2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、如果那么下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.2、设中，且则此三角形是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3、函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A.（﹣2，﹣1）B.（﹣1，0）C.（0，1）D.（1，2）4、如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则•=（）A.B.C.RD.R5、（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（）A.B.C.2D.2（tan18°+tan27°）6、下列各个对应中，构成A→B映射的是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、①设a，b是两个非零向量，若|a+b|=|a-b|，则a·b=0②若③在△ABC中，若则△ABC是等腰三角形④在中，边长a,c分别为a=4,c=则只有一解。上面说法中正确的是．8、等腰顶角的余弦为则底角的正弦值为________.9、sin14°cos16°-cos166°sin16°的值是____．10、【题文】定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1,4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0,2013]上的零点个数是________．11、以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是____12、若幂函数y=的图象不过原点，则实数m的值为____13、函数f（x）=2sin2x+sin2x的最大值为______．14、在△ABC中，P为BC中点，若=m+n则m+n=______．15、在一次演讲比赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据xi（1≤i≤8），在如图所示的程序框图中，是这8个数据中的平均数，则输出的S2的值为______．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)16、已知AD是△ABC边BC的中线，用坐标法证明：|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|DC|2）endarray

．

17、计算（1）（2）18、【题文】已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起；

使得到三棱锥如图所示．

（1）当时，求证：

（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．19、已知0＜α＜sinα=．

（Ⅰ）求cosα的值；

（Ⅱ）求tan（α+）的值；

（Ⅲ）求的值．20、已知函数f(x)=Asin(娄脴x+娄脮)(A>0,娄脴>0,娄脮隆脢(0,娄脨2))

的图象在y

轴上的截距为1

在相邻两个最值点(x0鈭�32,2)

和(x0,鈭�2)

上(x0>0)

函数f(x)

分别取最大值和最小值．

(1)

求函数f(x)

的解析式；

(2)

若f(x)=k+12

在区间[0,32]

内有两个不同的零点；求k

的取值范围；

(3)

求函数f(x)

在区间[134,234]

上的对称轴方程．21、已知a鈫�b鈫�c鈫�

是同一平面内的三个向量，其中a鈫�=(1,2)b鈫�=(鈭�2,3)c鈫�=(鈭�2,m)

(1)

若a鈫�隆脥(b鈫�+c鈫�)

求m

的值；

(2)

若ka鈫�+b鈫�

与2a鈫�鈭�b鈫�

共线，求k

的值．评卷人得分四、证明题(共2题，共18分)22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．23、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、综合题(共1题，共5分)24、已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α2+β2=10．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设这个抛物线与y轴的交点为P；H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；

（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】试题分析：与的关系不确定；时，若则C错；考点：不等式基本性质的应用【解析】【答案】D2、A【分析】得又当时，(舍).当时，此三角形是等边三角形.应选A.【解析】【答案】A.3、C【分析】【解答】解:因为f（0）=﹣1＜0；f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上；

故选C．

【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．4、B【分析】【解答】解：由于AC为半径，C圆心，AB为弦，故在上的投影为||，∴•=||•||=×5×5=

故选：B．

【分析】根据AC为半径，C圆心，AB为弦，可得在上的投影为||，再根据•=||•||，计算求得结果．5、C【分析】【解答】解：（1+tan18°）（1+tan27°）=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°（1﹣tan18°tan27°）+tan18°tan27°=2；故选C．

【分析】要求的式子即1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°，再把tan18°+tan27°=tan45°（1﹣tan18°tan27°）代入，化简可得结果．6、D【分析】解：由映射的概念知；

对于A；A中的元素2在集合B中没有“对象”且A中的元素1在集合B中有2个对应元素，故A错误；

对于B；A中的元素2在集合B中没有“对象”，故B错误；

对于C；A中的元素1在集合B中有2个元素与之对应，故C错误；

对于D；集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，正确．

故选：D．

利用映射的概念：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应；对四个选项逐一判断即可得到答案．

本题考查映射的概念，理解“任意”与“唯一”是关键，属于基础题．【解析】【答案】D二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】试题分析：对于①中的式子，两边平方有：所以①正确；：对于②有：因此有所以②正确；对于③，根据余弦定理有所以或因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，故③不正确；对于④，如图：有所以④不正确.考点：数量积的运算，余弦定理，勾股定理，已知两边和其中一边的对角判断三角形解的个数.【解析】【答案】①②.8、略

【分析】试题分析：不妨设中则顶角为底角为这两个底角相等，依题意有即也就是即从而可得所以又因为所以考点：二倍解公式.【解析】【答案】9、略

【分析】

sin14°cos16°-cos166°sin16°=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin（14°+16°）=sin30°=

故答案为．

【解析】【答案】首先利用诱导公式得出cos166°=（180°-14°）=-cos14°；然后利用两角和与差的正弦公式得出所求的式子为sin（14°+16°）=sin30°，进而根据特殊角的三角函数值得出答案．

10、略

【分析】【解析】由f(x)＋f(x＋5)＝16，可知f(x－5)＋f(x)＝16，则f(x＋5)－f(x－5)＝0，所以f(x)是以10为周期的周期函数．在一个周期(－1,9]上，函数f(x)＝x2－2x在(－1，4]区间内有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x＝2，故f(x)在[0,2013]上的零点个数为3×201＋1＝604．【解析】【答案】60411、x﹣y﹣2=0【分析】【解答】解：直线AB的斜率kAB=﹣1；所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1）；

所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0；

故答案为x﹣y﹣2=0．

【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．12、m=1或m=2【分析】【解答】解：∵幂函数y=的图象不过原点；

∴

解得m=1或m=2．

故答案为：m=1或m=2．

【分析】由幂函数y=的图象不过原点，知由此能求出实数m的值．13、略

【分析】解：由三角函数公式化简可得f（x）=2sin2x+sin2x

=1-cos2x+sin2x=1+sin（2x-）；

∴当sin（2x-）=1时，原式取到最大值1+

故答案为：1+．

由三角函数公式化简可得f（x）=1+sin（2x-）；易得函数的最值．

本题考查三角函数的最值，化为一角一函数是解决问题的关键，属基础题．【解析】1+14、略

【分析】解：∵△ABC中；P为BC中点；

∴==（-）；

∴=+=+（-）=+

∴m=n=

∴m+n=1；

故答案为：1．

若△ABC中，P为BC中点，则==（-），再由=+可得m，n的值．

本题的知识点是向量在几何中的应用，向量加法和减法的三角形法则，难度中档．【解析】115、略

【分析】解：若去掉一个最高分和一个最低分后得到的8个数据为78；80，82，82，86，86，88，90；

则

．

故答案为15．

根据题意去掉一个最高分和一个最低分后得到的8个数据；把这八个数据写出来然后求其平均值，再根据方差公式求出其方差．

此题主要考查数据平均值和方差的求法，计算比较复杂，计算时要仔细．【解析】15三、解答题(共6题，共12分)16、略

【分析】

以D为坐标原点；BC所在直线为x轴建立如图坐标系。

设C（c，0），B（-c，0），A（a，b）

∴|AB|2=（a+c）2+b2，|AC|2=（a-c）2+b2

可得：|AB|2+|AC|2=[（a+c）2+b2]+[（a-c）2+b2]=2（a2+b2+c2）

∵|AD|2=a2+b2，|AC|2=c2．

∴2（|AD|2+|AC|2）=2（a2+b2+c2）

因此，|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|AC|2）；原命题得证。

【解析】【答案】以D为坐标原点、BC所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分别计算出|AB|2；

|AC|2、|AD|2和|DC|2关于a、b；c的式子；再进行比较即可证出原等式成立．

17、略

【分析】试题分析：（1）由对数的运算法则，利用将其化简有（2）由指数的运算法则，利用将其化简有试题解析：（1）原式6分（2）原式12分考点:1、有理数指数幂的运算性质；2、对数的运算性质.【解析】【答案】（1）（2）18、略

【分析】【解析】本试题主要是考察了立体几何中线面垂直的证明；以及二面角的求解的综合运用。

（1）利用折叠前后的不变量；得到线面垂直的证明。

（2）建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，利用向量与向量的夹角，求解二面角的平面角。【解析】【答案】（1）证明略。

（2）二面角的正切值为．19、略

【分析】

（Ⅰ）由α的范围及sinα的值；利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可；

（Ⅱ）由sinα与cosα的值；求出tanα的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简后，把tanα的值代入计算即可求出值；

（Ⅲ）原式利用诱导公式化简；把cosα的值代入计算即可求出值．

此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【解析】解：（I）∵0＜α＜sinα=

∴cosα==

（II）∵sinα=cosα=

∴tanα==

则原式===-7；

（III）∵cosα=

∴原式==-sinαcotα=-cosα=-．20、略

【分析】

(1)

由题意得f(0)=1f(x)

的最大值等于2

周期的一半等于32

列出方程组解出A娄脴娄脮

(2)x隆脢[0,32]?2娄脨3x+娄脨6隆脢[娄脨6,7娄脨6]?1鈮�k+12<2

即可求k

的取值范围；

(3)2娄脨3x+娄脨6=娄脨2+k娄脨,k隆脢Z?x=12+32k,k隆脢Z

即可求函数f(x)

在区间[134,234]

上的对称轴方程．

本题考查三角函数解析式的确定，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．【解析】解：(1)A=2,T2=x0鈭�(x0鈭�32)=32?T=3?娄脴=2娄脨3

隆脿f(x)=2sin(2娄脨3x+娄脮)

代入(0,1)

点；2sin娄脮=1

隆脽娄脮隆脢(0,娄脨2)隆脿娄脮=娄脨6隆脿f(x)=2sin(2娄脨3x+娄脨6)

(2)x隆脢[0,32]?2娄脨3x+娄脨6隆脢[娄脨6,7娄脨6]?1鈮�k+12<2?1鈮�k<3

(3)2娄脨3x+娄脨6=娄脨2+k娄脨,k隆脢Z?x=12+32k,k隆脢Z

?

函数f(x)

在区间[134,234]

上的对称轴方程为x=72x=5

．21、略

【分析】

(1)

利用向量垂直与数量积的关系即可得出；

(2)

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：(1)b鈫�+c鈫�=(鈭�4,3+m)(2

分)

a鈫�=(1,2)

隆脽a鈫�隆脥(b鈫�+c鈫�)

隆脿a鈫�鈰�(b鈫�+c鈫�)=鈭�4+2(3+m)=0(4

分)

解得m=鈭�1.(15

分)

(2)

由已知：ka鈫�+b鈫�=(k鈭�2,2k+3)2a鈫�鈭�b鈫�=(4,1)(6

分)

隆脽(ka鈫�+b鈫�)//(ka鈫�+b鈫�)

隆脿k鈭�2=4(2k+3)(9

分)

隆脿k=鈭�2.(10

分)

四、证明题(共2题，共18分)22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=23、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．五、综合题(共1题，共5分)24、略

【分析】【分析】（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+；根据根与系数的关系求出c=1-3a，得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）求出P、B、C的坐标，BC=4，根据sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t；过H作HG⊥PC于G，根据三角形的面积公式即可求出答案；

（3）根据S=-（t-2）2+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到点K的坐标，设所求直线的解析式为y=kx+b，代入得到方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）由y=ax2-2ax+c-1=a（