2024-2025学年天津市红桥区高二上册期末数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年天津市红桥区高二上学期期末数学检测试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9题，每小题4分，共36分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（

）A．60 B．45 C．35 D．252．由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（

）A． B． C． D．3．给定数组，则错误的是（）A．中位数为3 B．标准差为C．众数为2和3 D．第85百分位数为44．从1、2、…、9中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．在上述事件中，是对立事件的是（

）A．①； B．②④； C．③； D．①③．5．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（

）

A．4 B．5 C．6 D．76．数列满足，，则（

）A．2 B．3 C．6 D．87．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（

）A．2 B．4 C．2 D．48．记为等差数列的前n项和，若，，则（

）A．240 B．225 C．120 D．309．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472第Ⅱ卷填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分10．已知数列的前项和满足，且成等差数列，则；．11．已知数列为等比数列，、，则12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．13．在的展开式中，常数项为．14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）15．3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有种．（请用具体数字作答）三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.(1)求；(2)求展开式中的常数项.17．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.18．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．（1）求数列、的通项公式；（2）设的前项和为，求（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．19．已知数列的前项和，，且．(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足，求证：．2024-2025学年天津市红桥区高二上学期期末数学检测试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9题，每小题4分，共36分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（

）A．60 B．45 C．35 D．25【正确答案】B【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算【思路】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可；由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人，所以分层抽样的比例为，所以故选：B.2．由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【知识点】计算古典概型问题的概率【思路】利用古典概型概率公式求解即可.由题意得三个数字中只有1个偶数，且设概率为，所以，即任取1个数，恰为偶数的概率是，故B正确.故选：B3．给定数组，则错误的是（）A．中位数为3 B．标准差为C．众数为2和3 D．第85百分位数为4【正确答案】D【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的中位数、计算几个数的众数【思路】求得数组的中位数判断选项A；求得数组的标准差判断选项B；求得数组的众数判断选项C；求得数组的第85百分位数判断选项D.将数组从小到大依次排列为则中位数为，故选项A判断正确；平均数为标准差为，故选项B判断正确；众数为2和3，故选项C判断正确；由，可得第85百分位数为5.故选项D判断错误.故选：D4．从1、2、…、9中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．在上述事件中，是对立事件的是（

）A．①； B．②④； C．③； D．①③．【正确答案】C【知识点】写出某事件的对立事件、互斥事件与对立事件关系的辨析【思路】根据题意，分析从1，2，3，，9中任取两数，其中可能的情况即基本事件，进而依次分析四个事件，看其中包含的事件是否对立，即可得答案．根据题意，从1，2，3，，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.故选：C．5．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【正确答案】C【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算【思路】先由频率之和为解得值，计算可得之间的学生人数，根据抽样比可求得.由题得，所以．在之间的学生：人，现再从这人中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，故.故选：C．6．数列满足，，则（

）A．2 B．3 C．6 D．8【正确答案】C【知识点】根据数列递推公式写出数列的项【思路】根据数列中项的关系式，即可求解..故选：C7．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（

）A．2 B．4 C．2 D．4【正确答案】D【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算、确定等比中项【思路】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.解：因为，所以与的等比中项是，故选：D.8．记为等差数列的前n项和，若，，则（

）A．240 B．225 C．120 D．30【正确答案】A【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算【思路】根据等差数列的性质和求和公式可得，，进而可得，结合等差数列性质运算求解即可.因为数列为等差数列，则，即，又因为，可得，则等差数列公差，可得，所以.故选：A.9．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472【正确答案】D【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题【思路】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.四书、五经必须分别排在一起，共有种，若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种，则共有种．故选：D.第Ⅱ卷填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分10．已知数列的前项和满足，且成等差数列，则；．【正确答案】【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式【思路】根据题意，得到，得到为等比数列，列出方程组，求得，再由等比数列的通项公式，即可求解.由数列的前项和满足，当时，，两式相减可得，又由成等差数列，所以，即，解得，所以数列是以2为公比的等比数列，所以数列的通项公式为.故；.11．已知数列为等比数列，、，则【正确答案】【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算【思路】根据等比数列性质，，求出，进而得到答案.因为数列为等比数列，、，所以，所以，又，所以，即，所以.故−212．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【正确答案】/0.3【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题【思路】根据古典概型计算即可解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故13．在的展开式中，常数项为．【正确答案】20【知识点】求指定项的系数【思路】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.因为的展开式的通项为，令，可得，所以常数项为.故20.14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）【正确答案】【知识点】实际问题中的组合计数问题【思路】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.［方法一］：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．故答案为.［方法二］：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．故答案为.【总结】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．15．3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有种．（请用具体数字作答）【正确答案】72【知识点】不相邻排列问题【思路】利用插空法求解即可.3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相邻的排法共有种故72三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.(1)求；(2)求展开式中的常数项.【正确答案】(1)；(2).【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数【思路】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；（2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，所以，即，解得或（2）的展开式中通项为，由时，可得，即第7项为常数项，所以展开式中的常数项为.17．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.【正确答案】(1)，；(2).【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式【思路】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果.（2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此当为奇数时，，当为偶数时，，所以.18．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．（1）求数列、的通项公式；（2）设的前项和为，求（3）设，的前n