经济数学课件：最优配置与最佳效果分析

最优配置与最佳效果分析名言拉普拉斯在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.故事在美国的一个乡村，一个老农与儿子相依为命。一天，一个人找到了老农说：“我想把你的小儿子带到城里去工作。”老农气愤地说：“不行，绝对不行，你滚出去吧！”这个人说：“如果我在城里给你的儿子找个对象，可以吗？”老农摇摇头：“不行，快滚出去吧！”这个人又说：“如果我给你儿子找的对象，也就是你未来的儿媳妇是洛克菲勒的女儿呢？”老农想了又想，最终同意了。过了几天，这个人找到了美国首富、石油大王洛克菲勒说：“我想给你的女儿找个对象。”洛克菲勒说：“快滚出去吧！”这个人又说：“如果我给你女儿找的对象，也就是你未来的女婿，他是世界银行的副总裁，可以吗？”洛克菲勒想了想，就同意了。又过了几天，这个人找到了世界银行总裁说：“你应该马上任命一个副总裁！”总裁先生摇头头说：“不可能，这里这么多副总裁，我为什么还要任命一个副总裁呢，而且必须马上？”这个人说：“如果你任命的这个副总裁是洛克菲勒的女婿，可以吗？”总裁先生想了想，就同意了。当然，这只是一个虚构的小故事，却告诉了我们一个道理，只有合理配置资源才能创造最大的价值。目录安排生产问题及解决方案1.使用EXCEL求解线性规划问题2.最优配置问题典型案例3.进一步学习的数学知识：单纯形法4.

引例：美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成分可以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等。由于战争条件的限制，食品种类有限，又要尽量降低成本，于是在一盒套餐中，如何决定各种食品的数量，使得既能满足营养成分的需求，又可以降低成本？一、问题引入第一节安排生产问题及解决方案

在本例中要利用有限的资源，去使得一份套餐既能满足营养要求又可以降低成本。用数学语言来说，就是在一定的约束条件下，求线性函数的最大和最小值问题。更加广义的来看待配餐问题，我们知道，现代的企业管理问题千变万化，企业内部的生产计划有各种不同的情况。从空间层次看，在工厂要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制定产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制定生产批量计划。而这类问题都可以通过建立相应的线性规划模型来解决。【问题分析】第一节安排生产问题及解决方案

某企业生产甲、乙两种产品，要用3种不同的原料A、B、C．从工艺资料可知：每生产1吨甲产品，需耗用3种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用3种原料分别为1，2，1单位．每天原料供应的能力分别为6，8，3单位．又知道每生产1吨甲产品，企业的利润收入为300元，每生产1吨乙产品，企业利润收入为400元．那么该企业应该如何安排生产计划，使一天的总利润最大呢？二、典型问题解决方案【问题1】第一节安排生产问题及解决方案

设企业每天生产甲产品为吨，生产乙产品为吨，称，为决策变量，他们不能任意取值，要受到可供利用的原料资源数量的限制．又因为产品的产量一般是一个非负数，所以有，，称为非负约束．【解决方案】第一节安排生产问题及解决方案对于原料

我们有如下的不等式：

上面得到的3种原料的线性不等式是决策变量，取值所必须满足的条件，它们约束了决策变量，不能取任意值，称它们为约束条件．由于生产1吨甲产品企业的利润收入为300元，生产1吨乙产品企业的利润收入为400

元．于是甲乙两种产品的总利润为它是决策变量的线性函数，并称此函数为目标函数.

综上所述，得到描述原问题的数学模型如下：第一节安排生产问题及解决方案同时，我们可看出（1）式是由三部分组成的：①一组决策变量；②一个线性目标函数；③一组线性约束方程．我们把满足上述三个条件的最优化问题称为线性规划问题，条件①、②、③称为线性规划问题的三要素．第一节安排生产问题及解决方案

在线性规划问题中，满足约束条件的解称为可行解，所有可行解的集合称为可行集；使目标函数取值最大或最小的可行解称为最优解，对应于最优解的目标函数值称为最优值．第一节安排生产问题及解决方案案例1

求解线性规划问题第二节使用Excel求解线性规划问题一、典型案例二、解决方案

Excel具有强大的规划求解功能，可以解决最多有200个变量，100个外在约束和400个简单约束（决策变量整数约束的上下边界）的线性规划与非线性规划问题．因此，可通过Excel的规划求解功能实现问题的求解。第二节使用Excel求解线性规划问题第一步：启动Excel，在工作表中的A1，A2，A3，A10，E3，F3单元格中分别输入文字“目标函数系数”，“决策变量”，“约束条件”，“目标函数值”，“约束条件左端的值”，“约束条件右端的值”；在B1，C1，D1单元格中输入目标函数的系数1，-2，1，在B4，C4，D4单元格中输入第一个约束条件的系数1，1，1；同理，在相应单元格中输入其他约束条件的系数与约束条件右端的值，如下图9-1所示：

三、Excel演算步骤第二节使用Excel求解线性规划问题第二步：计算约束条件左端的值和目标函数值．因为约束条件左端的值等于约束条件的系数乘以相应的决策变量，所以在E4单元格中输入公式“=B4*B2+C4*C2+D4*D2”，在E5单元格中输入公式“=B5*B2+C5*C2+D5*D2”，依次类推在E9单元格中输入公式“=B9*B2+C9*C2+D9*D2”；目标函数的值等于目标函数系数乘以决策变量，从而在D10单元格中输入公式“=B1*B2+C1*C2+D1*D2”，如图9-2所示．三、Excel演算步骤第二节使用Excel求解线性规划问题第三步：单击【工具】菜单中的【规划求解】命令，在弹出的规划求解对话框中输入各项参数．（1）设置目标单元格和可变单元格

在“规划求解参数”对话框中选中“最大值”前的单选按钮，设置目标单元格为“$D$10”，可变单元格为“$B$2:$D$2”，如图9-3所示．三、Excel演算步骤第二节使用Excel求解线性规划问题（2）添加约束条件单击【规划求解参数】对话框中的【添加】按钮，打开【添加约束】对话框，单击单元格引用位置文本框，然后选定工作表中的E4单元格，则在文本框中显示“$E$4”，选择“<=”约束条件；单击约束值文本框，然后选定工作表中的F4单元格，如图9-4所示．三、Excel演算步骤第二节使用Excel求解线性规划问题第四步：在【规划求解参数】对话框中单击【求解】按钮，弹出图9-5所示的【规划求解结果】对话框，选中【保存规划求解结果】单选按钮．三、Excel演算步骤第二节使用Excel求解线性规划问题

第五步：在【规划求解结果】对话框中，单击【确定】按钮，工作表中就显示出规划求解的结果，如图9-6所示．三、Excel演算步骤

从上图可以很容易看出，当变量时，目标函数的最大值为．第二节使用Excel求解线性规划问题

某机械厂需要长80厘米的钢管800根，长60厘米的钢管300根，这两种长度不同的钢管由长200厘米的钢管截得．工厂该如何下料，使得用料最省?第三节最优配置问题典型案例案例1钢管下料问题对于下料问题，首先必须从问题中找到可能的下料方式．本问题是要用长200厘米的钢管截得长80厘米与60厘米两种型号的钢管，下料方式一共有三种：第一种下料方式是一根长200厘米的钢管截得长80厘米的钢管两根；第二种下料方式是一根长200厘米的钢管截得长80厘米的钢管一根与长60厘米的钢管两根；第三种下料方式是一根长200厘米的钢管截得长60厘米的钢管三根．知道了下料方式以后，我们分情况讨论即可得到下料问题的数学规划模型。【问题分析】

决策变量：设三种下料方式用掉长200厘米的钢管分别为,,根．【模型建立】目标函数：用掉的长200厘米的钢管数量最少，即约束条件：对于所需长80厘米的钢管：第一种下料方式截得根，第二种下料方式截得根，共截得根，它不能少于所需数量

800根，即第三节最优配置问题典型案例对于所需长60厘米的钢管：第二种下料方式截得第三种下料方式截得根，共截得根，根，它不能少于所需数量200根，即非负约束：又考虑到都是根数，因而它们取值只能是正整数或零，表示为：第三节最优配置问题典型案例综上所述，得钢管下料问题的数学规划模型为：第三节最优配置问题典型案例【模型求解】第一步：在Excel工作表中建立线性规划模型，并计算约束条件左端的值和目标函数值，如图9-8所示：第二步：单击【工具】菜单下的【规划求解】选项，在弹出的规划求解对话框中输入各项参数．（1）设置目标单元格和可变单元格第三节最优配置问题典型案例【模型求解】

（2）添加约束条件考虑到，，都是根数，因而它们的取值只能是正整数或零，所以添加约束条件时需添加可变单元格等于整数．单击单元格引用位置，然后选中B2单元格，在单元格引用位置会出现“$B$2”，约束条件选择“int”，如图9-10．依次方法添加决策变量，的整数约束条件．第三节最优配置问题典型案例【模型求解】第三步：单击【求解】按钮，弹出【规划求解结果】对话框，同时结果显示在工作表中，如图9-11所示．即用350根长200厘米的钢管用于第一种方式的下料，用100根200厘米的钢管用于第二种方式的下料，总共需要用到的钢管数量为450根．第三节最优配置问题典型案例

某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由三个水库供应，四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能供应50，60，50千吨自来水．由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所付出的引水管理费不同.其他管理费都是450元/千吨．根据公司规定，各区用户按照统一标准900元/千吨收费．此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨．该公司如何分配供水量，才能获利最多？案例2自来水运送问题(运输问题)第三节最优配置问题典型案例引水管理费（元/千吨）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230【模型建立】

决策变量：

假设三个水库

分别向甲、乙、丙、丁四区的供水量为.由于水库与丁之间没有输水管道，即，此只有11个决策变量．

第三节最优配置问题典型案例目标函数：问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有第三节最优配置问题典型案例约束条件：约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制．由于供应量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为：考虑到各区的基本生活用水与额外用水量，需求量限制可以表示为：第三节最优配置问题典型案例综上所述，得自来水运送问题的数学规划模型为：第三节最优配置问题典型案例【模型求解】第一步：在Excel工作表中建立线性规划模型，并计算约束条件左端的值和目标函数值．本例中决策变量有12个，在Excel工作表中B2至M2单元格，分别表示决策变量（束条件左端的值和目标函数的值，如图9-12所示．)，然后输入各个约束条件（包括非负条件）的系数，同时计算约第三节最优配置问题典型案例【模型求解】第二步：在弹出的【规划求解参数】对话框中输入参数．单击【求解】按钮，得到图9-13所示结果．因此，最佳送水方案为：

水库向乙区供应50千吨，

水库向乙、丁区分别供应50，10千吨，

水库向甲、丙区分别供应40，10千吨．第三节最优配置问题典型案例第四节进一步学习的数学知识：单纯形法一、线性规划问题的标准型

线性规划问题的标准型主要是针对线性规划问题的约束条件而言的，具体表现形式为：其中皆非负．

一、线性规划问题的标准型

在解决实际问题时，根据实际问题建立的模型常常不是标准型，那么如何把一个线性规划问题转化为标准型呢？(1)若求目标函数

的最小值，则引进新的目标函数

(2)若约束条件中含有线性不等式约束，则需要引进新的非负变量，把线性不等式约束化为线性等式约束，这样引进的新非负变量称为松弛变量．(a)当约束条件是时，在不等式左端加上松弛变量，将不等式约束化为等式约束．(b)当约束条件是时，在不等式左端加上松弛变量，将不等式约束化为等式约束．第四节进一步学习的数学知识：单纯形法一、线性规划问题的标准型

(3)若约束条件中线性等式约束的常数项为负值，则将该约束条件两端同时乘以，使得常数项为正值．(4)若对某一变量无约束，可令作变量替换,使得对全部变量皆有非负限制．第四节进一步学习的数学知识：单纯形法二、单纯形法的原理与步骤例

运用单纯形法求解线性规划问题第四节进一步学习的数学知识：单纯形法第一步：引进松弛变量，将所给线性规划问题化为标准型：第二步：用非基变量表示基变量和目标函数，求出一个基本可行解．由（2）可知：

，令各非基变量等于0,即，得到基变量

，它