考点03函数的概念与性质(8种题型10个易错考点)(原卷版)

考点03函数的概念与性质（8种题型10个易错考点）【课程安排细目表】真题抢先刷，考向提前知二、考点清单三、题型方法四、易错分析五、刷好题六.刷压轴一一、真题抢先刷，考向提前知一．选择题（共3小题）1．（2022•上海）下列函数定义域为R的是（）A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝2．（2023•上海）下列函数是偶函数的是（）A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x3．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x二．填空题（共2小题）4．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝．5．（2022•上海）设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为．三．解答题（共3小题）6．（2020•上海）已知非空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成立，则称函数f（x）具有A性质．（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．7．（2021•上海）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．8．（2021•上海）已知x1，x2∈R，若对任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，则有定义：f（x）是在S关联的．（1）判断和证明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）关联？是否有[0，1]关联？（2）若f（x）是在{3}关联的，f（x）在x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3．（3）证明：f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”．

二二、考点清单1.函数的概念设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.5.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.6.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值7.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称8.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.三三、题型方法一．函数的定义域及其求法（共3小题）1．（2023•虹口区二模）函数y＝lg（x﹣1）+的定义域为．2．（2023•普陀区二模）函数的定义域为．3．（2023•浦东新区模拟）函数的定义域为．二．函数的值域（共1小题）4．（2023•虹口区二模）对于定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，，则该函数的值域为．三．函数解析式的求解及常用方法（共1小题）5．（2023•宝山区校级模拟）已知a＞0，函数（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是．四．函数的图象与图象的变换（共2小题）6．（2023•黄浦区模拟）设a，b，c，d∈R，若函数y＝ax3+bx2+cx+d的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＞0 D．b＜0，c＜07．（2023•上海模拟）已知函数，则其图象大致是（）A． B． C． D．五．函数的最值及其几何意义（共3小题）8．（2023•浦东新区校级一模）函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），则n的最大值是（）A．11 B．13 C．14 D．189．（2023•徐汇区二模）已知函数，x∈[b，+∞），其中b＞0，a∈R，若f（x）的最小值为2，则实数a的取值范围是．10．（2023•浦东新区二模）函数在区间上的最小值为．六．函数奇偶性的性质与判断（共6小题）11．（2023•闵行区二模）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）A．y＝0 B． C．y＝x2 D．y＝2x12．（2023•杨浦区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上严格递减的是（）A．y＝2|x| B．y＝ln（﹣x） C． D．13．（2023•奉贤区二模）已知y＝f（x）为R上的奇函数，且当x≥0时，，则y＝f（x）的驻点为．14．（2023•金山区二模）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x3+2x﹣1，则f（﹣2）＝．15．（2023•静安区二模）已知函数为偶函数，则函数f（x）的值域为．16．（2023•宝山区校级模拟）设定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．七．奇偶性与单调性的综合（共3小题）17．（2023•崇明区二模）下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）A．f（x）＝tanx B． C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x18．（2023•浦东新区模拟）下列函数在定义域中，既是奇函数又是严格减函数的是（）A．y＝﹣lnx B． C．y＝ex﹣e﹣x D．y＝﹣x|x|19．（2023•浦东新区校级三模）下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（）A．f（x）＝tanx B．f（x）＝x﹣ C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝x（ex+e﹣x）八．函数恒成立问题（共6小题）20．（2023•浦东新区三模）已知定义在R上的函数y＝f（x）．对任意区间[a，b]和c∈[a，b]，若存在开区间I，使得c∈I∩[a，b]，且对任意x∈I∩[a，b]（x≠c）都成立f（x）＜f（c），则称c为f（x）在[a，b]上的一个“M点”．有以下两个命题：①若f（x0）是f（x）在区间[a，b]上的最大值，则x0是f（x）在区间[a，b]上的一个M点；②若对任意a＜b，b都是f（x）在区间[a，b]上的一个M点，则f（x）在R上严格增．那么（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题21．（2023•金山区二模）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）的表达式分别为，g（x）＝x|x2﹣a|，若对任意，若存在x2∈[﹣3，0]，使得g（x1）＜f（x2），则实数a的取值范围是．22．（2023•长宁区二模）若对任意x∈[1，2]，均有|x2﹣a|+|x+a|＝|x2+x|，则实数a的取值范围为．23．（2023•奉贤区二模）设函数y＝f（x）的定义域是R，它的导数是f'（x）．若存在常数m（m∈R），使得f（x+m）＝﹣f'（x）对一切x恒成立，那么称函数y＝f（x）具有性质P（m）．（1）求证：函数y＝ex不具有性质P（m）；（2）判别函数y＝sinx是否具有性质P（m）．若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由．24．（2023•松江区模拟）已知fa（x）＝|x|+|x﹣a|，其中a∈R．（1）判断函数y＝fa（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＝4时，对任意非零实数c，不等式均成立，求实数t的取值范围．25．（2023•黄浦区模拟）定义在R上的函数y＝f（x），y＝g（x），若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|对任意的x1，x2∈R成立，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”．（1）若函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”且y＝f（x）是偶函数，求证：y＝g（x）是偶函数；（2）若，求证：当a≥1时，函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”；（3）设定义在R上的函数y＝f（x）与y＝g（x），它们的图像各是一条连续的曲线，且函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“从属函数”．设α：“函数y＝f（x）在R上是严格增函数或严格减函数”；β：“函数y＝g（x）在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断α是β的什么条件？请说明理由．四四、易错分析易错点1：求函数的单调区间忽视定义域致错函数y＝eq\r(x2＋3x)的单调递减区间为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]易错点2：判断函数的奇偶性忽视定义域致错判断函数f(x)＝eq\r(\f(1－x,1＋x))的奇偶性：易错点3：有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x<1，,4－\r(x－1)，x≥1，))则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________．易错点4：有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是()A．[－4,1) B．(1,4]C．(1,2] D．C．（1，＋∞)易错点5：有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<1，,x2－2ax，x≥1))在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．易错点6：有关奇函数的解析式忽视自变量0的函数值致错已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为_______．易错点7：使用换元法忽视新变量的取值范围致错若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝________.易错点8：忽视零点存在性定理前提条件而致错对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解易错点9：搞不清复合函数的自变量而致错已知f(x2－1)的定义域为[0,3]，则f(2x－1)的定义域是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2)))C. D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))易错点10：搞不清函数图象左右平移规则而致错将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．五五、刷好题一．函数的定义域及其求法（共2小题）1．（2021•黄浦区三模）函数f（x）＝的定义域为．2．（2021•黄浦区三模）如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA＝θ，总造价为y万元．（1）把y表示成θ的函数y＝f（θ），并求出定义域；（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？二．函数的值域（共1小题）3．（2021•徐汇区校级三模）下列函数中，与函数y＝x3的值域相同的函数为（）A．y＝（）x+1 B．y＝ln（x+1） C．y＝ D．y＝x+三．函数的图象与图象的变换（共2小题）4．（2022•徐汇区三模）函数f（x）＝（﹣1）sinx图象的大致形状是（）A． B． C． D．5．（2022•杨浦区模拟）定义域为[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y＝f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（）A．y＝x2 B．y＝ C．y＝x﹣ D．y＝sinx四．复合函数的单调性（共2小题）6．（2021•浦东新区三模）函数y＝的单调递减区间为．7．（2021•徐汇区校级三模）函数y＝lgsin2x的单调递减区间为．五．函数的最值及其几何意义（共2小题）8．（2022•浦东新区校级模拟）若分段函数f（x）＝，将函数y＝|f（x）﹣f（a）|，x∈[m，n]的最大值记作Za[m，n]，那么当﹣2≤m≤2时，Z2[m，m+4]的取值范围是．9．（2021•金山区二模）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则称函数f（x）为“G（m）函数”．（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；（2）若函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”，求实数a的取值范围；（3）已知f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，设g（x）＝x|x﹣4|．若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有＞2成立，求实数t的最大值．六．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）10．（2021•长宁区二模）设f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），则“y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件11．（2021•奉贤区二模）设函数f（x）＝lg（1﹣cos2x）+cos（x+θ），θ∈[0，）．（1）讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设θ＞0，解关于x的不等式f（+x）﹣f（﹣x）＜0．七．抽象函数及其应用（共1小题）12．（2021•上海模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f（10+x）＝f（10﹣x），f（20﹣x）＝﹣f（20+x），则f（x）是（）A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数八．函数恒成立问题（共4小题）13．（2021•浦东新区校级三模）已知实数a＞0，函数f（x）＝，g（x）＝x+a，若对任意x1∈[﹣2a，2a]，总存在x2∈[﹣2a，2a]，使得f（x2）≤g（x1），则a的最大值为．14．（2021•徐汇区二模）已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为．15．（2021•宝山区校级模拟）已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．16．（2021•黄浦区三模）已知函数f（x）＝a﹣（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意x∈[1，6]，不等式f（x）≥恒成立，求实数u的最大值．八八.刷压轴一、填空题1．（2023·上海崇明·统考二模）若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．2．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.二、解答题3．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性；(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.4．（2023·上海金山·统考一模）若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是