2023-2024学年安徽省合肥市庐江县九年级上学期数学期末试题及答案

2023-2024学年安徽省合肥市庐江县九年级上学期数学期末

试题及答案

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题都给出A,B,C,D四个选

项，其中只有一个是符合题目要求的.）

1.剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美.下列剪纸图案是

中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原

来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再根据概念逐一判断即可.

【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来

的图形重合，所以不是中心对称图形.

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心

对称图形.

故选：C.

【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

2.下列成语描述的事件是必然事件的是（）

A.守株待兔B.画饼充饥C.水中捞月D.旭日东

升

【答案】D

【解析】

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件.

【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；

B.画饼充饥是不可能事件，故该选项不符合题意；

C.水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意；

D.旭日东升是必然事件，故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的

概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发

生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3.已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3,下面四个矩形中与矩形ABCD相似是（）

【答案】A

【解析】

【分析】验证对应边是否成比例即可判断.

43

【详解】解：A：—=一，符合题意；

21.5

43

B：T—,不符合题意；

32

43

C：T——，不符合题意；

21.2

43

D：—,不符合题意；

2.52

故选：A

【点睛】本题考查了相似多边形的判定.熟记定理内容即可.

4.如图，M为反比例函数y=A的图象上的一点，垂直于y轴，垂足为点A,AM40的

X

面积为2,则k的值为（)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求解.

【详解】根据题意得：

Sumo=|lk仁2

，1k1=4

Vk>0

k=4

故选D

【点睛】本题考查的是反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握k的几何意义是关键.

5.如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点0为正多边形的中心，若/ADB=18。,

则这个正多边形的边数为（）

A.10B.12C.15D.20

【答案】A

【解析】

【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到NAC归=36。，根据中心角的定义即

可求解.

【详解】解：如图，作正多边形的外接圆,

•/ZADB=1S°,

•*.ZAOB=2ZADB=36°,

360°

/.这个正多边形的边数为二匕=10.

36°

故选：A.

【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理.

6.若关于x的一元二次方程依2—2%-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围

是()

A.k>-1B.k>-1>k^OC.k<-1D.k<-1

或k=0

【答案】B

【解析】

【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到kWO且4=(-2)2-4k(-1)>0,

然后求出两个不等式的公共部分即可.

【详解】解：根据题意得kWO!_△=(-2)2-4k-(-1)>0,

解得k>-1且kWO.

故选B.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax，bx+c=O(aWO)的根与A=b?-4ac有如

下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根;

当A<0时，方程无实数根.

7.把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的解析式为y=2/,则原抛物

线的解析式为()

A.y=2（x-1）一+3B.y=2（x+l）2+3C.y=2（x+l）--3D.

y=2（x-l）2-3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，此题实际上是求将抛物线丁=2必先向下平移

3个单位长度，再向右平移1个单位长度后所得抛物线的解析式.解题的关键掌握函数图像

平移的规律：左加右减，上加下减.

【详解】解：•••抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的解析式为y=2式,

>=2必向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度得到原抛物线，

原抛物线的函数解析式为y=2（尤—if—3.

故选：D.

8.已知点4（—2,%）,5（—1,%），。。，%）均在反比例函数了=：的图象上，则M，%，%的大

小关系是（）

A.%<%<%B.C.%<%<%D.

%<%<%

【答案】B

【解析】

【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可.

【详解】解：•.•左=3>0,

图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，

V-2<-1<0<1,

%<%<°<%.

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y=与（k是常数，女20）的图

x

象是双曲线，当k>0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x

的增大而减小；当左<0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y

随X的增大而增大.

9.如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°,此时点B到了点B，处，则图中阴

【答案】B

【解析】

【分析】根据阴影部分的面积=以八8'为直径的半圆的面积+扇形ABB'的面积-以AB为直径

的半圆的面积.即阴影部分的面积就等于扇形ABB，的面积.

【详解】由旋转的性质可知：以AB，为直径的半圆的面积=以AB为直径的半圆的面积，再

根据阴影部分的面积=以人8'为直径的半圆的面积+扇形ABB'的面积-以AB为直径的半圆的

面积=扇形ABB'的面积.

则阴影部分的面积是：斯百=31t.

3602

故选B.

【点睛】本题考查了扇形的面积的计算以及旋转的性质，培养了学生的计算能力和观察图形

的能力，运用面积的和差求不规则图形的面积是解题的关键.

10.如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心。点

所经过的路径长为（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查正多边形和弧长、轨迹，根据弧长公式先求一段弧的长，再根据滚动一周

等于一段弧长乘以6即可得中心。点所经过的路径长.解题的关键是掌握正六边形的性质.

【详解】解：如图，

•.•正六边形的内角为120。，

ZFAF'=180°-120°=60°,

又：边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，

ZBAB'^ZFAF'=60°,

：.ZB'AF=180°-ZBAB'-NFAF'=60°,ZB'AF=60°,

.•・3迎』，

1803

边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，

JT

则它的中心。点所经过的路径长为：一x6=2〃.

3

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.已知1是一元二次方程—4%+c=0的一个根，则方程的另一个根是.

【答案】3

【解析】

【分析】把x=l代入炉―4尤+c=0,得到关于c的一元一次方程，解之求得c的值，将

c代入原方程，求解后即可得到答案.

【详解】解：把尤=1代入/一4x+c=0得：I2-4xl+c=0>

解得：c=3,

即原方程为：/一4%+3=0，

解得：%=3,x2=1,

即方程的另一个根为：x=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确掌握代入法求得C的值是解

题的关键.

12.如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90。的扇形，再将剪下的扇形

围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为m.

【解析】

【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径.连接5C,

如图，根据圆周角定理得5c为。。的直径，即3。=2,所以=设该圆锥的底

面圆的半径为,，根据弧长公式得到方程即可求得.

【详解】解：连接3C,如图,

ZBAC=90°,

.•.BC为。。的直径，即6C=lm,

:.AB=AC=—BC=—m,

22

设该圆锥底面圆的半径为7m,

9T，

2兀丫-

180

解得r=交,

8

即该圆锥的底面圆的半径为-m.

8

故答案为：立.

8

13.如图，在矩形。43c和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C,F均在x轴正

半轴上，点D在边3C上，BC=2CD,钻=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上,

则这个反比例函数的表达式是.

【分析】设正方形CDEF的边长为m,根据5C=2CD,AB=3,得到5（3,2m），根据矩

形对边相等得到OC=3,推出E（3+m,m）,根据点B,E在同一个反比例函数的图象上，

1Q

得到3x2m=（3+m）相，得到机=3,推出y=—.

X

【详解】解：•••四边形。钻。是矩形，

OC-AB=3，

设正方形CDEF的边长为m,

CD=CF=EF=m,

:BC=2CD,

BC=2m,

：.,E（3+m,mj,

设反比例函数的表达式为y=-,

X

/.3x2m=（3+m）m,

解得加=3或根=0(不合题意，舍去),

.•.5(3,6),

攵=3x6=18,

1O

•••这个反比例函数的表达式是y=一,

故答案为：y=—.

【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质,

反比例函数性质，k的几何意义.

14.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点、E，E分别是边AD,CD上的动点，且

AE=DF,连接3E,AF,交于点G.

(1)连接。G,则线段。G的最小值是；

(2)取CG的中点“，连接0/7，则线段的最小值是

【答案】①.避二1②.巫二1

24

【解析】

【分析】以AO所在的直线为对称轴，作正方形ABCD的对称正方形可得

DH=-GM,证明△/WEgZVMF可得NAGfi=90。°,即点G在以A3为直径的圆

2

上，从而可得GM最短时点G在上，利用勾股定理求得OM,继而求出GM和08,

OG的值.

【详解】解：以AO所在的直线为对称轴，作正方形ABCD的对称正方形4vMD,连接

OD,

NM

：.MD=CD,MN=AD=AB=1,ZN=90。,

•••〃为GC的中点，

为△GMC的中位线，

/.DH=^GM,

2

.•.当GM最短时，DH最短,

•••四边形ABC。是正方形，

BA=AD，ZBAE=ZADF=90°,

在AABE和24户中，

AB=DA

<NBAE=ZADF,

AE=DF

：.AABE%DAF(SAS),

；•ZABE=ZDAF,

■:ZBAD=ZBAG+ZDAF=90°,

ZBAG+ZABE=90°,

：.ZAGB^90°,

点G在以A3为直径的圆。上，

111

二当点G在。W上时，GM最短，AO=-AB=-xl=~,

222

/.GM=0M—0G=巫」=^^，

222

.八〃1V13-19-1

2224

在0。中，QA=OG=^AB=L,

22

在尺以49£>中，OD=四。2+叔=J出+12=岑,

•：DG>OD-OG,

/.DG的最小值为OD—OG=X5—工=避二1.

222

故答案为：1二1；姮二1.

24

【点睛】本题考查对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定

理，90c的圆周角所对的弦是直径，勾股定理等知识点，确定出OG最小时点G的位置是解

题关键，也是本题的难点.

三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.解方程：3x-6=x(x-2)

【答案】X]=2,々=3

【解析】

【分析】本题考查解一元二次方程，先将等号右边的代数式移到左边，然后分解因式，从而

将方程化为两个一元一次方程，即可求解.熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接

开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的

关键.

【详解】解：：3x—6=x(x—2),

3(x-2)-x(x-2)=0,

(x-2)(3-x)=0,

x—2=0或3—x=0,

解得：玉=2,x2=3.

16.如图，在VABC中，D，E，尸分别是A3,上的点，且。石〃AC,DF//AE^

BD3

—=一,BF=9cm,求所和EC的长.

AD2

10cm

【解析】

【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用。/〃AE得到变=孚=：,求出

FEAD2

BEBD3

FE=6cm,BE=BF+EF=15cm,根据。E〃AC得到——=—=-,由此求出

CEAD2

CE-10cm.

【详解】•/DF//AE

.BFBD3

'FE-AD-2

；BF-9cm

FE=6cm,BE=BF+EF=15cm,

.•DE//AC

.BEBD3

"CE~AD~2

CE=10cm.

四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图，在。。中，直径AB垂直弦CD,垂足是点M,AM=18,=8,求弦CD的

【答案】CD=24.

【解析】

【分析】连接0C,求出半径0C和0M,根据勾股定理求出CM,根据垂径定理得出CD=2CM,

即可求出答案.

【详解】解：连接OC,则OA=OC=gAB=g(AM+BM)=；(18+8)=13,

OM=AM-Q4=18-13=5,

在RtAOCM中，CM=yl0C2-0M-=A/132-52=12，

•/0出，。于点耽

/.CD=2CM=24.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是能构造直角三角形、求出CM长和

得出CD=2CM.

18.如图，在直角梯形Q45c中，BC//AO,NAOC=90。，点A、B的坐标分别为（5,0）、

（2,6）,点D为AB上一点，且应>=24。.双曲线丁=幺（%>0）经过点0,交3C于点

X

E.求点E的坐标.

【答案】fj,6

【解析】

【分析】作轴于M,DNLx轴于N,利用点A,B的坐标得到5M=6,

AM=5-2=3,证明△ADNS/VLBM,利用相似比可计算出DN=2,AN=1,则

ON=4,得到D点坐标为（4,2）,然后把D点坐标代入y=8中求出k的值即可得到反比

例函数解析式，再求出点E的横坐标即可.

【详解】解：作RWLx轴于M,轴于N,如图，

•••点A,B的坐标分别为（5,0）、（2,6）,

：.OM=2,BM=6,AM=5-2=3,

轴，D/VLx轴，

：.DN//BM,

：.AADNsAABM,

.DNANAD

"BM~AM~AB'

,/BD=2AD,

.DNAN

••———，

633

DN=2,A/V=l,

ON=OA-AN=4,

口点坐标为（4,2）,

才巴（4,2）代入y=&得左=2x4=8,

X

Q

・・・反比例函数解析式为y=—,

x

QQ

把y=6代入y=_得：6=—,

xx

,4

解得：x=—

3f

二点E的坐标为。6.

【点睛】本题是反比例函数综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解

析式，相似三角形的判定和性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度是

解题的关键.

五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在

RtAABC,ZC=90°,AC=3,=4.

(1)在图中画出AABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形AA31G；

(2)若点B的坐标为(―3,5),点C的坐标为在图中建立直接坐标系，并画出AABC

关于原点对称的图形A2B2c2.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据旋转的性质找出B、C的对应点氏、3的位置，顺次连接即可；

(2)首先根据点B、C的坐标建立直角坐标系，然后分别找出点A、B、C关于原点对称的对

应点A?、B?、Cz的位置，顺次连接即可.

【详解】解：(1)A4四。|如图所示；

(2)直角坐标系和H与G如图所示.

【点睛】本题考查了作图一旋转变换和中心对称，准确找出对应点的位置是解题的关键.

20.北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运

会和冬季奥运会的城市.小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面

内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好.

冬奥会会徽吉祥物冰墩墩吉祥物雪容融

（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是

（2）小亮决定将其中两张邮票送给好朋友小明，若冬奥会会徽邮票记作A类邮票，吉祥物

冰墩墩邮票记作B类邮票，吉祥物雪容融邮票记作C类邮票，将5张邮票背面朝上洗匀后，

让小明从中随机抽取2张邮票，抽得的邮票就送给小明，求小明抽取两张邮票都是“吉祥物

冰墩墩”的概率.（请用列表法或画树状图法求解）

2

【答案】（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是《

（2）P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩）=—

10

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）利用列表法列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果，求出概率即可;

【小问1详解】

2

小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是一；

5

【小问2详解】

列表如下：

AG

B2G

A(BpA)(%A)(GA)(G，A)

耳(A4)(44)(G4)(G，4)

B)

B2(AB2)(4,2(GB2)(G，坊)

G(AG)(4,G)(%G)(G，G)

(%C)

G(AQ)(4,c2)2(GG)

由表知，共有20种等可能结果，其中抽取两张邮票都是冰墩墩的有2种结果

.1.P(抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩),

2010

【点睛】该题主要考查了概率计算，解答本题的关键是熟悉概率计算公式以及列表法或者树

状图法求概率.

六、(本题满分12分)

21.如图，抛物线>=—必+桁+。经过4(—1,0)，B(4,0)两点，与丁轴相交于点C,连接

3C,点尸为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线/,交直线3c于点G,交x轴于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当尸位于V轴右边的抛物线上运动时，过点C作5,直线/,/为垂足.当点P运

动到何处时，以尸，C,尸为顶点的三角形与△03C相似？并求出此时点尸的坐标.

【答案】(1)y=—炉+3》+4

(2)(2,6)或(4,0)

【解析】

【分析】本题二次函数的综合应用，本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，相似三

角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，

(1)将点4(-LO)，B(4,0)的坐标代入抛物线的解析式得到关于6、c的二元一次方程组,

求解即可；

(2)由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△03C为等腰直角三角形，故此当

中=。仪时，以p,C,E为顶点的三角形与△Q3C相似.设P，,—产+3/+4)。＞0),

则CF=乙构建方程从而可求得/的值，于是可求得点尸的坐标；

根据题意列出关于f的方程是解题的关键.

【小问1详解】

解：：抛物线丁=-X2+法+°经过4(-1,0),B(4,0)两点，

—1—/?+c=0

一16+4b+c=0

[b=3

解得：।j

抛物线的解析式为y=-1+3x+4；

【小问2详解】

V抛物线y=—£+3x+4与y轴相交于点C,

当x=0时，得：y=4,

：.C(0,4),

OC=4,

.••B(4,0),ZBOC=90。,

OB=4=OC,

・・・ABOC为等腰直角三角形，

•.•以尸，C,尸为顶点的三角形与△03C相似,

.••△PCF为等腰直角三角形，又CFL直线/,

PF=CF,

设尸(/,—厂+3/+4)(/>0),

：.CF=t,PF=|(-Z2+3/+4)—4卜卜2_3t\,

\t2—3?|=?,

t2—3t=+t，

当产—3/=1时,

解得：t=0(舍去)，/=4；

当/—3/=T时，

解得：7=0(舍去)，t=2,

综上所述，f=2或4，

点尸的坐标为(2,6)或(4,0).

七、(本题满分12分)

22.某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且

不高于52元.某商户在销售期间发现，当销售单价定44元时，每天可售出300个，销售

单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售

单价为x元.

(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大

利润是多少元？

(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200

元，求销售单价x的范围.

【答案】(1)y=-10x+740(44<x<52)；

(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大

利润是2640兀；

(3)50<x<52.

【解析】

【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式.

(1)根据题意直接写出y与％之间的函数关系式和自变量的取值范围；

(2)根据销售利润=销售量X(售价一进价)，列出平均每天的销售利润W(元)与销售价

X(元/箱)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；

(3)根据题意得剩余利润为川-200,利用函数性质求出vv-20022200时的x的取值范

围即可.

【小问1详解】

解：根据题意得：y=300-10(%-44)=-10%+740,

・7与x之间的函数关系式为y=-10x+740(44WxW52)；

【小问2详解】

解：根据题意得：

w=(-10%+740)(%—40)=-10%2+1140x-29600=-10(x-57)2+2890,

v-10<0,

二当x<57时，卬随X的增大而增大，

•.-44<%<52,

..•当％=52时，W有最大值，最大值为—10x(52—57>+2890=2640,

■­•将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润川元最大，最大利润

是2640兀；

小问3详解】

解：依题意剩余利润为(川-200)元，

捐款后每天剩余利润不低于2200元，

w-200>2200,即—10(x—57)2+2890-200>2200,

由—10(x—57)2+2890-200=2200得％=50或x=64,

v-10<0,44<x<52,

捐款后每天剩余利润不低于2200元，50<x<52,

答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50WXW52.

八、（本题满分14分）

23.如图，VA3C中，AB=AC.以AB为直径作。。交3C于点。，过点。作。。的

切线交AC于点E.

（备用图）

（1）求证：DE1AC-,

（2）延长C4交。。于点尸，点G在5£）上，AD=DG-

①连接5G,求证：AF=BG；

②经过BG的中点M和点。的直线交CV于点N,连接ZJE交AB于点若

AH:BH=3:8,AN=7,试求出的长.

【答案】