2025年湘教版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学上册月考试卷115考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、下列各组函数是同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与2、已知点A（1，1）在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则的最小值为（）

A.2

B.3

C.4

D.-4

3、数列的一个通项公式是A.B.C.D.以上都不对4、【题文】已知集合则图中阴影部分表示的集合为（）

A.B.C.D.5、知向量中任意二个都不共线，但+与共线，且+与共线，则向量++=（）A.B.C.D.6、化简++=（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、点（2，3，4）关于x轴的对称点的坐标为_____8、【题文】设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．9、【题文】已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且＝2则·＝________.10、已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是____．11、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣S1=2015，则数列{an}的公差为____．评卷人得分三、计算题(共6题，共12分)12、比较大小：，，则A____B．13、解不等式组，求x的整数解．14、解分式方程：．15、一组数据：13，15，18，16，21，13，13，11，10．它们的众数是____，中位数是____．16、在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，CD=2厘米，AD-BD=3厘米，那么BC=____厘米．17、已知t1、t2是二次函数s=-3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且x=10t1，y=10t2，那么y与x间的函数关系式为____，其函数图象在第____象限内．评卷人得分四、证明题(共4题，共8分)18、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．19、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分五、作图题(共4题，共20分)22、作出下列函数图象：y=23、作出函数y=的图象．24、画出计算1++++的程序框图．25、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】试题分析：同一函数是定义域和对应法则都相同的函数，两者缺一不可，一般先从定义域着手.选项A中的第一个函数以自变量为分母，不能取0，所以定义域为第二个函数为常数函数，定义域个定义域不同，排除;选项B中第一个函数的定义域为第二个的定义域为定义域不同，排除;选项C中第一个函数为零指数幂函数，定义域是第二个函数的定义域为定义域不同，排除;选项D中第一个函数的分母中虽然含有但就整个分母而言，无论取何值，分母都不小于1，所以其定义域为且显然与第二个函数定义域和对应法则都一致，故正确选项为D.考点：同一函数的判断及函数的三要素.【解析】【答案】D2、C【分析】

∵点A（1；1）在一次函数y=mx+n的图象上；

∴m+n=1；又m，n＞0；

∴=（）（m+n）=1+1++≥1+1+2=4；

当且仅当=时取等号．

则的最小值为4．

故选C．

【解析】【答案】将定点A的坐标；代入y=mx+n，得出到m+n为定值，再利用基本不等式即可求得答案．

3、B【分析】【解析】

因为数列的每一项为分子为1，分母是项数与项数加一的积，因此通项公式即为【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】因为集合因此阴影部分表示的为集合N在全集中的补集与集合M的交集得到可知为选B.【解析】【答案】B5、D【分析】解：∵+与共线，+与共线；

∴

两式相减得移项得（1+λ）=（1+μ）．

∵向量不共线；

∴只有1+λ=0；1+μ=0．

即λ=-1；μ=-1．

也就是．

即++=．

故选：D．

由+与共线，且+与共线，得到两式作差整理后得到（1+λ）=（1+μ）

再由不共线可得λ=-1，代入求得++．

本题考查了平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，是基础题．【解析】【答案】D6、D【分析】解：化简；得。

++=+

=-

=．

故选：D．

根据向量的合成法则；进行化简即可．

本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应根据向量的线性运算法则，进行计算，即可得出正确的答案．【解析】【答案】D二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】试题分析：空间直角坐标系中点关于轴对称，则纵坐标与竖坐标不变，横坐标变为相反数.考点：本题考查空间的点对称问题.【解析】【答案】(2,-3,-4)8、略

【分析】【解析】由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.【解析】【答案】充分不必要9、略

【分析】【解析】解：因为直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且＝2直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得·=-2【解析】【答案】-210、-1【分析】【解答】解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得﹣=

∴a=﹣1a=2；

当a=2时；两直线重合．

∴a=﹣1

故答案为：﹣1

【分析】两直线的斜率都存在，由平行条件列出方程，求出a即可．11、2【分析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d；

∵﹣S1=2015；

∴a1+d﹣a1=2015；解得d=2．

故答案为：2．

【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．三、计算题(共6题，共12分)12、略

【分析】【分析】利用差减法比较大小．并用字母表示数，再进行分式减法计算．【解析】【解答】解：先设5678901234=a；那么5678901235=a+1；

同样设6789012345=x；那么67890123456=10x+6；

∴A-B=-=；

∵9ax-x=（9a-1）x＞0；

∴A-B＞0；

∴A＞B．

故答案是＞．13、略

【分析】【分析】解第一个不等式得，x＜1；解第二个不等式得，x＞-7，然后根据“大于小的小于大的取中间”即可得到不等式组的解集．【解析】【解答】解：解第一个不等式得；x＜1；

解第二个不等式得；x＞-7；

∴-7＜x＜1；

∴x的整数解为：-6，-5，-4，-3，-2，-1，0．14、略

【分析】【分析】先去分母得到整式方程2x2+5x-7=x（x-1），再整理后解整式方程得到x1=-7，x2=1，然后进行检验，把x1=-7，x2=1分别代入x（x-1）中计算得到x=1时，x（x-1）=0；x=-7时，x（x-1）≠0，即可得到原方程的解．【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x-1），得2x2+5x-7=x（x-1）；

整理得x2+6x-7=0；即（x+7）（x-1）=0；

解得x1=-7，x2=1；

经检验；x=-7是原方程的解；x=1是原方程的增根；

所以原方程的解是x=-7．15、略

【分析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解析】【解答】解：13出现的次数最多；故众数是13；

按照从小到大的顺序排列为10；11，13，13，13，15，16，18，21；

∴中位数是13；

故答案为13、13．16、略

【分析】【分析】设BD=x，则AD=3+x，在Rt△ACD、Rt△BCD、Rt△ABC中，分别应用勾股定理先求出x的值，然后求出BC的长．【解析】【解答】解：设BD=x；则AD=3+x；

在Rt△ACD中，根据勾股定理有：（3+x）2+22=AC2；

在Rt△BCD中，根据勾股定理有：x2+22=BC2；

在Rt△ABC中，根据勾股定理有：AC2+BC2=AB2=（3+2x）2；

∴（3+x）2+22+x2+22=（3+2x）2；

解得：x=1或-4（舍去）．

又∵12+22=BC2；

∴BC=．

故答案为：．17、略

【分析】【分析】由于t1、t2是二次函数s=-3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2=2，又x=10t1，y=10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解析】【解答】解：∵t1、t2是二次函数s=-3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标；

∴t1+t2=2；

而x=10t1，y=10t2；

∴xy=10t1×10t2=10t1+t2=102=100；

∴y=（x＞0）．

∵100＞0；x＞0；

∴其函数图象在第一象限内．

故答案为：y=（x＞0），一．四、证明题(共4题，共8分)18、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．19、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2