经济数学-概率论与数理统计课件：大数定律和中心极限定理

大数定律和中心极限定理第一节大数定律一、切比雪夫不等式----切比雪夫不等式

定理1设随机变量的期望

，方差

存在，则对于任意例1设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率都是0.7，假定开、关相互独立，用中心极限定理估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率．

设表示夜晚同时开着的灯数，则解：利用切比雪夫不等式估计注：（1）切比雪夫不等式适用范围广；（2）该不等式只对概率给了大概的估计范围，精度不高，故只要用于理论研究和证明。二、大数定律定义1设是一随机变量序列，如果存在某随机变量，使得对任意，有则称随机变量序列依概率收敛于随机变量，记为.在充分大时，则称随机变量序列满足大数定律。定义2设随机变量序列的数学期望都存在，且满足若令,则*式可表示为：定理2（切比雪夫大数定律）则随机变量序列满足大数定律。设为独立的随机变量序列，若存在常数，使得定理3（伯努利大数定律）设为次重复独立试验中事件发生的次数，为每次试验中发生的概率，则对于任意的，有定理4（辛钦大数定律）设为独立同分布的随机变量序列，且,则随机变量序列满足大数定律。第二节中心极限定理正态分布是贯穿概率论始终的一种最重要的分布，为什么如此重要？

正态分布最常见，现实生活中很多的

随机变量都是服从或近似服从正态分布的。定理1（林德伯格-列维中心极限定理）一、独立同分布的中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差：，则随机变量之和的标准化变量的分布函数对任意实数，有定理1表明：

独立同分布的随机变量的和的标准化变量，在充分大时，近似服从标准正态分布，即：故从而，解：

表示第页的错误数，例1已知一本书有500页，每一页的印刷错误个数服从泊松分布,各页有没有错误相互独立，求这本书的错误个数不少于90个的概率.设表示这本书的错误总数，因独立同分布,500充分大，故解：

表示第次命中目标的炸弹数例2对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，期望为2，方差为1.69，求100次轰炸中有180到200颗炸弹命中目标的概率.设表示命中目标的炸弹总数，因独立同分布,100充分大，故定理2（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设随机变量服从参数为的二项分布，即，则随机变量的标准化变量的分布函数对任意实数，有定理2表明：

若随机变量，则其标准化变量，在充分大时，近似服从标准正态分布，即：故例3设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率都是0.7，假定开、关相互独立，用中心极限定理估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率．

设表示夜晚同时开着的灯数，则解：10000充分大，例4在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付12元保险费．在一年内这些人死亡的概率都为0.006，死亡后家属可向保险公司领取1000元，试求：（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；（2）保险公司亏本的概率。设表示一万人中一年的死亡人数，则解：10000充分大，保险公司一年的利润为：例4在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付12元保险费．在一年内这些人死亡的概率都为0.006，死亡后家属可向保险公司领取