBF可设a=5t，c=3t设D(m,n)，即有∵B(0,b)∴k(这是由一定理想到的：A,B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的一点，且kPA,kPB由kBD【点拨】①处理斜率问题常用到斜率公式k=y②本题另一思路：求出直线BF2的方程---联立方程求出点D---求巩固练习1.椭圆x2+my2=1【答案】4或14【解析】由x2+my2=1是椭圆，知m>0当椭圆焦点在x轴上时，长轴长为2，短轴长为21由2=41m，得当椭圆焦点在y轴上时，长轴长为21m，短轴长为由21m=4故答案为：4或14．2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2【答案】3−1【解析】因为|OM|=|OF所以∠F设MF1=m如图所示，由题意：Rt△MF1F2∽Rt△ON可得MF1MF2=ON可得m=(3−1)a∴3∴4－2化为：ca故选：D．3.已知椭圆x22m2−n+yA．(12,+∞) B．(4,12) C．(4,6) D．(6,+∞)【答案】A【解析】依题意得2m2－n>n－且n－m2=4则32(n−4)>n>n－4，得到故选：A．4.设点P为椭圆：x249+y224=1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点【答案】8【解析】因为G为△PF1F因为PF1⊥PF2所以2c2=x所以c2所以方程整理可得x2－14x+48=0，解得当x1=6时，PF则S△P所以S△PG同理x2=8时，故答案为：8．一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A2．（2006·山东·高考真题）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂直于长轴的弦长得到，根据焦点到相应准线的距离得到，结合，求出，求出离心率.【详解】不妨设椭圆方程为，则焦点坐标为，不妨令，则，解得：，故，即，焦点到相应准线的距离为，即又，所以，故，离心率为，当椭圆焦点在轴上时，同理可得：.故选：B3．（2008·山东·高考真题）设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据离心率和长轴长计算得到，，判断曲线为焦点在轴上的双曲线，根据双曲线的定义计算得到答案.【详解】椭圆的离心率为，，，故，故椭圆的两个焦点为，，曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于8，，故曲线为焦点在轴上的双曲线，，，，，故双曲线方程为.故选：A4．（2008·天津·高考真题）设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则点到右准线的距离为（

）A．6 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据椭圆定义，求出，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．【详解】由椭圆第一定义知，所以，椭圆方程为，设点到右准线的距离为，因为到右焦点的距离为1，所以所以，故选：．5．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.6．（2007·北京·高考真题）椭圆的焦点为，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据准线方程公式，由椭圆的方程可得，表示出的长，又，所以把和的长度分别代入，化简即可求出离心率的取值范围，再根据椭圆的离心率小于1，取交集即可.【详解】因为椭圆的准线方程为，所以，又因为，则由，得到，所以，又因为，所以，故，故选：D.7．（2007·湖南·高考真题）设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设出点的坐标，再由题目条件得到，利用两点间的距离公式列出式子，借助化简式子，得到关于离心率的式子，结合离心率的范围解出不等式即可.【详解】设点，因为线段的中垂线过点，所以，即，化简得，因为，所以，即，所以，又因为，所以，解得.故选：D.二、填空题8．（2008·湖南·高考真题）已知椭圆的右焦点为F，右准线为，离心率．过顶点作，垂足为，则直线的斜率等于．【答案】/0.5【分析】根据题意求得，，再由离心率求得，从而可求得直线的斜率.【详解】因为椭圆方程为，所以，右准线为，如图，又因为，，垂足为，所以，因为，所以，，即，所以.故答案为：.9．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率．【答案】【分析】根据圆的性质，结合椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知：圆的方程为，设两切点为，由圆的性质和题意可知：，且，因此是直角三角形，故，故答案为：10．（2007·福建·高考真题）已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为．【答案】/【分析】利用椭圆的定义求椭圆的离心率.【详解】解析:如图，，即∵点在椭圆上，且∴，即，∴##故答案为：##.11．（2015·山东·统考高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于．【答案】【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解【详解】由于是圆，即：圆其中圆心为，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即，，，那么短轴长为故答案为：三、解答题12．（2005·上海·高考真题）如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,．(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【答案】(1)(2)【分析】(1)设出点坐标,代入椭圆方程,根据列出方程联立即可求出点坐标;(2)设出点坐标,根据M到直线的距离等于,列出方程,求出点坐标,设出椭圆上点的坐标,根据两点间距离公式列出式子,将点坐标满足的椭圆方程代入消,可得到关于的二次函数,配方即可求得距离平方的最小值,进而求得距离的最小值.【详解】（1）解:由题知,P在椭圆上,不妨设,,,,即,两式联立可得:,故点P的坐标为;（2）M是椭圆长轴上的一点,不妨设,,,,M到直线的距离等于,,即,因为所以解得设为椭圆任一点,则满足,即,则,故当时有最小值为.13．（2006·福建·高考真题）已知椭圆的左焦点为为坐标原点.(1)求过点，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A､B两点，线段的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆左焦点F的坐标，左准线l的方程，再求出圆的方程作答.（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的垂直平分线方程，可求得点的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点的横坐标的取值范围.【详解】（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，则，依题意，所求圆的圆心在直线，设，则半径，而，解得，所以所求圆的方程为.（2）设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根．设点、，设的中点为，则，，．直线的垂直平分线的方程为，令，则.因为，所以故点的横坐标的取值范围.14．（2006·福建·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；(2)设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段的中点在直线上，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆左焦点F的坐标，左准线l的方程，再求出圆的方程作答.（2）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理求解作答.【详解】（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，则，依题意，所求圆的圆心在直线上，设，则半径，而，解得，所以所求圆的方程为.（2）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为，由消去y并整理得：，设中点，则，，因线段AB的中点N在直线上，有，解得或，直线AB方程为：或，当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上，所以直线AB的方程是或.四、双空题15．（2004·北京·高考真题）若直线与圆没有公共点，则m，n满足的关系式为；以为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有个．【答案】；2【分析】由直线与圆无公共点，圆心到直线的距离大于半径，应用点线距离公式得到m，n的关系式，根据椭圆短轴长即可判断与椭圆内的位置关系，进而可得直线与椭圆的交点个数.【详解】要使直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径即可，所以，则，因为椭圆的短轴长为，而，即恒在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个.故答案为：，216．（2021·浙江·统考高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.【答案】【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设，设切点为，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案为：；．一、单选题1．椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆方程可求得的值，进而可得离心率.【详解】由椭圆方程得：，，，椭圆离心率.故选：D.2．已知两定点，，直线l：y＝x－，在l上满足|PM|＋|PN|＝2的点P的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．0或1或2【答案】B【解析】利用椭圆的定义求出和，然后，联立直线和椭圆方程，求解即可求解【详解】由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，故c＝1，a＝，b＝1，其方程为，由，得，则在l上满足的点P有1个，故选B.【点睛】解题关键在于，联立直线和椭圆方程，利用求解，属于基础题3．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（

）A．3 B． C．12 D．2【答案】A【分析】根据椭圆的性质，求出，得到，进而可求出值.【详解】焦点在轴上的椭圆，可得，椭圆的离心率为，可得：，解得.故选：A4．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆的几何性质，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.【详解】椭圆的，如图，设椭圆的右焦点为，则；；由图形知，当在直线上时，，当不在直线上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，，当在的延长线上时，取得最小值的最小值为．故选：C．5．已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（

）A． B． C．8 D．63【答案】B【分析】依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案．【详解】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，又因为，所以，PM为圆的切线，，所以当PF最长时，切线长PM最大．当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为．此时的最大值为．故选：B．6．如图所示，已知是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题设可得，直线的方程为，点线距离公式表示到直线的距离，又联立解得即可得出答案.【详解】且，则△是等边三角形，设，则①，∴直线的方程为，即，∴到直线的距离为②，又③，联立①②③，解得，，故椭圆方程为.故选：D.二、多选题7．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（

）A．为定值B．的周长的取值范围是C．当时，为直角三角形D．当时，的面积为【答案】ACD【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.【详解】设椭圆的左焦点为，则所以为定值，A正确；的周长为，因为为定值6，所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；将与椭圆方程联立，可解得，又因为，∴所以为直角三角形，C正确；将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.故选：ACD8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点．下列椭圆的方程中，能使得为正三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据题意可知，要使为正三角形，则，可得通径，再结合椭圆的定义既可求得，对各选项逐一检验即可得出答案.【详解】设椭圆．由题意知，易得，又，故，显然B、D选项正确．故选：BD.

三、填空题9．设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为.【答案】【分析】由题设易知，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.【详解】由题设，，则，而，所以.故答案为：.10．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为.【答案】【解析】根据题中条件，得到所求椭圆焦点在轴上，且，设它的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且.设它的标准方程为，因为，且，故①，又点在所求椭圆上，所以②由①②得，，所以所求椭圆的标准方程为.11．已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点,且则的方程为．【答案】【详解】试题分析：依题意设椭圆C的方程为+=1（a>b>0）,由条件可得,,因,即,所以解得所以椭圆C的方程为．故选C．考点：椭圆的方程．12．已知命题方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：方程表示圆．若“p或”为假，求实数a的取值范围．【答案】【分析】若“或”为假，等价于命题为假，且命题为真，再椭圆和圆的方程要求列不等式，解出不等式即可【详解】解：当命题为真命题时，解得：当命题为真命题时，即或．若“或”为假，则命题为假，且命题为真若命题“”为假命题，则有：或综上可得：或实数a的取值范围：故答案为：四、解答题13．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点．(2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离为，可求出，再由b2＝a2﹣c2计算，写出椭圆方程；（2）由椭圆的对称性可判断椭圆过，两点，又，不同时在椭圆上，可确定点在椭圆C上，将点代入椭圆方程计算，可求出的值，从而写出椭圆方程.(1)根据题意，两个焦点的坐标分别为，即c＝2，又由椭圆经过点，则2a，故a，则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，故要求椭圆的方程为1；(2)解：由题意，因为，两点关于y轴对称，所以椭圆C经过，两点，又由，知，椭圆C不经过点，所以点在椭圆C上，因此，解得，所以椭圆C的方程为．14．已知曲线C的方程为．(1)判断曲线C是什么曲线，并求其标准方程；(2)过点的直线l交曲线C于M，N两点，若点P为线段MN的中点，求直线l的方程．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据椭圆的定义即可判断并求解；(2)根据点差法即可求解中点弦斜率和中点弦方程.【详解】（1）设，，E(x，y)，∵，，且，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．设椭圆C的方程为，记，则，，，，，曲线的标准方程为．（2）根据椭圆对称性可知直线l斜率存在，设，则，由①－②得，，∴l：，即.15．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，Q(1，0).【分析】（1）由顶