2020-2024年高考数学试题专项分类汇编：平面解析几何

考点7平面解析几何

——五年(2020—2024)高考数学真题专项分类汇编

一、选择题

1.[2021年新高考H卷偌抛物线9=295>0)的焦点到直线y=x+l的距离为应，则p=()

A.lB.2C.2A/2D.4

22

2.[2021年新高考J卷]已知工,凡是椭圆C：二+匕=1的两个焦点，点/在C上，则

94

|咋卜附闾的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

22

3.[2023年新课标I卷]设椭圆£:二+丁=1(。〉1),c?：'+：/=1的离心率分别为q,e,.

a4

若e?=贝U。=()

2A/3[―

B.V2C.V3D.V6

3

4.[2024年新课标II卷]已知曲线C:必+V=I6(y〉0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',

P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为()

x2y222

A.—+^=l(y>0)B.—+^=l(y>0)

164168

2222

c+=1(y>0)D.^+—=l(y>0)

4T168

5.[2023年新课标I卷]过点(0,-2)与圆f+VTx-1=0相切的两条直线的夹角为c,则

sina=()

A」B.日

Vz.U.

44

6.[2023年新课标H卷]已知椭圆C:j+/=1的左、右焦点分别为耳，F。,直线y=与

C交于A,3两点，若△耳AB面积是△KA3面积的2倍，则m=()

V2

R「6

AD.--------c.------

-t33"I

二、多项选择题

7.[2021年新高考I卷]已知点P在圆(x-5))+(y-5)2=16上，点4(4,0),5(0,2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当N*最小时，PB=3y/2

D.当NPfiA最大时，PB=30

8.[2022年新高考H卷]已知。为坐标原点，过抛物线。：9=2夕%(0〉0)焦点歹的直线与。

交于A,3两点，其中A在第一象限，点M(p,0).若|A用=|川0|,则()

A.直线A3的斜率为2#B.|(9B|=|OF|

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

9.[2024年新课标I卷]设计一条美丽的丝带，其造型,可以看作图中的曲线C的一部分.已

知C过坐标原点。，且C上的点满足:横坐标大于-2,到点尸(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)

)

A.u——2

B.点(2夜,0)在C上

CC在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点(如阳)在c上时，儿<—

10.[2022年新高考I卷]已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C:x2=2py(p〉0)上，过点

5(0,-1)的直线交C于P,Q两点，则()

AC的准线为y=-1B.直线A3与C相切

C.|OP|-|6)ei>|OA|2D.\BP\\BQ|>|BA|2

三、填空题

22

11.[2024年新课标I卷]设双曲线C:=-当=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为不工，

ab

过工作平行于V轴的直线交C于A,3两点，若闺H=13,||=10,则C的离心率为.

12.[2021年新高考I卷]已知。为坐标原点，抛物线C:y2=2pxCp>0)的焦点为R,尸为C上

一点，PR与x轴垂直，。为x轴上一点，且若|皿|=6,则C的准线方程为.

22

13.[2023年新课标I卷]已知双曲线2=1(。>0,/?>0)的左、右焦点分别为耳，

ab

__k9_____________k

B.点A在C上，点3在y轴上，F[A±F\B,F^A=--F^,则。的离心率为.

22

14.[2022年新高考H卷]已知直线/与椭圆尢+4=1在第一象限交于A,3两点，/与x轴、

y轴分别交于M,N两点，且|MA|=|Nfi|,|MN|=26,则/的方程为.

22

15.[2022年新高考I卷]已知椭圆。：谷+』=1(。〉6〉0),C的上顶点为A,两个焦点为耳，

ab

F2,离心率为;.过耳且垂直于Ag的直线与C交于。，E两点，|DE|=6,则△")£的周长

是.

16.[2022年新高考H卷]设点A(-2,3),3(0,0),若直线A3关于y=a对称的直线与圆

(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是.

四、解答题

17.[2024年新课标I卷]已知A(0,3)和为椭圆。工+)=1(。〉6〉0)上两点.

(1)求C的离心率；

(2)若过尸的直线/交C于另一点3,且△回9的面积为9,求/的方程.

18.[2023年新课标H卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-26,0),离心率为君.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A，4,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M

在第二象限，直线"4与N4交于点P,证明：点P在定直线上.

19.[2020年新高考I卷]已知椭圆C：J+/=l(a〉6〉0)的离心率为冷，且过点A(2,l).

(1)求C的方程：

(2)点M,N在C上，且AD±MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得为

定值.

20.[2021年新高考I卷]在平面直角坐标系xOy中，已知点耳(-JI7,0),6(市,0),点航

满足|阿卜|咋|=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x=!上，过T的两条直线分别交C于A,3两点和P,Q两点，且

2

\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

21.[2023年新课标I卷]在直角坐标系xOy中，点尸到x轴的距离等于点P到点的距

离，记动点尸的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形A3CD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于36.

22

22.[2022年新高考H卷]已知双曲线C:。-斗=1(a>0,b>0)的右焦点为砥2,0),渐近

线方程为y=t6x.

(1)求C的方程；

(2)过R的直线与C的两条渐近线分别交于A,3两点，点P(％,%),0(々,%)在。上，且

玉〉々〉0，X〉0•过。且斜率为-四的直线与过Q且斜率为G的直线交于点”.从下面①②③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①〃在A3上；②PQHAB；③|MA|=|M3|.

★参考答案★

1.答案：B

解析：本题考查点到直线的距离及抛物线的焦点坐标.抛物线V=2px(p>o)的焦点为尸仁,0

由题意,=及,解得p-2.

2.答案：C

解析：由题意可知，|5|+|咽|=2。=6,所以|“耳卜阿闾也竺邛四]=9,当且仅当

阳=眼闾=3时，等号成立，所以眼耳卜眼闾的最大值为9,

故选C.

3.答案：A

解析：由椭圆G的方程知离心率4=也匚，由椭圆G的方程知

a2

又•..=百"，即无=百.包二1,化简得/=44—4,汉I.故选

212a33

A.

4.答案：A

解析：设/(%,%)，则。宙，2%)，因为点P在曲线C上，所以x；+(2%y=16(%>0),即

2222

工+迎=1(%〉0),所以线段PP的中点〃的轨迹方程为二+匕=l(y〉0),故选A.

164v'164

5.答案：B

解析：设圆/+/一4x-1=0为圆C,化简得(％—2)2+9=5,圆心为C(2,0),半径厂=君.如

图，设NCB4=6>,则a=2。，sin，=0U,石=岑,易知cos。〉。，则

\CP\7(2-0)2+[0-(-2)]22V2

cos。=一7=,所以sina=sin20=2sin9cos。=---.故选B.

2V24

解析：设直线与X轴交于点Af(T%0),直线方程与椭圆方程联立得

4y2c4/c\

---------1-2rruc+m2-1=0,A=(2m)2-4—(m2-1)>0,解得一2<m<2.

33v7

设耳(-0,0),月(0,0)到直线A3的距离分别为4,乙，由题意得，2--\AB\-d2=~\AB\-dl,

所以4=24.由三角形相似可得，4=叫=匕2％1=2,解得根=一变或根=_3夜.因为

一d2\F2M\\42+m\3

也

-2<m<2所以加=----,故选C.

93

7.答案：ACD

解析：设圆(-5)-6的圆心为小5,5),由题知直线他的方程为:+/,即

x+2y-4=0,则圆心M到直线A3的距离d=国军二制=其〉4,所以直线A3与圆〃相

V5V5

离，所以点P到直线A3的距离的最大值为4+d=4+",4+^=<5+后=10,故A正确.

点尸到直线A3的距离的最小值为4-4=磊-4,定_4(卷—4=1,故B不正确.过点3

作圆"的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接MB,MN,MQ,则当N*最小时,

点P与N重合，PB=^MB--MN2=752+(5-2)2-42=372,当NPS4最大时，点尸与。重

合，PB=342,故C,D正确.

解析：由|AE|=|AM|,可知5二击也二1。.代入产=2内，得以=多(负值已舍去).

y=2yj6x-46p,得

^^=2A/6,直线AB的方程为＞=2后-Cp.联立＜

_P_,2=2pX,

12

\/

24犬2—26p九+6,2=0,贝Ijxx=§，得/="|■，贝U%=—9p.故A(3A/6

AB-p,——p,B

4233)

P

一_2

Fy,o,M(p,O).选项A,k力尸=一丁-=2^6=kAB,故正确.选项B,

£

2

|C51=Jx；+城=p手g故错误.选项C,|AB|=%+/+P=＞2"=4|Ob|,故正确.

(3V6((2指〕

选项D,易得况=，OB=逅/，MA=，MB=一一P，----P

口丁J433JI42J33

2Q

因为函•砺=n2-/=一一p2<0,所以ZAOB为钝角.

44

25

因为迈.砺=2n—p2=—1/<0,所以NAMB为钝角，所以NQ4"+NOSM<180。，故正

66

确.选ACD.

9.答案：ABD

解析：因为坐标原点。在曲线C上，所以2x|a|=4,又。<0,所以。=-2,所以A正确.

因为点(20,0)到点/(2,0)的距离与到定直线1=-2的距离之积为(272-2)(20+2)=4,所以

点(20,0)在曲线C上，所以B正确.

设P(x,y)(x>Q,y〉0)是曲线C在第一象限的点，则有而三百丁(％+2)=4,所以

V=—(x-2)2,令/(%)=—(%—2f,贝I]尸(x)=-—2(x—2),因为/⑵=1,

(x+2)~(x+2)，(x+2),

且尸(2)<0,所以函数/(幻在％=2附近单调递减，即必定存在一小区间(2-£,2+£)使得/(幻

单调递减，所以在区间(2-£,2)上均有/(幻>1,所以P(x,y)纵坐标的最大值一定大于1,所

以C错误.

因为点(%,%)在。上，所以/〉一2且—2『+y；(%+2)=4,得

君=/%-5-2)24/鼻，所以先引为|'尹三=±，所以D正确.综上，选

(%+2)(%+2)V(xo+2)%+2

ABD.

10.答案：BCD

解析：对于A,由点A(l,l)在抛物线C上，得2P=1,解得°=工，则C的准线为丁=-工，故

A错误.

对于B,由点A,3的坐标得直线A3的斜率左钻=2，所以直线A3的方程为y=2x-1,由

,'=2：-1，得炉一2尤+1=(》一1)2=0,解得％=1.将1=1代入丫=/,得3；=1,所以切点为(1,1),

y=x

即为A点，所以直线A3与C相切，故B正确.

对于C,由于直线PQ的斜率一定存在，设直线PQ的方程为丁=丘-1,由得

y=kx-l,

x2-kx+l=0,所以贝！J=1,所以

OPOQ=xpxQ+yp-yQ=2=\OP\\OQ\cos0<]OP\\OQ\(其中，为历与质的夹角)，又

|G>A|2=(l-0)2+(l-0)2=2,所以|Q4|2<|OP|.|OQ|,故C正确.

对于D,由C知13Pl•1501=，1+公|与卜，1+1212卜(1+左2)|与々卜1+左2,由B选项知I人|>2,

所以1+k2>5.又13Al2=(1_0)2+口_(_1)]2=5,所以13Pl•|3。|>|3A|2,故D正确.故选BCD.

11.答案：-

2

解析：法一：由|AB|=10及双曲线的对称性得恒用=等=5,因为|然|=13,所以

2a=|AF；|-|A^|=13-5=8,2c=|=-\AF,f=V132-52=12,所以a=4,c=6,

则C的禺心率e=—=—=—.

a42

r\i27222

法二：因为|AB|=10,所以生=10,所以幺==^=5,又|蝴|=13,所以

aaa

闺K|=2c==12,得c=6,所以1+54—36=0,得a=4,所以C的离心率

c63

e=———=—.

a42

12.答案：x=--

2

解析：本题考查抛物线的图象与性质.因为PZFx轴，所以点尸的坐标为［与p1（假设点尸在x

轴上方，点尸在X轴下方同理）.因为PQLOP,所以△OPQaPQR,所以竺=里，即

FQPF

PF2=OFFQ,所以p2=3p,解得p=3,所以C的准线方程为了=-|.

解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设耳（-c,0）,工（。,0），5（0,九）.

耶=(G")，则

254

--C2—YI2

又点A在双曲线C上，则2——2丁=1,整理得当-驾=9,

abab

将“2=402,〃=。2—后代入，得岑—4^T=9,即25e2—g=9,解得e?=2或《2=工(舍

a2c2-a2e2-l55

去),故e考

_2_______,IM2

法二:由可=_§可得=设内A|=2x,则优@=3x,\AB\^5x.

\F2B\3

由双曲线的对称性可得出口=3x,由双曲线的定义可得|明|=2x+2a.

sin0=—=3,cos0=—=|AFj|=4a,\AF\=2a.

设Z-FXAF2=，，则所以"+2a,解得了=。，所以0

5x555x

在AAG鸟中，由余弦定理可得cos8=-a-+4矿-4°2=q,即5c2=9/,可得e=35.

16a55

14.答案：x+。-20=0

解析：法一：设直线/的方程为三+2=1,则点M(〃0),N(0,«)(m>0,〃>0).设A(XQJ,

mn

6(%,％)(%1,x2>0,MW%2)•

再+%2_m+0

由题意知线段A3与线段MN有相同的中点，所以2八？

X+%.0+〃

、2一亍

即卜+“=%又因为如=心”所以=j=—K.

%+%=〃・玉一马加一°m

将点A（石，X）,3（%，%）的坐标代入椭圆方程中，得,两式相减，得

逡+&=1,

、63

6+%）（%—々）+（M+%）（X—%）=o,整理得%+为»-%」,则土，，］=」，则

63x1+x2x1-x22m\m）2

加=2"①.又|MN|=26,所以由勾股定理，得4+7?=12②.联立①②，结合相>0,n>0,

解得卜=2夜,所以直线/的方程为;+2=1,即》+也尸2拒=0.

n=2,2A/22

法二:设石为AB的中点，由题意知，点石既是线段的中点又是线段MN的中点，设A6,%）,

5（%2，%），设直线AB：y=Ax+m，k<0,m>Q,贝UM—e,0N(0,ni),E-察日，因

\2k2)

为|MN|=2百，所以|OE|=7L

y=kx+m,

22

联立直线A3与椭圆方程得xy消掉y得(1+2左2卜2+4相乙+2加2-6二0

---1----1,

[63

c2八八4mk

其中八=（4〃流>―4（1+2公乂2Hz—6)>0x+x=-------

7勺29l+2k2

2mk_m

所以AB中点E的横坐标XE=-三枭'又后一条所以『-

\2k2Jl+2k2~~2k

Ji

因为左<0,m>Q,所以左=—半，又|OE|==6，解得机=2,所以直线

6

AB:y---—x+2,即x+J2y-20=0.

15.答案：13

解析:设可为椭圆C的左焦点.如图，连接4月，。月，.因为椭圆的离心率为:，所以a=2c,

所以椭圆C的方程为]+a=1,且△4打工为等边三角形，则直线DE的斜率左=#.

由直线DE垂直平分线段4工得，|AO|=|*|,\AE\=\EF2\,则△的)£的周长等价于

|DE|+|。阊+|%|=|。制+|。闾+|璃|+庐闾=4a.

设。(％，X),石伍，％)，又直线DE的方程为y=g(x+。)，与椭圆方程联立得

123

QrQOr

13尤2+8cx-32c2=0,则为+々=-百，X]X2=——5一.由弦长公式

IDE|="2+1.卜—/I=y/k2+1-J(X]+%2『-4中2,得IDE|=J；+l-+二；=EC=6，

13

即°=".所以的周长为4a=8c=13.

8

16.答案：

[32j

Q—Z7

解析：方法一：由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为4(-2,2a-3),所以心尸；一，

所以直线A3的方程为丫=—x+a,即(3—a)x—2y+2a=0.由题意知圆(x+3)2+(y+2)2=l

的圆心为(-3,-2),半径为1,又直线(3-a)x-2y+2a=0与圆(x+3>+(y+2)2=l有公共点,

所以圆心到直线A;B的距离d=-3?-。)+2义2+2例4],整理得6储一1必+3<。，解得

,(3-4+(—2门

13「13一

-<«<-,所以实数。的取值范围是.

3232

方法二：因为直线AB关于y=a对称的直线也与直线AB关于y轴对称，圆(x+3)2+(y+2)2=1

关于y轴对称的圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=l,由题意知该圆与直线A3有公共点.直线A3

的方程为。=亍…，即(a—3)x—2y+2a=0.又圆(x—3)2+(y+2)2=l的圆心为(3,—2),半

径为1,所以圆心到直线33的距离—3)+2X2+2"(],整理得6〃_1山+3<0,解得

―3)2+(-2)2

13所以实数。的取值范围是「1巳3：一

32132」

17.答案：(1)-

2

31

(2)/:y=一尤一3或y=-X

22

解析：(1)由题知丫c,解得卜=：)一6

9

9,9]b=2

[a24b2

c=Ja?—/=,二.C的曷心率e=9=!

a2

⑵心11手

设点B到直线PA的距离为h,

贝的面积为5=3|己4|力=9,解得〃12百

5

|x+2y-6|12^/5

易知直线PA:x+2y-6=0,设则<455

22

-%------"1-------—-11

129

「尤=0卜=一3(

-ir

解得1或3，二以。,-3)或8-3,

」=-3[y=~21

故/:,=3%-3或丁=!》.

22

18.答案：（1）土-匕=1

416

（2）证明见解析

解析：（1）因为双曲线C的左焦点为（-2班,0）,所以c=2«.

由离心率e=£=2"=逐，得a=2,所以人，。?-/=4,

aa

22

所以C的方程为土-匕=L

416

（2）证明：设（占＜0,%〉0）,N（%,%），显然直线"N的斜率不为0,故设直

线MN的方程为x=my-4.

因为4(—2,0),4(2,0),

所以直线的方程为y=（x+2）,直线N4的方程为y=（x-2）,

玉+2X2-2

y=f(x+2),

%1+

联立消去y得.红二=七2

“Mx-2),西+2%x+2

y=

%2-2

x=my-4,

联立，2y2消去X整理得(4%2一1)丁—32冲+48=0,

---------=1,

1416

48

则4^2—1/0,A=256机2+192〉0,则%+%=3孕，

-124m2-1-12W-1

3

所以町%=](%+%)，

39

所以。^.强二=驾风力3,

%+2%myxy2-2y2

所以土工=一3,解得x=-1,

x+2

所以点尸在定直线x=-1上.

22

19.(1)答案：土+匕=1

63

a2

解析：由题意可得:<+-z-=l,解得：a2=69b2=c2=3,

ab

〃2=/+c2

22

故椭圆方程为：—+^=1.

63

（2）答案：证明见解析

解析:设点Af（%，X）,N（x2,y2）,

若直线MN斜率存在时，设直线MV的方程为：y^kx+m,

代入椭圆方程消去y并整理得：（1+21<2）%2+4kmx+2mr-6=0,

2

_，zH4km2m-6

口」X,+X——,XyXy——

1?-1+2F1-1+242

因为AMLATV,所以AM-AN=0,Bp-2)(x2-2)+(^-l)(y2-1)=0,

22

根据%=fctj+m,y2=kxi+in,代入整理可得：(k+l^x1x2+(<hn-k-2^xl+x2)+(m-l)+4=0,

所以H+l)含9+(而-人2)[-段)+(…l『+4=0,

1十乙Kk11乙K)

整理化简得（2%+3机+1）（2左+机—1）=0,

因为A（2,l）不在直线MV上，所以2左+加—I/O,

故2大+3帆+1=0,kwl,

于是肱V的方程为丁=左［%一|）一：（左W1）,

所以直线过定点直线过定点P

当直线"N的斜率不存在时，可得N（%,-%）,

由AM-AN=0得：(%—2)(%—2)+(%—1)(—%—1)=0,

2

得（七一27+1—寸=0,结合今+/=1可得：3X1-8X1+4=0,

..9

解得：％1=§或％2=2（舍）.

此时直线跖V过点哈。

令Q为AP的中点，即Q［，g］，

若。与P不重合，则由题设知AP是RtZVLDP的斜边，

故也|，阴=¥，

若。与P重合，则|DQ|=JAP|,

故存在点使得为定值.

2

20.答案：（1）V-二=l（x〉0）

16

（2）0

解析：（1）由双曲线的定义可知，点M的轨迹C为焦点在x轴上的双曲线的右支，且2〃=2,

c=A/F7,

所以Q=1,b2=c2—a2=17—1=169

2

所以C的方程为V—J=l（x〉0）.

16

（2）设A（X］,yJ,网/，%），西》1且

由题知，直线A3与直线PQ的斜率都存在且不相等，

设直线AB的方程为y=k\x-^+m.

y=k[+m,

联立

%2--=1（%>0）,

16

消去y并整理得（16-左；卜2+（匕2—2左+K机一根2—16=0.

又直线A3与曲线C必有两个不同的交点，

所以16—其20,4=16（4疗一4左刖一3片+64）＞0,

72C71m-----奸+匕H2一机2—16

所以玉+/=_；；，一------

16-kx16—勺

、（____

1J1+1

所以|7X|.|7B|二玉---XQ------

27\-27

（l+^）（m2+12）

一6-16'

设直线PQ的方程为y=k：2（x-g）+m（k［彳Ze?）,

,,（1+公）（疗+12）

同理可得|TP|-|TQ|=一若-----.

k?—16

因为|7X|-|rB|=|7P|-|TQ|,

（1+得）（苏+12）_（1+用（苏+12）

即9-O，

好—16代—16

所以片-16将=6—16片,

所以匕=-右或左1=42（舍去）,

所以匕+左2=0，即直线A3的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

21.答案：（1）x2=y--

(2)证明见解析

解析:(1)设点尸的坐标为(x,y),依题意得|y|=

化简得八>」，

-4

所以W的方程为f=y

-4

(2)证明：设矩形ABCD的三个顶点A,B,C在W上,

则矩形ABCD的周长为2(|AB|+|5C|).

设依题意知直线A3不与两坐标轴平行，

故可设直线AB的方程为y-=k(xT),不妨设k>0,

与炉=丁-工联立，得x?-Ax+W-产=0,

-4

则A=F—4(好一』)=(攵—2/)2>0,所以左W2九

设所以/+石=左，所以％]=左一,,

2

所以|AB|=&+"]-t\=J1+,\k-2t\=y]l+k\2t-k\,

\BC|=11+1^-1^2/++且26+lwO,

7'k)kkkk

所以2(|A3|+15CI)=—阴+12k+11).

当2左一2左2<0,即左21时，函数y=(—2左2—2左1在1_oo,_L上单调递减，函数

I2k_

y=(2左-2/、+43+i在J上单调递减或是常函数(当左=1时是常函数)，函数

y=（2左2+2左»—43+1在［：,+00］上单调递增,

所以当;1时，|2上—修+128+11取得最小值，且最小值为左2+1,

_______3

又k手2t,所以2（|43|+|50|）＞^^卜2+1）=2（1,：）.

KK

令于*）=k>l,

1

则r伏户也

K

当IV左（夜时，/'（左）＜0,当左＞血时，/'（左）＞0,

所以函数/（4在［1,0）上单调递减，在（忘,+8）上单调递增,

所以/次）"（伪=3百,

2(1+/)5

所以2(|AB|+|BC)>>3A/3.

当2左一2左2＞0,即0（左＜1时，函数y=（—2左2上单调递减，函数

y=（2左一2左2、+上3+1在上单调递增，函数y=（2左2+2。/-左3+1在上单调递

增,

所以当/。时，|2公一灯+|2H+1|取得最小值，且最小值为二+左=左。+左2）,

乙K

_______3

2J1+..、、2（1+长）5

又2Q+1W0,所以2（|A5|+|BC|）＞^^—左（左+1）=-^------

kk

3

人2（1+左平

令g（Q=_^-----L,0〈左＜1,

k

£

则9史7m

k

当0（左-时，g'（Q＜0,当事＜左＜1时，g'（k）＞Q,

所以函数g（Q在0,上单调递减，在,1上单调递增,

所以g（左）2g=3^/3,

3

2(l+k2F

所以2(|45|+|5。|)>二----3G.

k

综上，矩形A3CD的周长大于3指.

2

22.答案：（1）V—匕=i

3

（2）证明见解析

解析：（1）由题意得c=2①.

•.•双曲线的渐近线方程为y=土2x=土氐，,。=6②.

aa

又02=〃+匕2③，

联立①②③解得a=1,b=6，

2

双曲线。的方程为炉-上L

（2）设直线P。的方程为y=丘+〃,

由点P,。的相对位置可知左＞0,且左w6.

将直线PQ的方程代入C的方程得（3-左2）尤2_2爪・“2_3=0,

八2kna?+3

则A=12(/2+3-F)>0,X,+—-----,X-lXr,-------.

1-3-k2123-k2

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