春考集合数学试卷

春考集合数学试卷一、选择题

1.下列集合中，属于空集的是（）

A.{x|x<0,x∈R}

B.{x|x>0,x∈R}

C.{x|x≥0,x∈R}

D.{x|x≠0,x∈R}

2.设集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A∩B的元素个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.设集合A={x|x∈N，x≤5}，集合B={x|x∈N，x≤3}，则集合A∪B的元素个数是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

4.设集合A={x|x∈R，x²-3x+2=0}，则集合A的元素个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

5.设集合A={x|x∈R，x²-2x+1=0}，集合B={x|x∈R，x²-2x+1≠0}，则集合A∩B的元素个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6.设集合A={x|x∈R，x²-3x+2=0}，集合B={x|x∈R，x²-3x+2≠0}，则集合A∪B的元素个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

7.设集合A={x|x∈R，x²-4x+3=0}，集合B={x|x∈R，x²-4x+3≠0}，则集合A∩B的元素个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

8.设集合A={x|x∈R，x²-2x+1=0}，集合B={x|x∈R，x²-2x+1≠0}，则集合A∪B的元素个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.设集合A={x|x∈R，x²-5x+6=0}，集合B={x|x∈R，x²-5x+6≠0}，则集合A∩B的元素个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

10.设集合A={x|x∈R，x²-6x+9=0}，集合B={x|x∈R，x²-6x+9≠0}，则集合A∪B的元素个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、判断题

1.集合的并集包含原集合中所有的元素，而交集只包含两个集合共有的元素。（）

2.任何集合与其自身的交集都是空集。（）

3.如果集合A包含集合B，那么集合B的子集也是集合A的子集。（）

4.如果两个集合的交集为空集，那么这两个集合一定互斥。（）

5.每个自然数集合都是其自身的真子集。（）

三、填空题

1.设集合A={x|x∈N，x≤5}，集合B={x|x∈N，x≤3}，则集合A∪B的元素个数是______。

2.集合{1,2,3,4,5}的补集在全集R中的表示为______。

3.若集合A={x|x∈R，x²-2x+1=0}，则集合A的对称差集与集合B={x|x∈R，x²-2x+1≠0}的交集是______。

4.集合A={x|x∈Z，-3≤x≤3}的幂集的元素个数是______。

5.设集合A={x|x∈R，x²-4x+3=0}，则集合A的子集个数是______。

四、简答题

1.简述集合论的基本概念，包括集合、元素、子集、真子集、空集、全集、交集、并集和补集。

2.解释什么是集合的相等性，并给出两个集合相等的条件。

3.举例说明什么是集合的包含关系，并解释如何判断两个集合是否为全等集合。

4.如何理解集合的幂集？请给出一个集合的幂集的例子，并说明其元素个数。

5.集合运算中，并集、交集和补集的性质有哪些？请分别列举并解释至少两个性质。

五、计算题

1.计算下列集合的并集和交集：

设集合A={1,3,5,7}，集合B={2,4,6,8}，求A∪B和A∩B。

2.设集合A={x|x∈N，2≤x≤6}，集合B={x|x∈N，x是3的倍数}，求A∪B和A∩B。

3.计算集合A={x|x∈Z，-5≤x≤5}的补集A'，并求集合A与其补集A'的并集和交集。

4.设集合A={x|x∈R，x²-3x+2=0}，集合B={x|x∈R，x²-3x+2≠0}，求A∪B和A∩B。

5.设集合A={x|x∈N，x²≤100}，集合B={x|x∈N，x≤10}，求A∪B和A∩B，并计算A∪B的元素个数。

六、案例分析题

1.案例分析题：某学校举办数学竞赛，参赛学生按照年级分为三个集合，分别为高一年级集合A、高二年级集合B和高三年级集合C。已知参加竞赛的学生中，高一年级有30人，高二年级有20人，高三年级有15人。其中，高一年级和高二年级共有8人同时参加，高二年级和高三年级共有5人同时参加，但没有人同时参加三个年级的竞赛。

（1）请根据上述信息，列出三个年级学生的集合A、B和C，并计算它们的并集、交集和补集。

（2）如果学校计划对参赛学生进行表彰，需要找出所有参赛学生的集合，请计算这个集合的元素个数。

2.案例分析题：某图书馆藏书分类如下：文学类、历史类、科学类、艺术类和其他类。图书馆为了统计各类书籍的借阅情况，将借阅记录分为以下集合：

-集合A：借阅文学类书籍的读者

-集合B：借阅历史类书籍的读者

-集合C：借阅科学类书籍的读者

-集合D：借阅艺术类书籍的读者

-集合E：借阅其他类书籍的读者

已知以下信息：

-借阅至少一种文学或历史书籍的读者有45人

-借阅至少一种科学或艺术书籍的读者有30人

-借阅文学书籍的读者有20人，其中也有5人同时借阅了历史书籍

-借阅科学书籍的读者有10人，其中也有5人同时借阅了艺术书籍

-没有人同时借阅了文学和科学书籍

（1）请根据上述信息，列出每个集合的元素个数。

（2）计算所有借阅过书籍的读者的集合的元素个数。

七、应用题

1.应用题：某班级共有50名学生，其中有20名学生参加数学竞赛，15名学生参加物理竞赛，10名学生同时参加了数学和物理竞赛。请问：

（1）没有参加任何竞赛的学生有多少人？

（2）至少参加了一门竞赛的学生有多少人？

（3）如果要求计算只参加数学竞赛的学生人数，应该如何计算？

2.应用题：一个图书馆的藏书分为小说、科普、历史和艺术四个类别。已知：

-小说类藏书有1200册

-科普类藏书有800册

-历史类藏书有500册

-艺术类藏书有400册

-小说和历史类藏书共1800册

-科普和艺术类藏书共1000册

-科普和历史类藏书共600册

请问：

（1）艺术类藏书占图书馆总藏书量的百分比是多少？

（2）如果图书馆计划重新分类，将小说和科普类合并为一个类别，其他类别保持不变，请问新的分类下，每个类别的大致藏书量是多少？

3.应用题：一个城市有五个不同的商业区，分别为A、B、C、D和E。以下是对这些商业区居民消费习惯的调查结果：

-在A区居住的居民中有60%的人每周至少去B区购物一次

-在B区居住的居民中有70%的人每周至少去C区购物一次

-在C区居住的居民中有50%的人每周至少去D区购物一次

-在D区居住的居民中有80%的人每周至少去E区购物一次

-在E区居住的居民中有40%的人每周至少去A区购物一次

请问：

（1）至少有多少比例的居民每周至少去两个不同的商业区购物？

（2）如果所有居民中，有20%的人每周去所有五个商业区购物，那么这个城市有多少居民？

4.应用题：一个班级的学生被分为三个学习小组，分别为数学小组A、物理小组B和化学小组C。以下是对这些小组成员的学习情况的调查结果：

-数学小组A中有40%的学生也加入了物理小组B

-物理小组B中有30%的学生也加入了化学小组C

-化学小组C中有20%的学生也加入了数学小组A

-没有学生同时属于所有三个小组

请问：

（1）至少有多少比例的学生属于至少两个学习小组？

（2）如果班级共有30名学生，那么每个小组大约有多少名学生？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.A

2.B

3.C

4.B

5.A

6.C

7.A

8.B

9.C

10.D

二、判断题答案

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案

1.5

2.{x|x∈R，x∈∅}

3.{x|x∈R，x²-2x+1≠0}

4.32

5.2^5-1=31

四、简答题答案

1.集合论的基本概念包括集合、元素、子集、真子集、空集、全集、交集、并集和补集。集合是由确定的、互不相同的元素组成的整体。元素是集合的组成部分。子集是指一个集合的所有元素都属于另一个集合。真子集是指一个集合的所有元素都属于另一个集合，且至少有一个元素不属于另一个集合。空集是不包含任何元素的集合。全集是包含所有元素的集合。交集是指两个集合共有的元素组成的集合。并集是指两个集合中所有元素组成的集合。补集是指全集与某个集合的差集。

2.两个集合相等是指它们包含相同的元素。两个集合相等的条件是：它们的元素完全相同，且元素的数量相等。

3.包含关系是指一个集合的所有元素都属于另一个集合。判断两个集合是否为全等集合的方法是：比较它们的元素是否完全相同。

4.每个集合的幂集是指包含该集合所有子集的集合。例如，集合{1,2}的幂集是{∅,{1},{2},{1,2}}。幂集的元素个数是2^n，其中n是原集合的元素个数。

5.集合运算的性质包括：

-交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A

-结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

-分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

-吸收律：A∪A=A，A∩A=A

-德摩根定律：A∪B'=(A∩B)'，A∩B'=(A∪B)'

五、计算题答案

1.A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8}，A∩B={2,3,4,5}

2.A∪B={2,3,4,5,6}，A∩B={3}

3.A'={x|x∈Z，x∈R，x∉[-5,5]}，A∪A'=R，A∩A'=∅

4.A∪B={x|x∈R，x²-3x+2=0}，A∩B={x|x∈R，x²-3x+2≠0}

5.A∪B={x|x∈N，x²≤100}，A∩B={x|x∈N，x≤10}，A∪B的元素个数为16

六、案例分析题答案

1.（1）A={x|x∈N，1≤x≤6}，B={x|x∈N，3≤x≤6}，C={x|x∈N，6≤x≤9}，A∪B={x|x∈N，1≤x≤9}，A∩B={x|x∈N，3≤x≤6}，A'={x|x∈N，x<1或x>9}，A∪A'=N，A∩A'=∅

（2）所有参赛学生的集合为A∪B∪C，元素个数为30+20+15-8-5=52

2.（1）A=20+5=25，B=10+5=15，C=5，D=10+5=15，E=500-5-10-5=480，A∪B=25+15=40，A∪C=25+5=30，A∪D=25+15=40，A∪E=25+480=505，A∪B∪C∪D∪E=505

（2）所有借阅过书籍的读者的集合为A∪B∪C∪D∪E，元素个数为505

七、应用题答案

1.（1）没有参加任何竞赛的学生有50-(20+15-10)=25人

（2）至少参加了一门竞赛的学生有20+15-10=25人

（3）只参加数学竞赛的学生人数为20-10=10人

2.（1）艺术类藏书占总藏书量的百分比为400/(1200+800+500+400)=20%

（2）新的分类下，小说和科普类合并为一个类别，大约有1200+800=2000册，历史类500册，艺术类400册，其他类500册

3.（1）至少有60%的居民每周至少去两个不同的商业区购物

（2）所有居民中有20%的人每周去所有五个商业区购物，居民总数为30/0.2=150人

4.（1）至少有40%的学生属于至少两个学习小组

（2）每个小组大约有10名学生

知识点总结及各题型考察知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对集合基本概念和运算的理解，如集合的元素、子集、并集、交集和补集等。

2.判断题：考察学生对集合基本概念和性