2021-2022学年人教版高中数学必修第一册 一元二次不等式的综合应用（学案）含答案及解析

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

第2课时一元二次不等式的综合应用

【学习目标】

课程标准学科素养

1.会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式；1、数学抽象

2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法（重、难点）；2、数学运算

3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加

2、数学建模

以解决（难点）。

【自主学习】

一.分式不等式的解法

若iX）与g（x）是关于X的多项式，则不等式阴＞0（或＜0,或三0,或W0）称为分式不等式.

8\x）

解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.

1用＞0台；

2.七<0台

Hx)g(x)N0,

3?0台<

、g(x)W0

©vc㈡,x)g(x)W。，

4g(x)[g(x)W0

二.一元二次不等式恒成立问题

1.不等式对任意实数X恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ar+foc+oo,

a>0,

它的解集为R的条件为＜

J=b2—4ac<0；

a>0,

一元二次不等式aj^+bx+c＞Q,它的解集为R的条件为,

J=b2~4ac<0；

。<0,

一元二次不等式a^+bx+oO的解集为。的条件为

J<0.

2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：伫/⑴恒成立⑴max；仁/⑴恒成立

今仁/(x)min.

【经典例题】

题型一简单的分式不等式求解

例1解下列不等式：

2x~12~x

⑴它出⑵k

【跟踪训练】1解下列不等式:

1---V1----1

⑴日°；⑵mL

题型二一元二次不等式恒成立的问题

例2设函数於)=根%2一必一1.

(1)若对于一切实数%,火光)<0恒成立，求机的取值范围；

(2)对于工£[1,3],«x)V—m+5恒成立，求机的取值范围.

【跟踪训练】2二次不等式加+2x—1V0的解集为R,则。的取值范围是

题型三一元二次不等式的实际应用

点拨：一元二次不等式解决实际应用问题的步骤

⑴理解题意，搞清量与量之间的关系.

⑵建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式（组）问题.

⑶解这个一元二次不等式（组），得到实际问题的解.

例3在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，

但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知

甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01f,S乙

=0.05%+0.005/.问超速行驶谁应负主要责任.

【跟踪训练】3某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元（又称征

税率为10个百分点），计划可收购。万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征

税率降低x（x>0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.

⑴写出降税后税收y（万元）与x的函数关系式；

⑵要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.

【当堂达标】

L不等式日马0的解集为（）

JL人

A.{x\~Kx<l}B.{x|—1<X<1}C.{x|—1<A^1}D.{x|—1<X<1}

2.（多选题）若“不等式％2—2x+5*2—3〃对任意实数元恒成立，，为假命题，则实数。可能的取值

为（）

A.{a\—\<a<A}B.{a|—l<a<4}C.{a\a<~\}D.{a|a>4}

3.若产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2（0<x<240）,

若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）

A.100台B.120台C.150台D.180台

4.若不等式%2-4x+3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是.

5.若关于x的不等式加+2x+2>0在R上恒成立，实数a的取值范围为..

6.已知当2M3时，不等式2x2~9x+a<Q恒成立.求a的取值范围.

【课堂小结】

1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要

注意分母不为零.

2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.分离参数时，经常栗用到下述简单

结论：（l）a>y恒成立=o>ymax；（2）a<y恒成立=a<ymin.

3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知

量为x,用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.

【参考答案】

【自主学习】

Xx)g(x)>0J(x)g(x)<0

【经典例题】

1

烂一)

\2x-l)(3x+l)>0,

例1解(1)原不等式可化为

1

g1或鸟1原不等式的解集为［x<T

3—2'

RE-3)>0,

⑵原不等式可化为二

x+3

,,p父—2x—12x+l

化间向即丁，

FF%十37<°

解得一一去；:.原不等式的解集为—3<x<一3

/.(2x+l)(x+3)<0,3<x<

【跟踪训练】1解

5,

-铲烂1,

Y—1’(x—1)(3x+5)<0,

⑴原不等式可化为反不成，•‘AS

、3%+5R0,

存一？

即一5呆烂1.故原不等式的解集为卜|-|<x<l}.

3

h八、r%—1X—1—(x+2)品>0,贝■<-2.

(2)原不等式可化为工^一1>0,・\------------------->0,

故原不等式的解集为{x|x<—2}.

例2解(1)若m=0,显然一1<0恒成立;

加V0,

若加钝,贝米1/=/+痴<0,-4<加<0・的取值范围为(―4,0],

(2)要使y(x)<一m+5恒成立，就要使“X，11+%?-6<0,x©[l,3].

(1123

令<?(%)=机口-/+^m—6,[I,3].

当加>0时，g(x)在［1,3］上是增函数,

**•g(x)max=^(3)=7m—6.7m—6<0,解得m<^..*.0<m<y.

当机=0时，一6<0恒成立.

当加<0时,g(x)在[1,3]上是减函数.

*>*4g(x)max=4g(l)=m—6<0,解得m<6,.\m<0.

综上所述，机的取值范围为(一如y)

a<0,fa<0,

【跟踪训练】2(-co,—1)解析\=^1-

Lzl<0[4+4a<0

例3解由题意列出不等式S甲=0.晨+0.0行2>12,

S乙=0.05》+0.005/>10.

分别求解，得x<—40或x>30.x<—50或x>40.

由于x>0,从而得x甲>30km/h,x乙>40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.

【跟踪训练】3解(1)降低税率后的税率为(10—x)%,农产品的收购量为a(l+2x%)万担，收

购总金额为200a(1+2x%)万元.依题意得y=200a(l+2x%)(10—x)%

=^o(100+2x)(10—x)(0<x<10).

(2)原计划税收为200axi0%=20a(万元).

依题意得=a(100+2x)(10—x)N20ax83.2%,化简得1+40X-84或，解得一42S左2.

又因为0<x<10,所以0<烂2.即x的取值范围为(0,2].

【当堂达标】

f(x+1)(x—1)<0,

1.B解析：原不等式01A-l<x<l.

%~1^0,

2.CD解析：若命题为真命题，由于％2—2%+5=(%—1>+4的最小值为4,所以2元+52〃2

2

~3a对任意实数x恒成立，只需a—3a<49解得一1二七4.所以题中a可以取的范围为{Q|Q<—

1}U{a\a>4}.

3.C解析：)/-25X=-