2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）第十二章 二次根式（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第十二章二次根式（知识归纳+题型突破）了解二次根式的概念，最简二次根式的概念理解二次根式的性质，了解二次根式的加减乘除法则，会进行简单的四则运算1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质①（）2=a（a≥0）；②=│a│=；③=·（a≥0，b≥0）；④（b≥0，a>0）．5．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．题型一二次根式有意义的条件【例1】函数自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．且【例2】若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3】函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．巩固训练1．若代数式有意义，则x的取值范围．2．试写出一个x值使得二次根式有意义：．3．函数的自变量x的取值范围是．4．函数中，自变量x的取值范围是．题型二简单二次根式的求值【例4】当时，二次根式的值是．【例5】当时，二次根式的值为．【例6】当时，二次根式的值是．巩固训练5．当时，二次根式的值为（

）A． B．2 C． D．题型三求二次根式中的参数【例7】已知是整数，则自然数m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【例8】若是一个整数，则正整数m的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4巩固训练6．若实数m满足，则m的取值范围是．7．计算：如果，那么；．8．若是整数，则正整数的最小值是．题型四二次根式的性质化简【例9】下列选项中，化简正确的是（

）A． B． C． D．【例10】计算：（）A． B． C．8 D．【例11】化简：的结果是（）A． B． C． D．巩固训练9．（

）A．2 B． C．4 D．10．计算：．11．已知那么．12．已知，化简：．13．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：．题型五最简二次根式的判断【例12】下列根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【例13】下列二次根式中，是最简二次根式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个巩固训练14．下列式子中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．15．下列式子中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．16．化为最简二次根式的结果为（）A． B． C． D．17．下列式子是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．题型六最简二次根式化简【例14】下列各式化成最简二次根式正确的是（

）A． B． C． D．巩固训练18．计算：19．化简：．题型七二次根式乘法【例15】计算：【例16】计算：(1)(2)巩固训练20．计算：．21．计算的结果是．22．计算：．23．计算：．题型八二次根式除法【例17】．【例18】计算：．巩固训练24．计算：÷=25．计算：．题型九二次根式乘除法混合【例19】计算：(1)(2)【例20】计算：【例21】计算：．巩固训练26．计算：(1)；(2)．27．计算：(1)；(2)．题型十同类二次根式【例22】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么．【例23】若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是．巩固训练28．下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（

）A． B． C． D．29．下列各式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．30．下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和题型十一二次根式的加减运算【例24】化简的结果是（

）A． B．3 C．3 D．【例25】若a，b为有理数，且，则．【例26】计算：．巩固训练31．计算：．32．计算：．33．计算：．题型十二比较二次根式大小【例27】比较大小：（填“”，“”或“”）【例28】比较大小：2；．【例29】比较大小：．（用、或连接）巩固训练34．比较大小：（填写“”，“”或“”）．35．比较大小：（填“>”或“<”或“=”）．36．比较大小（用，，号填写）．37．比较大小：．题型十三分母有理化【例30】分母有理化：．【例31】的有理化因式是．【例32】计算＝．巩固训练38