2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）第十二章 二次根式（单元重点综合测试）（解析版）

第十二章二次根式（单元重点综合测试）单选题（共8题，每题3分，共24分）1．在函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负求解即可．【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，解得：，故选：D．2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查最简二次根式，掌握二次根式的性质，理解最简二次根式的定义是正确解答的前提．根据二次根式的性质将二次根式进行化简，再根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】解：是最简二次根式，因此选项A符合题意；，因此选项B不符合题意；，因此选项C不符合题意；，因此选项D不符合题意；故选：3．下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式计算．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案．【详解】解：，故A选项正确；，故B选项正确；，故C选项正确；无法计算，故D选项不正确，故选：D．4．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式的计算，根据二次根式的性质可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据二次根式的除法可判断选项C；根据二次根式的乘法可判断选项D．熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．5．若，则的结果是（）A．a B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，有理数的大小比较以及绝对值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先化简二次根式，再利用得到即可得到答案．【详解】解：，．故选：A．6．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：A．∵，∴以为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵，∴以为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵，∴以为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；D．∵，∴以为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．7．一组数据按一定规律排列：，，，，，，则这组数据的第项是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查数式规律问题及二次根式的性质化简，根据题干中数据总结规律，得出第个数据为即可．【详解】解：第个数据为，第个数据为，第个数据为，则第个数据为，故选：C．8．已知，下列各式为负值的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了分母有理数、二次根式的混合运算等知识点，掌握分母有理化的方法成为解题关键．先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可．【详解】解：∵．∴A.,不符合题意；B.，不符合题意；C.，符合题意；D.，不符合题意．故选C．填空题（每题3分，共10题，一共30分）9．与最简二次根式是可以合并的二次根式，则．【答案】2【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．【详解】解：由题意可得与最简二次根式是同类二次根式，且，∴，解得：．故答案为2．10．已知，则的平方根等于．【答案】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及求平方根，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式，根据平方根的定义解答即可．【详解】解：由题意得，且，解得，，则，，36的平方根是，所以的平方根是．故答案为：11．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为．【答案】【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．由数轴得出且，据此知，根据绝对值性质和二次根式的性质：化简即可．【详解】解：由数轴可得且，，故答案为：．12．已知：，则代数式的值为．【答案】12【分析】由，易得，然后变形代数式，再把整体代入计算即可【详解】解：，，．故答案为：1213．已知，，则的值是【答案】2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．把x、y的值代入，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：∵，，∴．故答案为：2．14．已知，则值为．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、解一元一次方程、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．根据二次根式非负数的性质确定的值，进而可得的值，然后代入求解即可．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，，∴，解得，∴，∴．故答案为：．15．计算的结果是.【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减法则．根据二次根式的加减法则计算即可．【详解】解：，原式，，故答案为：．16．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算：．【答案】【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用题中新定义的运算公式代值求解，进而得出答案，正确理解题中新定义运算公式是解题关键．【详解】解：，故答案为：．17．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为．【答案】【分析】本题考查代数式求值，二次根式的应用．正确计算是解题关键．理解题意，掌握海伦公式和秦九韶公式是解题关键．【详解】解：利用海伦公式求解：，，，，∴，；利用秦九韶公式：．18．设是的小数部分，为的小数部分，则的值为．【答案】【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值及二次根式的运算；令t＝，则可求得t的值，进而求得a；同理，令p＝，则可求得p的值，进而求得b，最后即可求得代数式的值．【详解】解：令t=，则，∴，∴，；令p=，则，∴，∴，，∴．故答案为：．三、解答题（一共9题，共86分）19．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，实数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．（2）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，再根据实数的混合运算计算即可．【详解】（1）解：．（2）解：．20．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；（2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案；【详解】（1）解：；（2）解：．21．先化简再求值：，其中．【答案】，．【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当时，原式．22．阅读下列解题过程例：若代数式的值是2，求a的取值范围解：原式，当时，原式，解得（舍去）；当时，原式，符合条件；当时，原式，解得（舍去）．的取值范围是．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：(1)当时，化简：__________．(2)若，求a的取值范围．【答案】(1)2(2)或【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，（1）根据二次格式的性质即可得；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得；掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．【详解】（1）解：原式，当时，原式，故答案为：4．（2）解：，当时，原式，，符合条件；当时，原式，（舍去）；当时，原式，，符合条件，∴a的取值范围是或．23．已知：，，分别求下列代数式的值：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：（1）先求出，，再由进行计算求解即可；（2）先求出，，再由进行计算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：∵，∴，，∴24．已知：(1)____________，____________；(2)求的值；(3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．【答案】(1)(2)121(3)【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键．（1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可；（2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可；（3）求出的值，再求出代数式的值即可．【详解】（1）解：∵，∴，；故答案为：；（2）∵，，∴；（3）∵，∴，∴，∴，，∵m为a整数部分，n为b小数部分，∴，∴．25．任务一：阅读材料在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．像这样，把代数式中分母化为有理数的过程叫做分母有理化．任务二：解决问题将下列式子进行分母有理化：；．【答案】；．【分析】分子分母都乘以，然后根据二次根式的性质计算即可求解；分子分母都乘以，然后根据二次根式的性质计算即可求解；本题考查了分母有理化，掌握平方差公式和二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：；．26．观察下列等式：①；②；③；…．回答下列问题：(1)仿照上列等式，写出第n个等式：________；(2)利用你观察到的规律，化简：________；(3)直接比较大小：________(4)计算：．【答案】(1)(2)(3)(4)9【分析】此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键．（1）仿照以上等式，写出第n个等式即可；（2）利用得出的规律化简原式即可；（3）原式利用得出的规律得：，，比较，即可得到结果；（4）利用得出的规律化简原式，计算即可．【详解】（1）解：由题意得：第n个等式为：；（2）解：原式，故答案为：；（3）解：由题意得：，，，，，故答案为：；（4）解：原式，．27．问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将图①中的的面积直接填写在横线上．(2)根据以上的内容，在图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出三边长分别为、、的三角形．(3)思维拓展：我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，它的面积为．(4)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积为．【答案】(1)(