2022-2024年高考数学试题分类汇编：解三角形（六大考点） 含解析

三年真题

4<08斛三角彬

富铝若磺。麴躯僧

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

2023年天津高考数学真题

2022年高考全国乙卷数学（文）真题

2023年北京高考数学真题

考点1:正余弦定理综

2023年高考全国乙卷数学（文）真题

合应用

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

2024年天津高考数学真题

2022年新高考天津数学高考真题

2024年上海夏季高考数学真题

考点2：实际应用

2022年新高考浙江数学高考真题

考点3：角平分线、中2023年新课标全国I卷数学真题高考对本节的考查不会有大的变

线、高问题2023年高考全国甲卷数学（理）真题化，仍将以考查正余弦定理的基

2022年高考全国甲卷数学（理）真题本使用、面积公式的应用为主.从

考点4：解三角形范围

2022年新高考全国I卷数学真题近三年的全国卷的考查情况来

与最值问题

2022年新高考北京数学高考真题看，本节是高考的热点，主要以

2024年新课标全国I卷数学真题考查正余弦定理的应用和面积公

2024年新课标全国II卷数学真题式为主.

2024年北京高考数学真题

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

考点5：周长与面积问

2022年新高考北京数学高考真题

题

2023年高考全国甲卷数学（文）真题

2023年高考全国乙卷数学（理）真题

2022年新高考浙江数学高考真题

2022年新高考全国II卷数学真题

考点6：解三角形中的

2023年新课标全国II卷数学真题

几何应用

甯窗给绿。固滔送温

考点1:正余弦定理综合应用

1.（2023年天津高考数学真题）在AABC中，角4民。所对的边分别是。,“c.已知°=回,6=2,4=120°.

⑴求sinS的值;

⑵求c的值；

⑶求sin”-C）的值.

【解析】（1）由正弦定理可得，一二=一^，即=二—，解得：sinB=坦;

sin/sin5sin120°sin813

（2）由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,即39=4+。2-2X2XCX

解得：。=5或。=-7（舍去）.

a即Jlr9解得：sinC=±@,而4=120。,

（3）由正弦定理可得,

sinAsinC26

所以瓦。都为锐角，因止匕cosC=』一生二独处

\5226V1313

V13352回5晶76

sin(5-C)=sin5cosC-cosBsinC=-----x--------------x------=

1326132626~

2.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记”8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,,已知

sinCsin(4—8)=sin3sin(C-4).

(1)若/=2B,求C；

(2)证明：2/=〃+，

【解析】(1)由/=2B,sinCsin(4-B)=sinBsin(C-Z)可得，sinCsinB=sinBsin(C-Z),而0＜3＜g,

所以sinBE(0,1),即有5m。=5由(。一4)〉0，而0＜。＜兀,0＜。一力＜兀，显然CwC—4,所以，C+C-A=7if

5兀

而4=25,A+B+C=TI,所以C=—.

8

(2)由sinCsin(/-B)=sinBsin(C-4)可得，

sinC(sinAcosB-cos4sin5)=sin8(sinCcosA-cosCsin4),再由正弦定理可得，

accosB-bccos/=becosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

1(a2+c2-^2)-|(62+c2-a2)=1(Z，2+c2-a2)-1(a2+Z＞2-c2)，化简得：

2/=/+C2,故原等式成立.

3.(2023年北京高考数学真题)在ABC中，(a+c)(sin/-sinC)=b(sin/-sin3),则NC=()

71712兀5兀

A.B.C.—D.——

6336

【答案】B

【解析】因为（〃+。）（5亩4一$亩。）=/）（5吊4一5）118）,

所以由正弦定理得（。+c）（a-c）=b（a—b）,即/一°2=一/,

M—C2db1

贝U/+〃一。2=帅，故cos。=

2ab~2ab~2

jr

又0＜。＜兀，所以。=§.

故选：B.

4.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在^ABC中，内角4民。的对边分别是见仇。，若acosB-bcosA=c，

且c=(,则ZB=

71712兀

A.——B.一D.—

1055

【答案】C

【解析】由题意结合正弦定理可得sinZcosB-sinBcos4=sinC,

即sin/cos5—sin5cos/=sin(Z+5)=sinAcosS+sinBcosA,

整理可得sin5cosZ=0,由于B£（0,兀），故sinB＞0,

据此可得cos/=0,/='TT,

2

En,—兀兀3兀

则5=71—/—。=兀------=--.

2510

故选：C.

Q

5.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，内角48,C所对边分别为。也c,若8=7r，H=\ac

则sirU+sinC=()

A,巫B・普「V7D亚

Vz•---

132,13

【答案】C

Q4]

【解析】因为B=m-rr，62=3ac,则由正弦定理得sinZsinC=3sin25="

9

由余弦定理可得：〃=a2+c2-ac=—ac,

4

iQ

即：/+/［吟根据正弦定理得sm»sm2C=qin/sinC=",

412

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sin4sinC=一，

4

因为4c为三角形内角，则sinZ+sinC>0,则sin4+sinC=

故选：C.

92

6.（2024年天津高考数学真题）在“BC中，角所对的边分别为见仇。，已知cosBu7，b=5,a__.

16c3

（1）求。；

（2）求sinA；

⑶求cos（B-24）的值.

【解析】（1）设。=2%,。=3心，〉0,贝咻艮据余弦定理得/=/+/—2QCCOS5，

9

BP25=4t2+9t2-2x2tx3tx—,解得看=2（负舍）；

贝lja=4,c=6

577

（2）法一：因为8为三角形内角，所以sin8=Jl—cos?B=

再根据正弦定理得工=々，即而］=不万，解得sin/=

sinAsinB

法二：由余弦定理得COS/=/+02/=52+62—423

2x5x64

因为Ze（0,兀），贝！|sinN=

a

（3）法一：因为cos5=—>0,且5£（0,兀），所以BE

由(2)法一知sin8=上"

16

3

因为则/<8,所以cos4=

4

贝」*3

|Jsin2A=2sin%cos%=2xx—cos24=2cos2A-l=2x1=—

4488

cos(5-24)=cosBcos2A+sinBsin2A=-

16816864

法二：sin2A=2sinAcosA=2x——x—=——

448

3

则cos2A=2cos2A-l=2xI-14

因为8为三角形内角,

915773x[l57

所以cos(B-24)=cosBcos2A+sinBsin2A=—X---x---=-

816864

7.（2022年新高考天津数学高考真题）在中，角4、B、。的对边分别为q,b,c.已知

a=46,b=2c,cosA=——.

4

(1)求。的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(2Z—5)的值.

【解析】(1)因为/=/+02一2庆cos力，即6=/+。2+；6c，而b=2c,代入得6=4c2+c2+c2，解得：c=l.

（2）由（1）可求出b=2,而0</<兀，所以sin/=JT^77=姮，又；=工，所以

4sinAsinB

.nbsin4

sinB=--------

a

(3)因为cos，=—J,所以=</<兀，故0<8<V，又sin4八Jl-cos%=所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2xcos2A=2cos2—1=2x-----1=—,而sinB=,所以

1684

cosB=Vl-sin25=-

4

故sin(2/-B)=sin24cosB-cos24sinB=

考点2：实际应用

8.（2024年上海夏季高考数学真题）已知点5在点。正北方向，点。在点C的正东方向，BC=CD,存在

点A满足/A4C=16.5。,/。/。=37°,则NBCA=（精确到0.1度）

A

【解析】^ZBCA=0,ZACD=9O0-0,

CACD

在△QC4中，由正弦定理得

sin。sinACAD'

CACD

即sin[180°-(90°-6»+37.0°)]sin37.0°

CACD

sin(900-3+37.0°)-sin37.0°①

CACB

在VBC4中，由正弦定理得

sin8sinZCAB'

CACBCACB

即高[1800-(6»+16.5°)jlsin16.5°,即sin®+16.5°)-sinl65，②

②sm(90。-6+37.0。sin37.0°

因为a）=CB,黑得一

sin(6+16.5°)sin16.5°

利用计算器即可得6。78,

故答案为：7.8°.

9.（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式,

他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

2

1c*2*4+a2-b2

S=,其中a,b,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边

42

a=V2,b=V3,c=2则该三角形的面积S=

【答案］叵.

4

2、2V23

]_c2+a2-b214+2—3丫

【解析】因为S=,所以s二4x2-

42424

故答案为：叵

4

考点3：角平分线、中线'高问题

10.(2023年新课标全国I卷数学真题)己知在“3C中，4+B=3C,2sin(/-C)=

(1)求sind；

(2)设45=5,求边上的高.

【解析】(1)­：A+B=?>C,

TT

..7i-C=3C,即。=—,

4

又2sin(/-C)=sin8=sin(4+C),

2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cos4sinC,

sinAcosC=3cosAsinCf

sin/=3cos4,

TT

即tan4=3,所以0v4v5,

,sin—

Vio10

(2)由(1)知，cosA=-j==生。，

M10

由sin5=sin(/+C)=sinAcosC+cosAsinC=~~~

<2V5

5x-----

b

由正弦定理,，可得b=----言—=2\ZTO,

sinCsinB

V

:.-AB-h=-AB-AC-sinA,

22

h-b'SmA-2V10*3^^-6.

10

11.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC中，NBAC=60°,AB=2,BC=，/胡。的角平分

线交BC于D,则

【答案】2

如图所示：iBAB=c,AC=b,BC=a,

方法一由余弦定理可得，2?+/-2x2xbxcos600=6,

因为b>0,角军得：b=1+5

由S&ABC=SAABD+S&ACD可得,

—义2xbxsin60°=—x2xADxsin30°+—xADx6xsin30°,

222

5回273(1+73)

AD=3+V3-2

解得：­b

1+-

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，2?+办2_2x2xbxcos60。=6,因为b>0,解得：b=1+V3,

由正弦定理可得，*_=―也=’_,解得：sin8=—+二,sinC=—,

sin60°sin5sinC42

因为1+百>a>行，所以C=45。，8=180°-60°-45°=75°,

又NBAD=30°,所以//。8=75°,^AD=AB=2.

故答案为：2.

考点4：解三角形范围与最值问题

12.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知AABC中，点。在边8c上，NADB=120°,AD=2,CD=2BD.当

嚓AT取得最小值时，BD=______________.

AB

【答案】V3-1/-1+V3

【解析】I方法一]：余弦定理

设CD=2BD=2m>0,

则在△/助中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m，

在ANC。中，AC1=CD1+AD1-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m，

Ze?_4疗+4_4〃7_4(―2+4+2加)_]2(]+时甘12

所以“序m2+4+2mm2+4+2m।3

V"'m+1

>4——12-=4-2V3

2.(m+1)-^—

V'm+1

当且仅当机+1=一即沉=百-1时，等号成立，

m+1

AT_

所以当会取最小值时，加=Q-1.

AB

故答案为：V3-1.

A

［方法二］:建系法

令BD=t,以D为原点，0C为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,G),B(-t,0)

*=曰±2=与3=4一—一26

AB

(f+1)+3L+2/+4(Z+1)+J_

当且仅当%+1=瓜即m=百-1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

，=+4+2x

/.2c2+〃=12+6，，

b1=4+4x2-4x"

c?=+4+2x

2c2+b2=12+6x2，

b2=4+4x2-4x"

令江=

贝U2c2+t2c2=12+6x2，

AB、

2c12+6/12+6f2

/.〃+2=——--126-1T\

c+2x+4X+1)H—

，x+1J

八4-25

3

当且仅当x+「K，即x=6+l时等号成立.

［方法四］:判别式法

设3D=X,则CD=2x

在△/四中，AB-=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=x2+4+2x，

在A/CZ)中，AC2CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4x，

二匚I”/C?4x?+4—4x、-！412+4—4x

所以一石二「-------，记’-------

A.Bx+4+2xx+4+2x

贝！|(4—)x2_(4+2/)x+(4-旬=0

由方程有解得：A=（4+2/）2-4（4-Z）（4-4/）>0

即“一81+440,解得：4-273<?<4+273

所以。=4-26此时》=言=痒1

AT

所以当方取最小值时，-6-1,即如回L

3（2022年新高考全国I卷数学真题）记“比的内角48,C的对边分别为6,c,已知备=黑|万

(1)若C=,2〃，求&

2,r2

⑵求巴?的最小值.

C

cosAsin252sin5cos5sin5

【解析】（1）因为,即

1+sin1+cos252cos2Bcos5

sinB-cosAcos5-sin^4sinB=cos(4+5)=—cos。=；，

TTqr

而0<B<5,所以B=e；

7171

(2)由(1)知，sin^=-cosC>0,所以一<C<兀,0<5<一,

22

]fj]sin5=-cosC=sinfC-^j,

所以C啜71瓦即有人7712凡所以它吟小713兀

22PT

a1+b2sin2A+sin2Bcos225+1-cos2B

所以

c2sin2Ccos2B

Qcos。5-1)2+l-cos2B

=4套8+———522a-5=4A历-5-

cos2Bcos2B

当且仅当c°加=日时取等号’所以中的最小值为4夜-5.

14.（2022年新高考北京数学高考真题）在中，4C=3,BC=4,NC=90。.尸为力所在平面内的

动点，且尸C=l,则方.而的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则。(0,0),r(3,o),5(0,4),

因为尸c=l,所以p在以。为圆心，1为半径的圆上运动,

设尸(cos3,sin。)，［0,2句,

所以夕/=(3-cos。,一sin。),PB=(-cos3,4-sin,

所以P4PB=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin6)

=cos26—3cos6—4sin8+sin?。

=l-3cos9-4sin。

•/\34

=1—5sin(6+夕)，其中sin°=?，cos(p=—

因为一14sin(<9+e)41,所以一4W1—5sin(6+e)W6,即可•丽e［T,6］；

故选：D

考点5:周长与面积问题

15.(2024年新课标全国I卷数学真题)记”8C的内角/、3、C的对边分别为a,6,c,已知sinC=ecos8,

+b~-c"—A/2ctb

⑴求5

(2)若AJBC的面积为3+6，求c.

【解析】(1)由余弦定理有力+〃—/=2。6cosC,对比已知/+62_02=0“6,

a2+b2-c142ab_V|

可得cosC=

2ablab2

因为。£（0,兀），所以sinC>0,

从而sinC=Vl-cos2C=

又因为sinC=J^cosB，即COSB=5,

注意到340,兀），

所以5g

（2）由（1）可得5=1,cosC差,Ce（O,7r）,从而C=：，/=兀4_：=1^,

4

a_b_c

由正弦定理有.5兀一.兀一.兀，

sin——sin—sin一

1234

从而"®2"忘=也乜,6=36=叵,

4222

由三角形面积公式可知，的面积可表示为

由已知“3C的面积为3+e，可得也叵°2=3+6，

8

所以C=2VL

16.（2024年新课标全国II卷数学真题）记“BC的内角/,8,C的对边分别为0,6,c,已知sin4+右cos/=2.

⑴求4

（2）若。=2,扬sinC=csin25，求“3C的周长.

【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）

由sin/+J^cos/=2可得,sin/+且'Cos/=1，即sin（N+=）=l,

223

>._、,717T4兀、।,.兀717ai兀

由z于+z故/+二=彳，斛得/

333326

方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）

由sin/+JJcos4=2,又sin?Z+cos?4=1,消去sin/得至lj：

4cos2A-4y/^cos^+3=0o（2cos^4-V3）2=0,解得cos4=

2

jr

又Ne(0,7i),故/=—

6

方法三：利用极值点求解

设/(x)=sinx+V3cosx(0<x<兀)，则/(')=2sin[x+y^(0<x<兀),

显然x=£时，/(%)max=2,注意到/(Z)=sin/+百cosZ=2=2sin(Z+f),

63

/(x)max=/(4)，在开区间(0,兀)上取到最大值，于是％=4必定是极值点，

即/'(4)=0=cos4一6sin4,即tanA=,

jr

又/e(0,7i),故4=:

6

方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)

设a=(1,6),1=(sin4cosZ)，由题意，a-b=sinA+cosA=2，

根据向量的数量积公式，小3=1同闻COS,E)=2cos,

贝！J2cos2,3=2ocos落B=1,此时1,3=0,即a,B同向共线，

根据向量共线条件，Leos/=-sin/<=>tanA=—，

3

TT

又Ne(0,7t),故/=乙

6

方法五：利用万能公式求解

设，=tan〈，根据万能公式，sin/+Gcos/=2=20+也。J),

整理可得，Z2-2(2-V3)Z+(2-V3)2=0=(?-(2-V3))2,

解得tan《=f=2-根据二倍角公式，tan号=",='，

21-t23

jr

又Ne(0,Ti),故/

6

(2)由题设条件和正弦定理

V2Z?sinC=csin25u>，sin5sinC=2sinCsin5cos5，

又民Ce(0,7t),则sinBsinC/O,进而cosBu^，得到B=巴，

24

7兀

于是。=兀一Z—5二——，

12

sinC=sin(7i-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sin5cosA=■

4

2_Z?_c

由正弦定理可得，号=工=-7；，即一

smAsin5sinCsin—sin—sin—

6412

解得b=2>/2,C=V6+A/2,

故AASC的周长为2+6+3夜

17.（2024年北京高考数学真题）在“中,内角4瓦。的对边分别为。也。，//为钝角，。=7,

sin2B-——bcosB-

7

（1）求/Z；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.

条件①：b=7；条件②：cosB=j|；条件③：csin4=1■百.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【解析】（1）由题意得2sin5cos5因为A为钝角，

7

厂厂

则cosBw0,则2sinB=Nb,则sinBsin/sin/,解得sinZ=U*,

7-2

因为A为钝角，则，二可.

(2)选择①6=7,则sinB=因为/=/，则3为锐角，则8=。,

14142

止匕时/+3=兀，不合题意，舍弃;

133V3

选择②cos3=豆，因为8为三角形内角，贝Usin8=

14

贝1J代入2sinB=9z>得2、递=且6,解得6=3,

7147

sinC=sin(4+5"sin=sin驾os8+cos幺in8

33

G133G5G

二-------X---Fx---=---

21421414

=-absinC=-x7x3x—=巨色

则S

ABC22144

选择③则有解得金，

75

a，即公sinC,解得sinC=%^,

则由正弦定理得

sinAsinC14

11

因为。为三角形内角，则cosC=

14

(27r।.27兀r27兀r

贝Usin5=sin(4+C)=sinl—+C|=sin-cosC+cos-^sint

33

V311115G_36

=----X-----\~——X-----=------

21421414

则$八/\ARnlC~~“csinB-

2144

18.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)记的内角4民。的对边分别为。，仇。，已知

sinCsin(C-B)=sinBsin(C-A).

(1)证明:2a2=b2+c2;

...25

(2)^*a=5,cosA=—,求小3。的周长.

【解析】(1)证明：因为sinCsin(4-5)=sin5sin(C—4),

所以sinCsinAcosB-sinCsinBcosZ=sin8sinCcosZ-sin5sinAcosC，

所以m•_2爪.=一必

2ac2bclab

q/+/—Z??/222

n7a2+b2-c2

即----------^b2+c-a2

2

所以2/=/+。2;

(2)因为。=5,cos4=下，

由(1)得〃+°2=50,

由余弦定理可得/=Z)2+c2-2bccosA,

贝IJ50-%c=25,

31

所以儿=一31，

2

故仅+。)2=/+。2+2历=50+31=81,

所以6+。=9,

所以的周长为a+b+c=14.

19.(2022年新高考北京数学高考真题)在28c中，sin2c=6sinC.

⑴求/C；

(2)若b=6,且的面积为6百，求的周长.

【解析】(1)因为。£(0,»)，则sinC〉O,由已知可得JJsinC=2sinCcosC,

可得cosC=@,因此，C=£.

26

(2)由三角形的面积公式可得S“Bc=ga，sinC=ma=6Vi,解得a=4x/§.

由余弦定理可得C2=Q2+〃—为bcosC=48+36—2x4jx6x受12,.・.c=26，

所以，“5C的周长为Q+6+c=6百+6.

20.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)记”BC的内角48,C的对边分别为。也c,已知=2.

cos/

(1)求A；

—什tZCOSS-6cos力b1为…「HErr

(2)若————-——=1,求448。面积.

acQsB+bcosZc

222

【解析】(1)ma=b+c-2bccOsA,所以=2bccos/=2bc=2,解得：bc=l.

cosAcosA

/_、,r,口qcos5—6cos/bsinAcos5-sin5cosAsin5

(2)由正弦定理可得-----------——=—；——-~~———---—

。cos6+/?cosZcsinAcos+sin/yCOSAsinC

sin(4—8)sin5sin(4—5)—sinB

-sin(/+5)—sin(Z+B)-sin(4+5)—-'

变形可得：sin(Z—B)—sin(/+B)=sinB,即一2cos力sinB=sinB,

i/?

而OvsinBWl,所以cos4=--,又0<4<兀，所以sinZ=—,

22

c

故^ABC的面积为SAABC=~^sin4=J*lx-y-=.

21.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)在445C中，已知/氏4C=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sin/4BC；

(2)若。为8C上一点，且/氏4。=90。，求△4DC的面积.

【解析】(1)由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

a2+c2-b27+4-15A/7

则5C=J7，cos5=

-2x2xg-14'

sinZ.ABC=J1-co$

q—xABxADxsin90°

（2）由三角形面积公式可得皆也----------------=4,

△ACD—XACXADxsin30°

2

则%s=:s*=:xgx2xlxsinl2o]=9

JJ\4JX\J

22.（2022年新高考浙江数学高考真题）在^ABC中，角/,3，。所对的边分别为a,b,c.已知4a=0c,cosC=1.

(1)求sin4的值；

(2)若6=11,求AABC的面积.

34I—

【解析】（1）由于cosC=y，0<C<兀，贝!!sinC=《.因为4a=氐，

由正弦定理知4sin/=J^sinC,贝（jsin/=^-sinC=.

45

2_L1?1_1^2*1[42

（2）因为4a=右c,由余弦定理，得「a2+b2-c2口一行3.

cose=----------=--------------=-------=—

2ab22a2a5

4

即。2+6。-55=0，解得。=5,而sinC=《，6=11,

114

所以AA5C的面积S=—absinC=—x5xllx—=22.

225

23.（2022年新高考全国n卷数学真题）记的内角4,B,C的对边分别为访b,c,分别以a,b,c

为边长的三个正三角形的面积依次为*Sz,S3,已知d-S2+S