2023-2024学年江苏省南京市高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南京市高一下学期6月期末考试数学试题

、选择题（第1-8题每题5分，第9-11题每题6分，共58分）

1.设i为虚数单位，若复数z满足i3z=1+2i,则已在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知。为锐角，且cos®+§=亳,则sin。=（）

A+1o2—A/3「2+1T-X4-\/3—3

3.在"BC中，己知a=A/2,b=岛B=60°,则4角的度数为（）

A.30°B.45°C,45°或135°D.60°

4.已知同=5,\b\=4,若之在3上的投影向量为-1•瓦则Z与刃的夹角为（）

A.60°B.120°C,135°D.150°

5.设样本数据打,%2,…Mio的均值和方差分别为1和2,若％=2阳一10=1,2,•­­,10）,则打）2,…,Vio的方差

为（）

A.1B.3C.4D.8

6.已知a,0是两个不同的平面，m,1是两条不同的直线，若机ua,aC0=1,贝ij“小〃2”是“机〃£”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.如图，在正四棱柱48CD-48停1。1中，441=348,则异面直线4道与力以所成角的余弦值为（）

9

B10C-1

8.如图，平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=2,N4=45。.现将铝。。沿BD起，使二面角C-BD-A大

小为120。，则折起后得到的三棱锥C-AB0外接球的表面积为（）

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A.IOTTB.157rC.207TD.兀

9.已知n是不同的直线，a,£是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（）

A.若。〃8，m1a,m//n,则n10

B.若zn〃a,aC0=n,则zn〃n

C,若m〃a,贝｝|7i〃a

D.若m1a,m10,na,贝!Jn//0

10.2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精

神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样

本进行统计（满分：100分），得到如下的频率分布直方图，则（

注：同一组中的数据用该组区间中点值代表.

A.图中y的值为0.004

B.估计样本中竞赛成绩的众数为70

C.估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分

D.估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75

11.已知正三棱台AiBiCi—ABC,AB=2A1B1=4,=&，下列说法正确的是（）

A.正三棱台&8忑1-48c体积为避

B.侧棱CCi与底面力BC所成角的余弦值为半

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C.点4到面BB1JC的距离为2避

D.三棱台a/iCi-ABC的外接球的表面积为卫券

二、填空题(共15分)

12.已知向量2,茄勺夹角为拶，同=*,历|=1,则|33+而=___.

O

13.在ATIBC中，内角4B,。所对的边a,b,c满足房=儿，则微=,三角形48c为锐角三角

形，则cos(C-B)+cos/的取值范围是.

14.如图，在长方体&&的。1中，AB=AD=1,AAr=2,P为的中点，过PB的平面a分别与

棱441，CCi交于点E,F,且ZC〃仇，则截面四边形PEBF的面积为.

15.已知cosa=*,sin(a-S)且a,/?€(05.求:

5104

(l)cos(2a一0)的值;

(2)口的值.

16.如图，AB是圆。的直径，点P在圆。所在平面上的射影恰是圆。上的点C,且PC=AC=2BC=4,点D

是PA的中点，点尸为PC的中点.

(1)求异面直线BF和PA所成角的大小；

⑵求二面角D-BC-4的大小.

17.在44BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c2=BA-~BC-2^S,其中S为44BC的

面积.

(1)求角A的大小;

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(2)设。是边BC的中点，若481AD,求4。的长.

18.如图，四棱锥P-4BC。的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面4BCD为矩形，且平面P4D，平面

ABCD,M,N分别为4B,AD的中点，二面角D-PN-C的正切值为2.

(1)求四棱锥P—2BCD的体积；

(2)证明：DM1PC;

(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值.

19.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一,

它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：

设的,a2,a3,an,历,b2,b3,bnGR,则(底,+/+…+/)(比+与+…+扇)》

(01^1+

a2b2+…+anbn)

当且仅当仇=0(=1,2,…,n)或存在一个数k,使得因=协&=1,2,…,71)时,等号成立.

(1)请你写出柯西不等式的二元形式；

(2)设P是棱长为理的正四面体ABC。内的任意一点，点P到四个面的距离分别为心、d2、d3、cU，求出+

0+d|+成的最小值；

(3)已知无穷正数数列｛an｝满足：

①存在meR,使得=1,2,...)；

-1

②对任意正整数八Hj),均有@一町|》百孑

求证：对任意九>4,nEN*,恒有m>1.

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答案

1.5

2.D

3.B

4.B

5.D

6.C

7.5

8.C

9.ABD

10.ACD

ll.BCD

12.四

13.2;(1,1]

14.乎

15.解：(1)因为a,Be(0,^),所以a-0e(一瑞).

又因为sin(a-S)=更^>0,所以O<a-0.所以sina=(1-cos2a=至2cos(a-/?)=^/l—sin2(a—

_35

10,

cos(2a—/?)=cos[a+(or—/?)]=cosacos(a—S)—sinasin(a—/?)=xx=

(2)cos£=cos[a—(a—S)]=cosacos(a—，)+sinasin(a—S)=xx

又因为6e(o,5,所以£=J.

16.解：(1)取AC中点M,连结BM,FM,

因为乩M分别为PC,AC的中点，所以FM〃PH

所以NBFM(或其补角)为异面直线BF和R4所成角，

因为PC=4C=2BC=4,C为己48为直径的圆上的点，

所以在直角三角形BCM中，BC=MC=2,乙BCM=90。得BM=2的，

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因为点P在圆。所在平面上的射影恰是圆。上的点C,所以P。1面4BC,

又BC,BA在平面ABC内，

所以PC1BC,PC1BA,

所以BF=BM=2避，

所以三角形BMF为正三角形，4BFM=60。,

异面直线BF和P4所成角是60。；

(2)由(1)知BC1PC,BC1AC,PCCiXC=C,

得BC1平面PC4且DCu平面PC4

所以BC1CD,又BC1AC,

所以NDC4为二面角D-BC-A的平面角，

在等腰直角三角形PC4中易知NDC4=45°,

故二面角D—BC—A的大小为45。.

17.解：(1)据©2=瓦？•丽—2pS,可得02=c•a•cosB-28x'jacsinB,

即c=acosS-^/3asinB,

结合正弦定理可得sinC=sin/lcosB—^/3sinXsinB.

在△ABC中，sinC=sin[7T—(X+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosXsinB,

所以sinAcosB+cosAsinB=sinZcosB一巡sinAsinB,

整理得cosAsinB=—yf3sinAsinB.

因为Be(0,兀)，sinB>0,故cosA=—J5sinA,即tanA=一字，

又ae(O,TT),所以A=|TT.

(2)因为。是边BC的中点，故SAABD=S^ACD，

所以3-AD=1b-AD-sinzDXC,

即，2〃！J，--

2262

整理得c=争①.

222

在△ABC中，据余弦定理得，a=6+c—2bccosZ.BAC9

即按+c2+y/3bc=4②.

联立①②，可得力亍c

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D是边BC的中点，BD=1,

在RtAaBD中，据勾股定理得，AD2=BD2-AB2=1-(^|)2=

所以4D=星.

13

18.(1)解：VAP/0为正三角形，N为中点，

•••PN1AD.

又•・•平面PA。1平面/BCD,平面PAD八平面ABC。=AD,

•••PN1平面4BGD.

又NCu平面ABC。，

PN上NC,

・•・/DNC为二面角D—PN—C的平面角，

nr

：.tan乙DNC=2=照.

DN

又DN=1,DC=2,

•••底面4BCD为正方形.

又易得PN=收，

四棱锥P—2BCD的体积U=|x2x2xV3=竽.

(2)证明：由(1)知，PN_L平面4BCD,DMu平面力BCD,PN1DM.

在正方形ABC。中，易知4M三ACDN,；.KADM=4DCN.

而N4DM+^MDC=90°,

.­.乙DCN+/.MDC=90°,

•••DM1CN.

■：PNCtCN=N,：.DM1平面PNC.

PCu平面PNC,DM1PC.

(3)解：设DMnCAf=0,连接PO,MN.

•••DM1平面PNC,

NMP。为直线PM与平面PNC所成的角.

可求得，DM=依，DO=嘈,M0=器-缚=嘻

V。555

又MN=A/2,PM=yJPN2+MN2=非,

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M。_誓_3

・••sinZ-MPO两=状=引

直线PM与平面PNC所成角的正弦值为:

19.解：（1）柯西不等式的二元形式为：

设@1，敢，必,b2ER,则（於+，）（据+凌）之（仅仍1+a2b2）2,

当且仅当。1力2=a2bl时等号成立；

（2）由！•­：«1'••；1,I1---）,\•-I'■.,

彳安未遂）3=,X字（招）2@+d2+d3+44）,

iz。q

所以n+C?2+的+C?4=—,

又由柯西不等式得：

（城+的+培+6?4）（1+1+1+1）

N®i,1+C?2,1+C?3,1+d/[,1）2

=（询+d，2+虑+6?4）2,

所以出+度+戏+或以®l+d2；d3+d4）2=5

当且仅当di==坐时等号成立；

6

（3）对71之4,记）1，左2，…，（n是1，2,…，九的一个排列,

a

且满足0<<ctk2<…Vkn工m,

由条件②得：（i=2,3,-,n）,

于是，对任意的nN4,都有

ma

kn>。心一以1