2022年中考数学试题分类汇编：尺规作图

第38章尺规作图

一、选择题

1.〔2022浙江绍兴，8,4分〕如图，在A45C中，分别以点A和点5为圆心，大于工A3的

2

长为半径画弧,两弧相交于点M,N，作直线,交3C于点。，连接AD.假设AADC

的周长为10,AB=7,那么AABC的周长为U

A.7B.14C.17D.20

〔第8题图〕

【答案】C

填空题

三、解答题

（2022江苏扬州,26,10分），如图，在RtZkABC中,ZC=90°,ZBAC的角平分线AD

交BC边于D。

（1）以AB边上一点O为圆心，过A,D两点作。O（不写作法，保存作图痕迹），再

判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由;

（2）假设（1）中的。。与AB边的另一个交点为E,AB=6,BD=2A/3,求线段BD、

BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保存根号和万）

【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O,O为圆心，OA为半径作圆。

判断结果：BC是。O的切线。连结OD。

：AD平分NBACZDAC=ZDAB

VOA=OD.•.ZODA=ZDAB

.•.ZDAC=ZODA.•.OD/7ACZODB=ZC

：ZC=90°Z.ZODB=90°即：ODXBC

：OD是。O的半径BC是。O的切线。

（2）如图，连结DE。

设。O的半径为r,那么0B=6-r,

在Rt^ODB中，ZODB=90°,

...OB2=OD2+BD2即：（6寸）2=於+（2方下

・•・r=2JOB=4I.ZOBD=30°,ZDOB=60°

VAODB的面积为4x2百x2=2百，扇形ODE的面积为幽x»x2?=-71

23603

阴影局部的面积为2B一2乃。

3

2.12022山东滨州，23,9分〕根据给出的以下两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线,

把△ABC恰好分割成两个等腰三角形〔不写做法，但需保存作图痕迹)；并根据每种情

况分别猜想：ZA与有怎样的数量关系时才能完成以上作图并举例验证猜想所得结

论。

m如图①△ABC中，/C=90°,ZA=24°

①作图：

②猜想：

③验证：

(2)如图②△A3C中，ZC=84°,ZA=24°.

(第23题图②)

①作图：

②猜想：

③验证：

【答案】

(1)①作图：痕迹能表达作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作NACD=NA(或

/BCD=/B)两类方法均可，

在边AB上找出所需要的点D,那么直线CD即为所求............2分

②猜想：ZA+ZB=90°,........................4分

③验证：如在AABC中，ZA=30°,/B=60。时，有NA+/B=90。，此时就能找到一条

把AABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。...........5分

⑵答：①作图：痕迹能表达作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作NACD=NA

或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。

在边AB上找出所需要的点D,那么直线CD即为所求............6分

②猜想：ZB=3ZA.......................8分

③验证：如在AABC中，ZA=32°,ZB=96,有/B=3/A,此时就能找到一条把AABC

恰好分割成两个等腰三角形的直线。...........9分

3.(2022山东威海，20,8分)我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一

个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心.

⑴如图①，AABC2DEF,△。历能否由AABC通过一次旋转得到假设能，请用直尺

和圆规画出旋转中心，假设不能，试简要说明理由.图①

(2)如图②，AABgAMNK,AMNK能否由AABC通过一次旋转得到假设能，请用直尺

和圆规画出旋转中心，假设不能，试简要说明理由.

〔保存必要的作图痕迹〕

图①图②

【答案】解：(1)能，点。就是所求作的旋转中心.

图①图②

(1)能，点。2就是所求作的旋转中心.

4.12022浙江杭州，18,6)四条线段a,b,c,4如图,a：b-.c：4=1：2：3：4.

(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保存作图痕迹，不必写出作

法)；

(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率.

【答案】(1)只能取6cd三条线段，作图略

(2)四条线段中任取三条共有四种等可性结果：(a,b,c),10,b,d),

[a,c,d},[b,c,d),其中能组成三角形的只有[b,c,d),所以

以它们为边能作出三角形的概率是工.

4

5.（2022四川重庆，20,6分）为进一步打造“宜居重庆〃，某区拟在新竣工的矩形广场的

内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口42的距离相等，且到

广场管理处C的距离等于A和8之间距离的一半，A、B、C的位置如下列图.请在答

题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置.（要求：不写、求作、作法和结论，保

存作图痕迹，必须用铅笔作图）

【答案】

6.12022甘肃兰州，25,9分〕如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网

格的交点A、B、Co

（1）请完成如下操作：

①以点0为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面

直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置〔不用写作法，保存作图

痕迹），并连结AD、CD。

[2）请在（1）的根底上，完成以下问题：

①写出点的坐标：C、D；

②。D的半径=[结果保存根号）；

③假设扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，那么该圆锥的底面面积为（结果保存扪；

④假设E[7,0）,试判断直线EC与OD的位置关系并说明你的理由。

【答案】m

4

④相切。

理由：：CD=2百，CE=V5,DE=5

.•.CD2+CE2=25=DE2

.•./DCE=90°即CEXCD

；.CE与。D相切。

7.(2022重庆江津，23,10分)A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在

直线为x轴建立如下列图的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).

(1)一辆汽车由西向行驶，在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相

等,如果有请用尺规作图找出该点,保存作图痕迹，不求该点坐标.

(2)假设在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小，通过作图在图中找出建

游乐场的位置，并求出它的坐标.

y八

,B(7,3)

【答案】(1)存在满足条件的点C:作出图形，如下列图，作图略；

A(22)

⑵作出点A关于x轴为对称，点Az(2,-2),连接AB,与x轴的交点即为所求的点P.

设AB所在的直线的解疗式为：y=kx+b,把A(2K2),B(7,3)分别代入得：

所以：y=x-4-

当y=0时,x=4,所以交点P为［4,0）•

8.（2022重庆泰江，19,6分）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗

点尸，使P到该镇所属A村、8村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在

同一直线上，地理位置如以下列图〕，请你用尺规作图的方法确定点P的位置.

要求：写出、求作；不写作法，保存作图痕迹.

解：：

求作：B村

【答案】：解：：A、B、C三点不在同-1a村

•C村

求作：一点P,使PA=P8=PC.•

（或经过A、B、C三点的外接圆圆心P）

正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点尸

9.（2022江苏南京，27,9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC,在△PAB、

△PBC和APAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相

似点.

⑴如图②，R3ABC中，ZACB=90°,ZACB>ZA,CD是AB上的中线，过点B

作BELCD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点.

⑵在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P1写出作法并保存作图痕迹）；

②假设△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.

①②③

（第27题）

【答案】解：⑴在RtAABC中，NACB=90。，CD是AB上的中线,

:.CD=-AB,:.CD=BD.

2

.*.ZBCE=ZABC.VBEXCD,.*.ZBEC=90°,

.*.ZBEC=ZACB..,.△BCE^AABC.

二£是4ABC的自相似点.

⑵①作图略.

作法如下：⑴在NABC内，作NCBD=NA；

（ii）在NACB内，作NBCE=NABC；BD交CE于点P.

那么P为△ABC的自相似点.

②连接PB、PC.；P为△ABC的内心，AZPBC=-ZABC，ZPCB=-ZACB.

22

•.•P为△ABC的自相似点，/.ABCP^AABC.

；.NPBC=NA,ZBCP=ZABC=2ZPBC=2ZA,

ZACB=2ZBCP=4ZA.,:ZA+ZABC+ZACB=180°.

:.ZA+2ZA+4ZA=180°.

•••/4=幽..•.该三角形三个内角的度数分别为幽、幽、里.

7777

10.（2022江苏无锡，26,6分）（此题总分值6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2,

腰长为3,一个底角为60。。正方形ABC。的边长为1,它的一边在上，且顶

点A与M重合。现将正方形A8C。在梯形的外面沿边MN、NP、尸。进行翻滚，翻滚

到有一个顶点与。重合即停止滚动。

（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；

（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ

所围成图形的面积S。

【答案】解：（1）如右图所示..................（3分）

（2）S=2百万V+/产+1+堪不百

77r

二行+2.........................................（6分）

11.（2022重庆市潼南』9,6分）画△ABC,使其两边为线段a、b,夹角为夕.

（要求：用尺规作图，写出、求作；保存作图痕迹；不在的线、角上作图；不

写作法）.

求作：ab

【答案】：线段。、6、角夕--------1分

求作：△人：6（2使边朗=。，XC=b,NC=B-------2-^51-------

画图〔保存作图痕迹图略）--------甘婢图

12.（2022湖北宜昌，23,10分）如图1,R3ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.

（1）如图2,。。与R3ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作

出并标明。。的圆心0；（用尺规作图，保存作图痕迹，不写作法和证明）

（2）P是这个R3ABC上和其内部的动点，以P为圆心的。P与RtAABC的两条边相切.

设。P的面积为S,你认为能否确定S的最大值假设能，请你求出S的最大值；假设不能,

请你说明不能确定S的最大值的理由.

（第23题图1）［第23题图2）

【答案】解：（1）共2分.〔标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y

（X）的一条垂线（或者NABC的平分线）即评1分，

（2）①当。P与RSABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质，动

点P是NABC的平分线BM上的点，如图1,在NABC的平分线BM上任意

确定点Pi（不为/ABC的顶点），

VOX=BOsinZABM,PiZ=BPisinZABM.当BPi>BO时，PjZ>OX,

即P与B的距离越大，OP的面积越大.这时，BM与AC的交点P是符合题

意的BP长度最大的点.

〔3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）

如图2,VZBPA>90°,过点P作PE±AB,垂足为E,那么E在边AB

上.

...以P为圆心、PC为半径作圆，那么。P与边CB相切于C,与边AB相

切于E,即这时的。P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后

续评分〕这时。P的面积就是S的最大值.

VZA=ZA,ZBCA=ZAEP=90°,.\RtAABC^RtAAPE,（5分）

LAr匕rz

1.——=——.：AC=1,BC=2,；.AB=J5

BC

设PC=x,那么PA=AC—PC=1—x,PC=PE,

（