2021年中考数学临考冲刺训练：锐角三角函数及其应用(含答案)

2021中考数学临考冲刺训练：锐角三角函数及

其应用

一、选择题

1.（2019•天津）2sin60。的值等于

A.1B.V2

C.73D.2

2.如图，在RSABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=8,则BC的长是()

B.4C.8小D.4小

3.（2019•山东威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B

点.已知坡角为20°,山高BC=2千米.用科学计算器计算小路AB的长度，下列

按键顺序正确的是

A.IUEZJHHHHB.团叵］函国同目

c.团臼叵|国回臼D.团口!叵］回回目

4.（2019•湖南长沙・3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离

灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的

南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是

北

B.60nmile

D.(30+30573)nmile

5.（2020.咸宁）如图，在矩形ABCZ）中，AB=2,BC=2亚,E是BC的中点,

将A4BE沿直线AE翻折，点3落在点尸处，连结CF,则cosNECF的值为（）

。.-D.—

35

如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公大楼顶端A

测得旗杆顶端E的俯角a是45。，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米

,梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=l：小，则大楼AB的高度约为（精确到0.1米

,参考数据：值1.41,修1.73,除245）（）

A.30.6B.32.1C.37.9D.39.4

7.（2019•浙江金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O.已知AB=m,ZBAC=

Na,则下列结论错误的是

D

B.BC=m*tana

▲Cmm

C.AO---------D.BD二

2sinecos。

8.如图，以。为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A,B两点，P是AB

上一点(不与A,B重合)，连接OP,设NPOB=a,则点P的坐标是（

A.(sina,sind)B.(cosa,COSCL)

C.(cosa,sina)D.(sina,cosa)

二'填空题

9.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,BC=15,tanA=v>则AB=

oI

10.已知a,。均为锐角，且满足|s%a—3|+（ta/zp—1）2

=0,贝Ua+B=.

11.（2019•浙江衢州）如图，人字梯AB,AC的长都为2米，当a=50。时，人字梯

顶端离地面的高度AD是米（结果精确到0.1m.参考数据：sin50。-

0.77,cos500~0.64,tan50°~L19）.

BADC

12.

如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30。，测得底部C的俯角

为60。，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高

度BC约为米.（精确至U1米，参考数据：小句.73）

13.

齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB

,AC与地面MN所夹的锐角分别为8。和10。，大灯A与地面的距离为1

m,则该车大灯照亮的宽度BC是加:（不考虑其他因素，参考数据：5沅

4195

8°=石，tan8°=q,s沅10°=正，加〃10°=五）

14.（2020.天水）如图所示，NA03是放置在正方形网格中的一个角，则sinN

AOB的值是.

15.如图，在AABC和4DEF中，ZB=40°,ZE=140°,AB=EF=5,BC=DE

=8,则这两个三角形面积的大小关系为SAABCSADEF（填“>”或“=”或

16.（2020.苏州）如图，已知NMON是一个锐角，以点。为圆心，任意长为半

径画弧，分别交OM、ON于点4、B,再分别以点A、8为圆心，大于长

2

为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC.过点4作ADON,交射线OC于点。，

过点。作DE1OC,交ON于点E.设04=10,DE=12,则

17.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC=3,点。在边AC上，且AD=2CD,

DELAB,垂足为点E,连接CE,求：

(1)线段3E的长；

Q)NECB的正切值.

18.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,AD平分NA4c交3c于点。，。为A3上

一点，经过点A,。的。。分别交AB,AC于点E,F,连接OR交AD于点G

(1)求证:3C是。。的切线；

(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长；

(3)若BE=8,sinB=K，求。G的长.

19.

如图，在正方形A3CD中，点G在对角线3D上(不与点3,。重合)，GELDC于点

E,6尸，3。于点口，连接AG.

(1)写出线段AG,GE,G尸长度之间的等量关系，并说明理由；

(2)若正方形A3CD的边长为1,ZAGF=105°,求线段BG的长.

AD

E

C

20.(2019•铜仁)如图，A、B两个小岛相距10km,一架直升飞机由B岛飞往A岛，

其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm,当直升机飞到P处时，由P处测得B

岛和A岛的俯角分别是45°和60°,已知A、B、P和海平面上一点M都在同

一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，石心1.732)

21.如图，。。是△ABC的外接圆，AC为直径,AB

=BD,3ELDC交。C的延长线于点E

⑴求证：Z1=ZBCE；

(2)求证：3E是。。的切线；

(3)若EC=1,CD=3,求cosNDBA

2021中考数学临考冲刺训练：锐角三角函数及

其应用-答案

一'选择题

1.【答案】B

【解析】锐角三角函数计算，2sin60°=2X^=73,故选A.

2

RC1

2.【答案】D［解析］•在RtAABC中，ZC=90°,NB=30°,AB=8,cosB=而,

RC1

即__

cos30°=o^,

.*.BC=8x^-=4小.

3.【答案】A

2

【解析】在△ABC中，sinA=sin20°=萼，AB=o=,o...按键顺序

ABsin20sin20

为：29sin20=,

故选A.

4.【答案】D

【解析】过C作CDLAB于D点，/.ZACD=30°,ZBCD=45°,AC=60.

在RtAACD中，cosZACD=—,/.CD=AC•cosZACD=60X@=308.

AC2

在Rt^DCB中，VZBCD=ZB=45°,/.CD=BD=3073,/.

AB=AD+BD=30+30班.

所以此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30石）nmile.故选D.

B

5.【答案】C

【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性

质，由折叠可得：AB=AF=2,BE=EF,NAEB=NAEF,,.,点E是BC中点，BC=2非,

.,.BE=CE=EF=5/.ZEFC=ZECF,AE=,+（扃=3,VZBEF=ZAEB+

ZAEF=ZEFC+ZECF,ZECF=ZAEB,cosZECF=cosZAEB=-=^-,

AE3

因此本题选C.

6.【答案】D

【解析】如解图，设与DC的延长线交于点G,过点E作EfUAB于点R过点

B作BHLED于点、H,则可得四边形GDER为矩形.在RtA3CG中，12,加

BG

LCG

=为­,AZBCG=30°,：.BG=6,CG=6小,：.BF=FG-BG=DE~BG=15

-6=9,VZAEF=a=45°,：.AF=EF=DG=CG+CD=6小

+20,AB=BF+AF=9+2Q+6导39.4（米）.

7.【答案】C

【解析】A、•.,四边形ABCD是矩形，.•.NABC=NDCB=90。，AC=BD,AO=CO,

BO=DO,

/.AO=OB=CO=DO,/.ZDBC=ZACB,

...由三角形内角和定理得：ZBAC=ZBDC=Za,故本选项不符合题意；

B、在RtaABC中，tana=,即BC=m・tana,故本选项不符合题意；

m

vnrn

C、在Rt^ABC中，AC=------,即AO=——,故本选项符合题意；

costz2cosa

D、•四边形ABCD是矩形，/.DC=AB=m,VZBAC=ZBDC=a,・'.在Rt^DCB

中，BD=—"一，故本选项不符合题意;

cosa

故选C.

8.【答案】C

【解析】如解图，过点尸作PCLOB于点C,则在RtAOPC中，OC=OPcos/PO

B=lxcosa=cosa,PC=OP-sinZPOB=1xsina=sina,即点P的坐标为（cosa,si

二、填空题

HC115

【答案】［解析］•在中，，

9.17RtAABCZC=90°,tanAAL=#=o/BC=15,

解得AC=8.根据勾股定理，得AB=^AC2+BC2=^82+152=17.

故答案为17.

10.【答案】75°

【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是

它们都为零.根据题意，得|simx—；|=0,(ta«p—1)2=0,则s沅a=3，勿邛

=1,又因为a、0均为锐角，贝Ua=30。，p=45°,所以。+|3=30。+45。=75。.

11.【答案】1.5

AT)

【解析】Vsina=——,：.AD=AC•sina^2X0.771,5,故答案为：1.5.

12.答案】208

【解析】在ABD中，BD=AD@"NBAD=90x/a〃30°=30小，在ACD

中，CD=ADM〃NCAD=90xtm60°=90小，BC=BD+CD=305+90小

=120^208（米）.

13.【答案】1.4【解析】如解图，作ADLMN于点D,由题意得，AD=1

m,ZABD=8°,ZACD=10°,ZADC=ZADB=90°,.\BD=tanS=T1=7

7

AD128.

=・・=

m,CD~tanliOco=5v5*=5.6m,BC=BD-CD—75.61.4zn.

28

14.【答案】2

【解析】连接A3,利用勾股定理的逆定理证明△043是等腰直角三角形，得到

ZAOB=45°,再根据特殊角的三角函数求解.,.♦432=12+32=10,OB2=12+32

=10,OA2=22+42=20,：.AB2+OB2=OA2,，△043是等腰直角三角形，Z

也

AOB=45°,：.smZAOB=sm450=2-

15.【答案】=［解析］如图，在△ABC中，过点A作AGLBC,垂足为G在ADEF

中，过点F作FHLDE,交DE的延长线于点H,

H

AG=sinBAB=5sin40°.

VZDEF=140°,

，ZFEH=40°,

FH=sinZFEH-EF=5sin40°,

/.AG=FH.

又,.,BC=DE,.'.SAABC=SADEF.

16.【答案】【答案】石

三、解答题

17.【答案】

解:⑴,.•AD=2CD,AC=3,：.AD=2,

,在R3ABC中，NACB=90。,AC=BC=3,

：.ZA=ZB=45°,AB=y)AC2+BC2=

'：DE±AB,：.ZAED=9Q°,

/.AE=AD-cos45°=2x^=V2,

：.BE=AB-AE=3\l2-啦=2班，

即线段BE的长为2v2

(2)过点E作EHLBC,垂足为点H,如图所示.

\•在RSBEH中,

ZEHB=90°,/B=45。,

:.EH=BH=BEcos45。=2及xg=2,

'：BC=3,：.CH=1,

EH

在RtACHE中，tanNE*C3=而Url=2,

即NEC3的正切值为2.

18.【答案】

［解析］⑴连接0D,根据同圆半径相等及角平分线条件得到ND4C=NOD4,得

OD//AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角，证明/

AFE=90°,可得EF〃BC,因此/3=/4石R，再利用同弧所对圆周角相等可得N

B=ZADF,从而证明^ABD^AADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据NAER=

/B,利用三角函数，分别在RtADOB和RtAAFE中求出半径和AF,代入(2)

的结论中，求出AD,再利用两角对应相等，证明△OGDS^RGA,再利用对应

边成比例，求出DG：AG的值，即可求得DG的长.

解:⑴证明:连接。D,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

,.工。平分NA4C,

：.ZOAD=ZDAC,

：.ZDAC=ZODA,

：.OD//AC,

：.Z0DB=ZC=9Q°,：.OD±BC.

为。。的半径，.，田。是。。的切线.

⑵连接EF,DF.'.'AE为。。的直径，

ZAFE=90°,，/AFE=ZC=90°,

J.EF//BC,：.ZB=ZAEF.

"：ZADF=ZAEF,：.ZB=ZADF.

又ZOAD=ZDAC,：.△ABDsAADF,

ABADc।—

2

・••布二而,.\AD=AB-AF9.\AD=y]xy.

(3)设。O半径为r,

在RtADOB中，siaB=黑二[

Vj£51J

r5

•••r不十=inj，解得厂=5,.,.AE=10.

AF

在RtAAFE中，sinXAEF=sinB=A-U^,

...A,F=…10x—5=5—0,

.-.AD=Jis-H=nrr-

：ZODA=ZDAC,ZDGO=ZAGF,

/.△OGDsAFGA,

.DGOP13.DG13

**AG-AF_10,'*AD^DG-10,

DG=|y\/13.

19.【答案】

【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和

差关系.由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接CG,易得CG=AG,

再由四边形CEGF是矩形可得AG2=GE2+GF2；(2)给出NAGF=105。，可得出

ZAGB=60°,再由NABG=45。，可想到过点A作BG的垂线，交BG于点M,分

别在两个直角三角形中得出BM和MG的长，相加即可得出BG的长.

第21题第图

解：（1）AG2=GE2+GF2；（1分）

理由：连结CG,...ABCD是正方形，

.,.ZADG=ZCDG=45°,AD=CD,DG=DG,

/.△ADG^ACDG,（2分）

，AG=CG,

XVGEXDC,GF±BC,ZGFC=90°,

・•・四边形CEGF是矩形，（3分）

••.CF=GE,

在直角AGFC中，由勾股定理得，CG2=GF2+CF2,

.\AG2=GE2+GF2；