数列满分通关23讲（学生版）

数列满分通关23讲专题01数列的概念及性质 3考点一由数列前几项求数列通项公式 3考点二数列的周期性 5考点三数列的单调性 7专题02数列中的最值问题 9考点一数列的最大(小)项 9考点二等差数列中与前n项和Sn相关的最值 11考点三等比数列中的最值 14专题03 用an与Sn的关系求通项公式 16考点一由Sn＝f(n)求an型 16考点二由a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an型 17考点三由f(an，Sn)＝0消去Sn型 18考点四由f(an，Sn)＝0消去an型 20专题04用累加法与累乘法求通项公式 21考点一由an＋1－an＝f(n)求an型 21考点二由an＋1＝f(n)求an型 23an专题5用构造辅助数列通项公式 25考点一由an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)求an型 25考点二由an＋1＝pan＋f(n)求an型 25考点三由an＋2＝pan＋1＋qan求an型 26考点四由an＋1＝ Aan求an型 26Ban＋C考点五由其他形式的递推公式求an型 27专题06等差数列基本量的计算 29专题07等差数列的性质及应用 35考点一性质(1)的应用 35考点二性质(2)的应用 35考点三性质(6)的应用 38考点四性质(7)的应用 38考点五性质(10)的应用 39考点六其他性质的应用 40专题08等差数列的判定与证明 41专题09等比数列基本量的计算 48专题10等比数列的性质及应用 54考点一性质(2)的应用 54考点二性质(7)的应用 56考点三其他性质的应用 56专题11等比数列的判定与证明 58专题12等差、等比数列的综合应用 67考点一选填题 67考点二解答题 70专题13裂项相消法求和 80考点一选填题 818311．an＝型83n(n＋k)12．an＝型86(n＋k)(n＋k＋1)13．an＝型87(2n－1)(2n＋1)14．an＝型89(2n＋1)(2n＋3)5．an＝2n＋1型90n2n＋121＋1n型6．an＝loga917．an＝2n型912n＋12n＋1＋1n＋2k·2k＋18．an＝或型93(n2＋n)2n＋1k＋1k＋2专题14错位相减法求和95专题15分组转化法求和1051051061.等差(等比)＋等比(等差)模型1062．裂项＋等比模型1123．错位＋等差(裂项)模型113专题16数列的奇偶项讨论问题115考点一an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)类型115考点二an＝f(n)，n为奇数，类型117g(n)，n为偶数．考点三含有(－1)n的类型119考点四已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题124专题17数列不等式的证明127考点一先求和(裂项相消法)再放缩127考点二先求和(错位相减法)再放缩134考点三先放缩再求和136专题18用导数证明数列不等式139专题19数列不等式恒成立与存在性问题小题144考点一由数列不等式恒成立求参数144考点二由数列不等式求n的最值146专题20数列不等式恒成立与存在性问题大题147考点一由数列不等式恒成立求参数147考点二由数列不等式求n的最值154考点三数列不等式存在性问题求参数156专题22数列中的结构不良问题160专题23数列中的数学文化问题168168172专题01 数列的概念及性质1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类标准名称含义有穷数列项数有限的数列按项的个数无穷数列项数无限的数列递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即an＋1>an递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即an＋1<an按项的变化趋势常数列各项都相等的数列，即an＋1＝an周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．(1)列举法：a1，a2，a3，…，an，…；(2)图像法：数列可用一群孤立的点表示；(3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．5．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任意一项an与an－1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式．它是数列的一种表示法．注：并不是所有的数列都有通项公式，即使有通项公式也未必唯一．6．数列的通项an与前n项和Sn的关系S1 n＝1，已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝Sn－Sn－1n≥2. 这个关系式对任意数列均成立．7．数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．考点一 由数列前几项求数列通项公式【基本方法】由数列前几项求数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n，3n等形式递增；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值的特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理．【基本题型】[例1](1)数列，，，，…的一个通项公式an＝________．371115(2)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式an＝________．1×22×33×44×5(3)已知数列1，2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是()A．16B．24C．26D．282468(4)数列，－，，－，…的第10项是()3579A．－16B．－18C．－20D．－2217192123(5)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．(6)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________．【对点精练】2461．数列0，，，，…的一个通项公式为________．3571151329612．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．3224816643．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x应取()A．19B．20C．21D．224．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的()A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，则数列{an}的通项公式为________．6．把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．30考点二 数列的周期性【基本知识】周期数列：对于数列{an}，如果存在一个常数T，使得对任意的正整数i恒有ai＝ai＋T成立，则称数列{an}是周期为T的周期数列．周期数列的常见形式：(1)an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(2)an＋1＝anan＋2(n∈N*)；(3)an＋1＝1－1an(n∈N*)；(4)an1＝1＋an(n∈N*)；(5)三角函数型；＋ 1－an【基本方法】解决数列周期性问题的方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．【基本题型】[例2](1)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2022项的和为()A．0B．1C．－5D．－1(2)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2022的值为()A．2B．1C．1D．124(3)在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．(4)已知数列{an}满足an＋1＝1，若a1＝1，则a2022＝()1－an2A．－1B．1C．1D．22(5)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an，则a2022的值为()1－anA．2B．－3C．－1D．123(6)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝()2A．0B．2018C．1010D．1009【对点精练】1．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，n∈N*，a1＝1，a2＝2，则a2021等于()A．－2B．－1C．1D．22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2a1＝1，an＋1an－1＝an(n≥2)，则下列结论不正确的是()A．a2020＝2B．a4＝a100C．S3＝7D．S30＝6S623．在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝()A．132B．299C．68D．994．已知数列a1＝2，an＝1－1(n≥2)．则a2022＝________．an－15．(2014·全国Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝1，a8＝2，则a1＝________．1－an6．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝1，则下列各数是{an}的项的有()1－an2A．－2B．2C．3D．3327．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an(n∈N*)，则a1·a2·a3·…·a2022＝()1－anA．－6B．6C．－3D．3，则S2022＝________．8．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝3＋an1－3an2an，0≤an<1，9．数列{an}满足an＋1＝2若a1＝3，则a2020＝()12an－1，≤an<1，52A．1B．2C．3D．4555510．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an2－2an＋1(n∈N*)，则a2022＝________．考点三数列的单调性【基本方法】判断数列单调性的两种方法1．作差(或商)法．⇔⇔是常数列．(1)作差比较法an＋1－an>0数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0数列{an}(2)作商比较法an＋1an＋1an＋1an>0时，>1⇔数列{a}是单调递增数列；<1⇔数列{a}是单调递减数列；＝1⇔数列{a}ananan是常数列．an＋1an＋1an＋1an<0时，>1⇔数列{a}是单调递减数列；<1⇔数列{a}是单调递增数列；＝1⇔数列{a}ananan是常数列．2．目标函数法写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．【基本题型】[例3](1)记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an＞0”是“{Sn}是递增数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知数列{an}的通项an＝na(a，b，c都是正实数)，则an与an＋1的大小关系是()．nb＋cA．an＞an＋1B．an＜an＋1C．an＝an＋1D．不能确定n(3)已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是()3n＋1A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列(4)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝1，则下列说法正确的是()4A．数列{an}的前n项和为Sn＝1B．数列{an}的通项公式为an＝14n4n(n＋1)1C．数列{an}为递增数列D．数列Sn为递增数列(5)设函数f(x)＝3－ax－3，x≤7，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实ax－6，x>7，数a的取值范围是()9，39，3C．(1，3)D．(2，3)A．4B．4(6)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若数列{Sn}(n≥7，n∈N*)为递增数列，则实数λ的取值范围为________．(7)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是________．【对点精练】1．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．在数列{an}中，an＝n＋2，则{an}( )n＋1A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列3．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )1111π2π3πnπA．1，，，，…，，…B．sin，sin，sin，…，sin，…7777234n1111C．－1，－，－，－，…，－，…D．1，2，3，…，n，…2482n1(1－3a)·n＋10a，n≤6，(n∈N*)，若对任意的n∈N*，均有an>an＋1，则实数a4．已知数列{an}满足an＝an－7，n>6的取值范围是()1，11，51，11，5A．3B．38C．32D．385．已知f(x)＝(2a－1)x＋4(x≤1)，数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值ax(x>1)，范围是()A．(1，＋∞)1，＋∞C．(1，3)D．(3，＋∞)B．26．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．7．在数列{an}中，a1＝a，an＋1＝2an－1，若{an}为递增数列，则a的取值范围为()A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞33n＋k8．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()2nA．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)专题02 数列中的最值问题考点一 数列的最大(小)项【基本方法】求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式an研究数列的单调性，若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞an＋10或an＞0时，＞1，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1anan＋1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0或an＞0时，＜1，则an＋1＜an，则数列{an}是an递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．若不单调利用an≥an－1，(n≥2)确定最大项，an≥an＋1利用an≤an－1，(n≥2)确定最小项；an≤an＋1【基本题型】[例1](1)数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是____________．n(2)数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是()n2＋90A．3B．19C．1D．10106019n2＋12(3)若数列{an}中，an＝，n∈N*，则数列{an}中的项的最小值为________．n＋22(4)已知数列{an}的通项公式为an＝n3n，则数列{an}中的最大项为()A．8B．2C．64D．1259381243(5)若数列{n(n＋4)(2)n}中的最大项是第k项，则k＝________．3(6)数列{an}的通项为an＝2n－1，n≤4，(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则－n2＋(a－1)n，n≥5的取值范围是________．an＋1－anan(7)已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为()nn294827A．B．47－1C．D．354[例2]已知数列{an}中，an＝1＋1(n∈N*，a∈R，且a≠0)．a＋2(n－1)(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．1 1(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an－5an，求数列{bn}中最小的项．【对点精练】1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，则数列{nan}中数值最小的项是( )A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项2．若数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)，则这个数列中的最大项是()n2＋196A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项3．已知数列的通项为an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．3n－164．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝nan，则数列{an}的最大项是()n＋1A．a1B．a9C．a10D．不存在95．数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)10n，那么在此数列中()A．a7＝a8最大B．a8＝a9最大C．有唯一项a8最大D．有唯一项a7最大76．在数列{an}中，an＝(n＋1)8n，则数列{an}的最大项是第________项．a7．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－11n＋n，a5是数列{an}的最小项，则实数a的取值范围是(

)A．[－40，－25]

B．[－40，0]

C．[－25，25]

D．[－25，0]8．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4．(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．考点二 等差数列中与前n项和Sn相关的最值【基本方法】等差数列前n项和Sn的最值的常用方法在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值．(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值．am≥0，①当a1>0，d<0时，满足am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋也为最大值)；am≤0，②当a1<0，d>0时，满足am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋也为最小值)．【基本题型】[例4](1)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15，求Sn取得最小值n的值为________．(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S7＝S11，且a1>0，则Sn中最大的是()A．S7B．S8C．S9D．S10(4)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为()A．6B．7C．8D．9(5)(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．(6)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，则f(n)＝Sn＋60(n∈N*)的最小值为________．n＋1(7)(2020·北京)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1．记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列{Tn}( )A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项(8)数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值为________．(9)(2013·全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．(10)已知数列{an}为等差数列，若a11＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0a10n的最大值为________．(11)Sn是等差数列{an}的前n项和，若S2022＜S2020，S2021＜S2022，则Sn＜0时n的最大值是()A．2021B．2022C．4041D．4042因为即所以所以可知时的最大值是故选(10)、(11)(12)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1010＞0，a1009＋a1010＜0，则满足SnSn＋1＜0的正整数为()A．2017B．2018C．2019D．2020[例5] (2019·北京)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．[例6] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列lg1an的前n项和最大？【对点精练】1．已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，S9－S5＝－4，则Sn取最大值时的n为()95A．4B．5C．6D．4或53．(2019·北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．4．在等差数列{an}中，若a1＜0，Sn为其前n项之和，且S7＝S17，则Sn为最小时n的值为________．5．等差数列{an}中，a1＞0，S5＝S12，则当Sn有最大值时，n的值为__________．6．等差数列{an}的公差d＜0且a21＝a213，则数列{an}的前n项和Sn有最大值，当Sn取得最大值时的项数n是()A．6B．7C．5或6D．6或77．设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若a8a7＜－1，则()A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S78．在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，有以下命题：①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是Sn中的最大项；③若S7＞S8，则必有S8＞S9；④若S7＞S8，则必有S6＞S9．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．10．等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前nSn项和，则数列n的前n项和取最小值时的n为()A．3B．3或4C．4或5D．511．在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是______．12．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2020＋a2021>0，a2020·a2021<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是()A．2038B．2039C．4040D．404113．若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为( )A．10B．11C．12D．1314．(多选题)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则()A．公差d<0B．a16<0C．Sn≤S15D．当且仅当Sn<0时n≥3215．(多选题)设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则()A．a2a9的最大值为10B．a2＋a9的最大值为210C．1＋1的最大值为1D．a24＋a94的最小值为2005a22a9216．(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．17．已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn．(1)求数列{an}的通项公式；log2an(2)若an>0，数列 32的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值．考点三 等比数列中的最值【基本题型】[例7](1)各项均为正数且公比q＞1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝4，a2＋5Sn＋2a4＝5，则2的最小值为________．2an(2)等比数列{an}的首项为3，公比为－1，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn－1的最大22Sn值与最小值之和为()A．－2B．－7C．1D．512346(3)(2016·全国Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为________．【对点精练】1．正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得aman＝4a1，且a6＝a5＋2a4，则m1＋4n的最小值是()3725A．B．2C．D．2362．已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得T1>1的n的最小值为()A．4B．5C．6D．73．设Tn为等比数列{an}的前n项之积，且a1＝－6，a4＝－3，则当Tn最大时，n的值为4()A．4B．6C．8D．10４．已知数列{an}满足递推公式an＋1＝2an＋1，a1＝1．设Sn为数列{an}的前n项和，则4n＋7－n－Sn的最an＋1小值是________．专题03用an与Sn的关系求通项公式【基本知识】Sn与an的关系已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，这个关系式对任意数列均成Sn－Sn－1，n≥2，立．注意：Sn与an关系的二重性，即用Sn与an关系可消去an，也可消去Sn．(1)正用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去an转化为只含Sn，Sn－1的关系式．(2)逆用Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去Sn转化为只含an，an－1的关系式，再求解．提醒：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．考点一由Sn＝f(n)求an型【基本方法】已知Sn＝f(n)求an的方法已知Sn＝f(n)求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，主要分三个步骤完成：Sn－Sn－1，n≥2．(1)当n＝1时，在Sn＝f(n)中，令n＝1，求得a1＝f(1)；(2)当n≥2时，再利用an＝Sn－Sn－1＝f(n)－f(n－1)(n≥2)，求出an＝f(n)－f(n－1)．即当n≥2，n∈N*时的通项公式；(3)检查a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成an＝f(n)－f(n－1)；否则应写成分段的形式，即an＝f(1)，n＝1，f(n)－f(n－1)，n≥2．【基本题型】[例1](1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________；(3)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．【对点精练】1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．3．若Sn＝3n＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为________________．4．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________．5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝a2n·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1＜cn．考点二 由a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an型【基本方法】已知Sn求an的方法S1，n＝1，已知a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an的常用方法是利用an＝Sn－Sn－1，n≥2． 主要分三个步骤完成：(1)当n＝1时，求得a1＝f(1)；(2)当n≥2时，在a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)中用n－1替换n得到一个新的关系式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝f(n－1)，两式相减得到an＝f(n)－f(n－1)(n≥2)，便可求出当n≥2，n∈N*时的通项公式；(3)检查a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成an＝f(n)－f(n－1)；否则应写成分段的形式，即an＝f(1)，n＝1，f(n)－f(n－1)，n≥2．【基本题型】[例2](1)已知正项数列{an}中，a1＋ a2＋…＋an＝n(n＋1)，则数列{an}的通项公式为2()A．an＝nB．an＝n2C．an＝nD．an＝n222(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．[例3] 记m＝d1a1＋d2a2＋…＋dnan，若{dn}是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差n均值”；若{dn}是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3．记cn＝2＋klog3bn，数列{cn}的前n项和为anSn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围．【对点精练】1．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．2．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________．3．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，则{an}的通项公式是________．考点三 由f(an，Sn)＝0消去Sn型【基本方法】已知Sn求an的方法S1，n＝1，已知f(an，Sn)＝0求an，如果能消去Sn，则利用an＝Sn－Sn－1，n≥2. 消去Sn，主要分四个步骤完成：(1)当n＝1时，先利用a1＝S1，求得a1；(2)当n≥2时，用n－1替换f(an，Sn)＝0中的n得到一个新的关系式f(an－1，Sn－1)＝0，两式相减，再逆用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可得到当n≥2，n∈N*时数列{an}的一个递推公式；(3)借助各类递推公式求通项公式的方法求出当n≥2，n∈N*时的通项公式；(4)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式．【基本题型】[例4](1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________．(2)(2013·全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________．(3)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，则通项公式an＝____________．(4)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是an＝________．(5)若Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝an＋1an，a1＝4，则数列{an}的通项公式为an＝____．[例5]设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．【对点精练】1．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，(n∈N*)，则an________．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式是an＝________．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，2Sn＝anan＋1(n∈N*)，则an＝________．5．(1)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝n，求an；(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，求an．1 1(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．7．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12．1(1)求证：Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．8．设数列{an}的首项a1＝32，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)．(1)求a2及an；(2)求证：anSn的最大值为94．考点四 由f(an，Sn)＝0消去an型【基本方法】已知Sn求an的方法S1，n＝1，已知f(an，Sn)＝0求an，如果不能消去Sn，则利用an＝Sn－Sn－1，n≥2.消去an，先求出Sn，再求an，主要分五个步骤完成：(1)当n＝1时，先利用a1＝S1，求得a1；(2)当n≥2时，用an＝S1，n＝1，消去an，便可得到当n≥2，n∈N*时数列{Sn}的Sn－Sn－1，n≥2.一个递推公式；(3)借助各类递推公式求通项公式的方法求出当n≥2，n∈N*时数列{Sn}的通项公式；(4)此时问题转化为由Sn＝f(n)求an型，求出当n≥2，n∈N*时数列{an}的通项公式；(5)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式．【基本题型】[例6](1)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3且当n≥2时，2an＝Sn·Sn－1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是________．＝1－1，n＝1，＝－11＝1①②③④数列Sn是等差数ananSnnn－1列【对点精练】1．已知各项均为正数的数列{an}的前________．2．已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列an＝________．

项和为Sn，若S1＝2，3S2n－2an＋1Sn＝a2n＋1，则an＝2an{an}的前n项和，且当n≥2时，有anSn－Sn2＝1成立，专题04 用累加法与累乘法求通项公式考点一 由an＋1－an＝f(n)求an型【基本方法】已知an＋1－an＝f(n)求an的方法累加法：已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，则an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1(n≥2)．代入a1得an．【基本题型】[例1](1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列的通项公式为an＝________．(3)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1－1，则an等于()n＋1nA．1B．2n－1C．n－1D．1nnn2n(4)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1)n，则an等于(A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn(5)在数列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)·(an＋1－an)＝1(n∈N*)，则通项公式an＝________．[例2](2018·浙江)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n．(1)求q的值；(2)求数列{b

n}的通项公式．【对点精练】1．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝____________．2．已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，则an＝________．3．若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则an等于( )A．2n＋n－2

B．2n－1＋n－1

C．2n＋1＋n－4

D．2n＋1＋2n－24．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋n(n11)，则通项公式an＝________．＋5．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n＋1－n(n≥2)，则an＝________．16．在数列{an}中，a1＝2，an＋1an＋ln1＋，则an＝________．＝nn＋1n7．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an(1－nan＋1)，则数列{an}的通项公式为________．8．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：an＝3n－21．9．已知a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn．(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．考点二由an＋1＝f(n)求an型an【基本方法】已知an＋1＝f(n)求an的方法an累乘法：已知a1且an＝f(n)(n≥2)，则an＝f(n)，an－1＝f(n－1)，…，a3＝f(3)，a2＝f(2)，an－1an－1an－2a2a1所有等式左右两边分别相乘，即an＝an·an－1·…·a3·a2·a1(n≥2)．代入a1得an．an－1an－2a2a1【基本题型】[例3](1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝nan(n∈N*)，则an等于()n＋1A．n＋1B．nC．1D．1n＋1n(2)在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列的通项公式为an＝________．(3)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________．(4)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公an＝________．(5)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式为()A．(2n＋1)2－1B．(2n＋1)2C．8n2D．(n＋1)3【对点精练】1．已知在数列{an}中，an＋1＝nan(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________．n＋22．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________________．1＋13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2nan，则通项公式an为________．4．在数列{an}中，a1＝1，前nn＋2an，则{an}的通项公式为____________．项和Sn＝35．已知正项数列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，则它的通项公式为( )A．an＝1B．an＝2C．an＝n＋2D．an＝nn＋1n＋126．若{an}满足2(n＋1)·a2n＋(n＋2)·an·an＋1－n·a2n＋1＝0，且an>0，a1＝1，则an＝____________．7．在数列{an}中，a1＝1，a1＋a222＋a332＋…＋ann2＝an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．8．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋32an．(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．专题5用构造辅助数列通项公式考点一由an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)求an型【基本方法】已知an＋1＝Aan＋B求an的方法1递推关系形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0，A，B为常数)可化为an＋1＋B＝A－1an＋Ban＋BAA－1(p≠1)的形式，利用A－1是以A为公比的等比数列求解．已知an＋1＝Aan＋B求an的方法2对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．若f(x)＝Ax＋B(A≠0，1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝A(an－p)，即{an－p}是公比为A的等比数列．【基本题型】[例1](1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．(2)已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线3x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．[例2](1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝12an＋1，则数列{an}的通项公式为________．(2)已知数列{an}满足an＋1＝－13an－2，a1＝4，则数列{an}的通项公式为________．【对点精练】1．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________．2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝________．3．已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．考点二 由an＋1＝pan＋f(n)求an型【基本方法】已知an＋1＝pan＋f(n)求an的方法递推关系形如an＋1＝pan＋f(n)(p是非零常数)的数列{an}的通项公式，可先在两边同除以f(n)后再用累加法求得．【基本题型】[例3](1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，则通项公式an＝________．1(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝13an＋3n＋1(n∈N*)，则通项公式an＝________．(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列，则an＝________．【对点精练】1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝12an－21n，则其通项公式an＝________．1，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}3．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝2的通项公式an＝________．考点三由an＋2＝pan＋1＋qan求an型【基本方法】已知an＋2＝pan＋1＋qan求an的方法q递推关系形如an＋2＝pan＋1＋qan型，可化为an＋2＋xan＋1＝(p＋x)an＋1＋an，令x＝qp＋x，p＋x求得x来解决．【基本题型】[例4]已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公an＝________．【对点精练】1．若a1＝5，a2＝2，an＋2＝2an＋1＋3an，则an＝________．考点四 由an1＝ Aan 求an型＋ Ban＋C【基本方法】已知an1＝ Aan 求an的方法1＋ Ban＋C递推关系形如an＋1＝ Aan 型可取倒数，构造新数列求解．Ban＋C已知an1＝ Aan 求an的方法2＋ Ban＋C对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．f(x)＝Ax＋B(c≠0，AD－BC≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相Cx＋Dk a－pc异的不动点p，q，则an＋1－p＝k·an－p此处 ＝a－qc．an＋1－q an－q【基本题型】[例5](1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝a2an2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝n＋________．(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝aan3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．n＋[例6](1)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝7an－2，则数列{an}的通项公式为________．an＋4(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．2an－1＋1(3)设数列{an}满足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，记bn＝11(n≥1)．则数列{bn}的通项公式为________．an－2【对点精练】1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a2an2(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为________．n＋2．若a1＝1，an＋1＝3aan1，则数列{an}的通项公式an＝________．n＋3．若a1＝5，an＋1＝3an－4，则an＝________．an－1考点五 由其他形式的递推公式求an型【基本方法】已知其他形式的递推公式求an的方法对递推公式进行合理的变形，然后转化为等差数列或等比数列【基本题型】[例7](1)数列A．10n－2

{a

n}满足a1＝2，an＋1＝a2n(an＞0，n∈N*)，则an＝(B．10n－1 C．102n－1

)

D．22n－1(2)已知各项都为正数的数列{an}满足：a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，则数列an的通项公式为________．(3)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，则an＝________[例8] (2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【对点精练】1．已知数列{an}满足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1，且an＋1＞an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝(

)A．2n

B．n2

C．n＋2 D．3n－22．已知数列{an}满足an≠0，2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝1，则数3列{an}的通项公式an＝________．an＋1(an＋an＋2)13．各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an(n∈N*)，且a3＝2a8＝，则数列{an}25的通项公式为________．4．(2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．专题06 等差数列基本量的计算1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋2b．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－1d或Sn＝na1＋an．2 2【基本方法】解决等差数列基本量计算问题的方法(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝n(a1＋an)＝na1＋n(n－1)d，在这两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已22知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．【基本题型】[例1](1)(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12(3)(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14(4)(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97(5)设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝( )A．25B．26C．3D．28999(6)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．(9)(2013·全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6(10)数列{an}不是常数列，满足a1＝14，a5＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1对任何的正整数n都成立，则1＋1＋…＋1的值为()a1a2a50A．1475B．1425C．1325D．1275[例2] 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝(2a2＋2)2．(1)求d，an；(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|．[例3] 已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)·(an＋n)(n∈N*)．an(1)求证数列n是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn＝2an－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn．【对点精练】1．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为()A．－3B．－5C．－2D．－42S3S22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足3－2＝1，则数列{an}的公差是()A．1B．1C．2D．323．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A．18B．20C．22D．244．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A．12B．13C．14D．155．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S13＝104，则a10＝()A．10B．12C．16D．206．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝(

)A．18 B．16 C．14 D．127．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2022的值为( )A．2026B．4038C．5044D．30208．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝1n2－2n29．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于()A．18B．12C．9D．610．等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于()A．3B．4C．log318D．log32411．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________．12．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6等于()A．36B．32C．28D．2413．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S4＝20，则S6等于()2A．16B．24C．36D．4814．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－3，2a4＋3a7＝9，则S7的值等于()A．21B．1C．－42D．0S1015．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a2＝3a1，则S5＝________．16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝()A．9B．10C．11D．1517．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0．其中一定正确的结论是(

)A．①②

B．①③④

C．①③

D．①②④18．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．19．在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为()A．2B．10C．5D．52420．若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋an＝n2＋3n(n∈N*)，则＝23n＋1________．21．(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则()A．d<0B．a16<0C．Sn≤S15D．当且仅当n≥32时，Sn<022．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则( )A．a9＝17B．a10＝19C．S9＝81D．S10＝9123．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n．24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn．25．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．26．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；(2)求数列{an}的通项公式．27．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1anan＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n．专题07 等差数列的性质及应用【基本知识】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝ann－－mam(n≠m)．(2)等距性：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．特别地，若m＋n⇔＝2p(m，n，p∈N*)，则有a⇔m＋an＝2ap． ⇔(3)单调性：d＞0 {an}为递增数列，若d＜0 {an}为递减数列．d＝0 {an}为常数列；(4)若{an}是等差数列，公差为d，则等距离取出若干项也构成一个等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(5)若{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．SnSmSn(6)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列n也为等差数列，d＝m－n(n≠m)．m－n(7)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，公差为nd．(8)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，S奇＝an；S偶an＋1(9)若项数为2n－1(n≥2)，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，S奇＝n．S偶n－1(10)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为an＝S2n－1．bnT2n－1考点一性质(1)的应用【基本题型】[例1](1)在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于()A．3B．－6C．4D．－3(2)在等差数列{an}(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是________．(3)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．(4)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________．(5)已知{an}为等差数列，且a100＝304，a300＝904，则a1000＝________．(6)已知等差数列

{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是(

)A．30

B．29

C．28

D．27考点二

性质(2)的应用【基本题型】[例2](1)在等差数列

{a

n}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(

)A．15B．30C．31D．9(2)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．(3)等差数列an中，若a2，a2020为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1011＋a2021等于()A．10B．15C．20D．40(4)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－1C．2D．122(5)在等差数列{an}中，若a22＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________．(6)等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有an＝2n＋3，则a7＋a5＝________．bnb3＋b9b4＋b84n－9[例3](1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝()A．58B．54C．56D．52(2)等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项和S9等于()A．99B．66C．144D．297(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．(4)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________．(5)已知函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a4)＝f(a18)，则{an}的前21项和为()A．0B．25C．21D．422(6)等差数列{a}的各项均不为零，其前n项和为S．若a21＝a 2＋a，则S2 1＝________．n n n＋ n＋ n n＋(7)在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0．若an－1－a2n＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，则n＝()A．38B．20C．10D．9(8)设正项数列{an}的前n项和为