高等数学07讲课教案

*四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,例7.

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm2)费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则费马证毕注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在

I上必为常数.证:在I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.令则例.

证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:例.

证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西构造辅助函数例.设至少存在一点使证:问题转化为证设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明一、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)推论1.定理1中换为下列过程之一:推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则定理1例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!洛洛例2.求解:原式洛二、型未定式存在(或为∞)定理2.(洛必达法则)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.定理2例3.

求解:原式例4.求解:

n为正整数的情形.原式洛洛洛3)若例如,极限不存在不能用洛必达法则!即注：（1）罗必塔法则只适用于和型；（2）存在，且；（3）是对分子分母分别求导，而不是对整个分式求导；（4）当不存在时，不能用罗必塔法则。课堂练习：求极限（1）（2）（3）三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例.求解:原式洛解:原式例.求通分转化取倒数转化取对数转化洛例.求解:

例5通分转化取倒数转化取对数转化例.求解:注意到原式洛极限求法——1.利用极限的运算法则和函数的连续性；2.利用恒等变形后计算；6.利用罗必塔法则。5.利用等价无穷小；3.利用两个重要极限；4.利用无穷小的性质；麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰)

泰勒(Taylor,B.1685-1731,英国)

一、泰勒公式问题的提出根据函数的微分,有

f(x)=f(x0)+f

(x0)(x-x0)+o(x-x0)(当|x-x0|很小时),

略掉o(x-x0),得到求f(x)的近似公式

f(x)

f(x0)+f

(x0)(x-x0)(当|x-x0|很小时),

其误差为

R(x)=f(x)-f(x0)-f

(x0)(x-x0).

近似公式的不足:精确度不高,误差难于估计.

下页公式①称为的n

阶泰勒公式.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当泰勒公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式其中麦克劳林公式麦克劳林公式类似可得其中其中麦克劳林公式已知其中因此可得麦克劳林公式三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.例1.

计算无理数e的近似值,使误差不超过解:已知令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为2.利用泰勒公式求极限例.求一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕确定函数单调区间的步骤：1.确定函数的定义域；2.求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点（按从小到大的顺序排列）；3.以这些点为端点，把定义域划分为若干个互不重叠的小区间，在这些小区间上，利用一阶导数的符号，进行判断。例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例2.

证明时,成立不等式证明定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.一、函数的极值及其求法注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数定理1

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)点击图中任意处动画播放\暂停求极值的方法2.求出一阶导数等于零或不存在的点；3.用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；4.求出极大值点和极小值点的函数值，即得函数的极大值和极小值。1.确定函数y=f(x)的定义域；例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理（第二充分条件）设函数f(x)在点x0具有二阶导数，且f

(x0)=0，那么：(1)若f(x0)<0，函数f(x)在x0处取得极大值f(x0)；(2)若f(x0)>0，函数f(x)在x0处取得极小值f(x0)；(3)若f(x0)=0，则不能判定f(x0)是否为极值。定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.拐点定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数例.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,对应例.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸例.求曲线的拐点.例3.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,注：拐点是曲线上f(x)的点，故拐点的正确记法应为(x0,f(x0))，而不能说x=x0是拐点，也不能说f(x0)为拐点。求出函数f(x)在[a,b]上的所有极值点的函数值，以及端点的函数值f(a)和f(b)，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。求最值的方法实际问题中，若可导函数在某一区间有唯一的驻点，则该点就是最值点。是最大值还是最小值要看实际问题是求最大值还是求最小值。(k为某常数)例铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工

20解:设则令得又所以为唯一的极小值点,故AD=15km时运费最省.总运费厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?Km,公路,价之比为3:5,