高考数学题型技巧变式一应俱全（上册）

2023高考数学题型*技巧*变式一应俱全（上册）专题1-1集合 6【题型一】集合的表示 6【题型二】集合元素的特征-- 6【题型三】集合的关系- 7【题型四】集合的运算- 8【题型五】集合与排列组合概率 8【题型六】新定义-- 9【题型七】集合与圆和圆锥曲线- 9专题2-2中心对称、轴对称与周期性归类 12【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数 12【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称 13【题型三】轴对称 13【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性 14【题型五】画图：放大镜 15【题型六】利用对称解决恒成立和存在型 16【题型七】函数整数问题 17专题2-3零点 【题型一】水平线法：参变分离 20【题型二】基础图像交点法 20【题型三】分段函数含参 21【题型四】研究直线斜率（临界是切线）寻找交点关系 22【题型五】“放大镜”函数的交点 22【题型六】函数变换： 23【题型七】对数函数绝对值“积定法” 24【题型八】高斯函数型 24【题型九】与三角函数结合 25【题型十】借助周期性 26专题2-4复合二次型和镶嵌函数的零点 30【题型一】一元二次复合型基础型：可因式分解 30【题型二】一元二次复合型：根的分布型 30【题型三】一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型 31【题型四】一元二次复合型（老高考）：线性规划型 32【题型五】一元二次复合型：函数性质综合型 32【题型六】嵌套函数基础型 33【题型七】嵌套函数常规型：无参双坐标系换元转换法 34【题型八】嵌套函数含参型：解析式含参 34【题型九】嵌套函数含参型：参数在方程 35【题型十】嵌套函数含参型：双函数型 36【题型十一】嵌套函数双复合型 37专题3-1导数求切线及公切线归类 41【题型一】求切线基础型：给切点求切线 41【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点 41【题型三】求切线基础：无切点求参 42【题型四】无切点多参 42【题型五】“过点”型切线 43【题型六】判断切线条数 44【题型七】多函数（多曲线）的公切线 44【题型八】切线的应用：距离最值 45【题型九】切线的应用：距离公式转化型 45【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用 46【题型十一】切线的应用：零点等 47专题3-2含参讨论 50【题型一】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参） 50【题型二】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参） 50【题型三】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置（双参） 51【题型四】上下平移思维基础：反比例函数型 52【题型五】上下平移：指数型 53【题型六】上下平移：对数函数型 54【题型七】一元二次可因式分解型 55【题型八】一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式 56【题型九】双线法：指数型 57【题型十】双线法：对数型 58【题型十一】含三角函数型讨论 59【题型十二】二阶求导讨论型 60【题型十三】已知单调性求参 60【题型十四】不确定单调增或减求参 61【题型十五】存在单调增（减）区间 62【题型十六】非单调函数求参 63专题3-3导数构造函数十三种归类 67【题型一】利用xnf（x）构造型 67【题型二】利用f（x）/xn构造型 67【题型三】利用enxf（x）构造型 68【题型四】用f（x）/enx构造型 69【题型五】利用sinx与f（x）构造型 70【题型六】利用cosx与f（x）构造型 71【题型七】复杂型：en与af（x）+bg(x)等构造型 72【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型 72【题型九】复杂型：与ln（kx+b）结合型 73【题型十】复杂型：基础型添加因式型 74【题型十一】复杂型：二次构造 75【题型十二】综合构造 76【题型十三】技巧计算型构造 77专题3-4：超难压轴小题:导数和函数归类（1） 82【题型一】整数解 82【题型二】零点 82【题型三】同构 83【题型四】恒成立求参：移项讨论型 84【题型五】恒成立求参：代入消参型（虚设根型） 85【题型六】恒成立求参：构造函数 85【题型七】恒成立求参：分离参数（常规） 86【题型八】恒成立求参：分离参数（洛必达法则） 87【题型九】恒成立求参：倍函数 87【题型十】恒成立求参：双函数最值型 88【题型十一】数列与导数： 89专题3-5超难压轴小题：导数与函数归类（2） 92【题型一】 导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于y=x对称关系（原函数与反函数） 92【题型二】导数中的“距离”2：构造型距离 93【题型三】导数中的“距离”3：其他距离 93【题型四】极值点偏移 94【题型五】嵌套函数求参 95【题型六】多参型1：复杂讨论型 95【题型七】多参型2：凸凹翻转型 96【题型八】多参型3:比值代换等代换 96【题型九】多参型4：韦达定理型 97【题型十】多参型5：“二次”最值型 97专题3-6导数压轴大题归类（1） 101【题型一】求参1：端点值讨论型 101【题型二】求参2：“存在”型 101【题型三】求参3：“恒成立”型 102【题型四】求参4：分离参数之“洛必达法则” 103【题型五】同构求参5：绝对值同构求参型 103【题型六】同构求参6：x1与x2构造新函数型 104【题型七】零点型 105【题型八】不确定根型 106【题型九】取整讨论型 106【题型十】证明不等式1：基础型 107【题型十一】证明不等式2：数列不等式之单变量构造型 107【题型十二】证明不等式3：数列不等式之无限求和型 108【题型十三】证明不等式4：构造单变量函数型 109【题型十四】证明不等式5：凑配主元型 109专题3-7导数压轴大题归类：不等式证明归类（2） 113【题型一】不等式证明6:凹凸翻转型 113【题型二】不等式证明7：三角函数与导数不等式 113【题型三】不等式证明8：极值点偏移之不含参型 114【题型四】不等式证明9：极值点偏移之含参型 115【题型五】不等式证明10：三个“极值点（零点）”不等式 115【题型六】不等式证明11：比值代换（整体代换等） 116【题型七】不等式证明11：非对称型（零点x1与x2系数不一致） 117【题型八】不等式证明12：韦达定理型 117【题型九】不等式证明13：利用第一问 118【题型十】不等式证明14：含ex和lnx型 118【题型十一】不等式证明15：先放缩再证明 119【题型十二】不等式证明16.：切线放缩证明两根差型（剪刀模型） 119【题型十三】不等式证明17：条件不等式证明 120【题型十四】综合证明：x1与x2型 121专题4-1三角函数性质、最值和W小题归类 125【题型一】图像与性质1：“识图” 125【题型二】图像与性质2：求周期 126【题型三】图像与性质3：正余弦函数的对称轴 127【题型四】图像和性质4：对称中心 128【题型五】最值与范围1：辅助角 129【题型六】最值与范围2：一元二次正余弦有界性 129【题型七】最值与范围3：sinx与cosx积和（差）换元型 130【题型八】最值与范围4：分式型 131【题型九】最值与范围5：绝对值型 132【题型十】三角换元1：圆代换 132【题型十一】三角换元2：双变量消元代换 133【题型十二】三角换元3：无理根号代换 133【题型十三】三角换元4：正切代换 134【题型十四】三角换元5：向量中的三角换元 134【题型十五】三角函数中w求解 135【题型十六】数列与三角函数 136专题4-2正余弦定理与解三角形小题1 139【题型一】解三角形基础：角与对边 139【题型二】判断三角形形状 139【题型三】最值与范围1：先判断角 140【题型四】最值与范围2：余弦定理 141【题型五】最值与范围3：辅助角 141【题型六】最值与范围4：均值不等式 142【题型七】最值与范围5：周长最值 142【题型八】面积1:消角 143【题型九】面积2：正切代换 144【题型十】最值与范围6：建系设点 144【题型十一】最值与范围7：求正切的最值范围 145【题型十二】图形1：中线 146【题型十三】图形2：角平分线 146【题型十四】图形3：高 147【题型十五】图形4：四边形 148专题4-3正余弦定理与解三角形小题归类2 151【题型一】图形5：“扩展线” 151【题型二】向量 151【题型三】四心1：外心 152【题型四】四心2：内心 153【题型五】四心3：重心 153【题型六】四心4：垂心 154【题型七】解三角形应用题 155【题型八】超难压轴小题1 156【题型九】超难压轴小题2 157专题4-4三角函数与解三角形大题归类 161【题型一】Asin（x)图像与性质1:给图求解析式和值域（最值） 161【题型二】Asin（x)图像与性质2:二倍角降幂公式恒等变形 162【题型三】Asin（x)图像与性质3:恒等变形（“打散”-重组-辅助角） 163【题型四】Asin（x)图像与性质4:零点求参 164【题型五】解三角形基础：正弦定理、角与对边 164【题型六】解三角形基础2：余弦定理变形 165【题型七】解三角形1：面积最值 166【题型八】解三角形2：周长最值 167【题型九】解三角形3：边长最值 167【题型十】解三角形4：不对称型最值 168【题型十一】解三角形5：中线 168【题型十二】解三角形6：角平分线 169【题型十三】三角形存在个数 170【题型十四】四边形转化为解三角形 170【题型十五】解三角形：四边形求最值 172【题型十六】三角形中证明题 173【题型十七】解三角形综合 174【题型十八】建模应用 175专题5 向量小题归类 181【题型一】向量基础：“绕三角形”（基底拆分） 181【题型二】系数未知型“绕三角形” 182【题型三】求最值型“绕三角形” 183【题型四】数量积 184【题型五】数量积最值型 185【题型六】向量模 185【题型七】投影向量 186【题型八】向量技巧1：极化恒等式 186【题型九】向量技巧2：等和线 187【题型十】向量技巧3：奔驰定理与面积 188【题型十一】解析几何中的向量 190【题型十二】向量四心 190【题型十三】综合应用 191【题型十四】超难小题 192专题1-1集合【题型一】集合的表示【典例分析】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i1,2,,8)是上底面上其余的八个点，y）则集合yABAP,i1、2、3、、8中的元素个数（A．1 B．2 C．4 D．8【提分秘籍】基本规律列举法，注意元素互异性和无序性描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素【变式演练】1.设集合M{x|xk，kZ}，N{x|xk，kZ}，则（）2442A．M=NB．MÜNC．MND．MÝN2....，若An表示集合An中元素的个数，则A5_______，则A1A2A3A10_______．k3.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f(kx)＝2f(x)恒成立．现有两个函数：fxaxba0，gxlog2x，则函数fx、gx与集合M的关系为___________________________.【题型二】集合元素的特征--【典例分析】1x1x2已知集合AxZ|33，BxN|0，则集合z|zxy,xA,yB的元素个数为（）81x3A．6B．7C．8D．9【提分秘籍】基本规律1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。【变式演练】1.已知集合Mmmab2,a,bQ,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（）1①12;②1162;③;④232322A．4B．3C．2D．12,x0，则集合x|f[f(x)]0元素的个数有（2.函数f(x)xx）4sinx,0A．2个B．3个C．4个D．5个3.已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么___________________．【题型三】集合的关系-【典例分析】已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为____________.【提分秘籍】基本规律1.注意子集和真子集的区别和练习2.判断集合之间的关系：（1）定义判断（2）数形结合判断【变式演练】1.AxNA若1,2xx50，则集合的个数是．A．4B．3C．2D．82.设U是全集，若ABU，则下列关系式一定正确的是（）A．ABB．BCUAC．CUABD．CUACUBU3.|1x1},Cxmx10,若ABC，则实数m的取值范围是已知集合A{x|0x2},B{x（）A．1m1B．1≤m≤122C．1m0D．1m122【题型四】集合的运算-【典例分析】已知集合Ay|ysin(x)cosx,xR，Bx|(x2x6)(x5)0AUB（3，R，则ð）3A．B．,53,C．5,3D．3,57【提分秘籍】基本规律1．注意并集与交集的大小关系2．补集和全集是不可分割的两个概念【变式演练】1.已知P(x,y)x2y24，Q(x,y)(xa)2y21，若PQ，则a的取值范围是（）.A．1a1B．a或a1010C．10a1或1a10D．以上答案都不对2.已知Ax,yxay11，Bx,y(x1)2(y1)21，若集合AB，则实数a的取值范围是（）B．12,2C．3,1D．0,2113.若A{x|x1}，Bx|1，定义AB{x|xAB且xAB}，2xABA．1,01,3B．1,01,3C．1,3D．0,1222222【题型五】集合与排列组合概率【典例分析】已知非空集合AR，设集合SxyxA,yA，xy，TxyxA,yA，xy.分别用A、S、T表示集合A、S、T中元素的个数，则下列说法不正确的是（）．．．A．若A4，则ST8B．若A4，则ST12C．若A5，则ST可能为18D．若A5，则ST不可能为19【提分秘籍】基本规律利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想【变式演练】1.设I1,2,3,4,，A与B是I的子集，若A B1,3，则称(A,B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”的个数是（）A．16B．9C．8D．42.已知集合P1,2,3,4,5，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（）A．49B．48C．47D．463.设集合A1,2,3,,2020，选择A的两个非空子集B和C，要使C中最小的数大于B中的最大数，则不同的选择方法有________；【题型六】新定义--【典例分析】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝CACB,CACB若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋CBCA,CACBax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A．1B．3C．5D．7【提分秘籍】解题思路1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在“翻译”2.新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。【变式演练】1.定义AB{x|xA,xB}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足ABBAC，则ACBBC是ABC的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件2.已知集合P1,2,3,4,5，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（）A．49B．48C．47D．463.在n元数集Sa1,a2,,an中，设xSa1a2an，若S的非空子集A满足xAxS，则称A是n集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fSk．已知集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，T4,3,2,1,0,1,2,3,4，则下列说法错误的是（）A．fS9fT1B．fS8fT1C．fS6fT4D．fS5fT4【题型七】集合与圆和圆锥曲线-【典例分析】设集合Mx,yy4x2，Nx,yx22y22r2（r0）.当MN有且只有一个元素时，则正数r的所有取值为（）A．2或22B．2r2225C．2r2或r22D．2r2或r222255【提分秘籍】基本规律注意解析几何中公式的形式及应用数形结合。【变式演练】已知集合A{(x,y)|x2y4}，集合224，若BA，则实数m的取值范围是1.B{(x,y)|(xm)y5}_______．2.设集合Ax,y|x3sin2y3cos21,R，Bx,y|3x4y100，记PAB，则点集P所表示的轨迹长度为（）A．2B．2C．4D．457233.如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称(A，B)为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B)和(B，A)为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对”(A，B)的个数是A．50 B．54 C．58 D．601.2021(x,y)1122)M，（上海青浦区一模）已知集合Myf(x)，若对于任意实数对(x,y)M，存在(x,y使x1x2y1y20成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：M(x,y)②M(x,y)y

1y x2；log2x；M(x,y)y2x2；④M(x,y)ysinx1.其中是“垂直对点集”的序号是（）.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④（2020福建福清西山高三）设平面点集A(x,y)|(yx)(y1)0,B(x,y)|(x1)2(y1)21，则xA B所表示的平面图形的面积为3.（2020陕西汉台中学）设集合X是实数集R的子集，如果点x0R满足：对任意a0，都存在xX，使得0xx0a，称x0为集合X的聚点，则在下列集合中：1n①xZx0；②xxR,x0；③xx,nN；④xx,nNnn1以0为聚点的集合有______．4.（2021全国高三专题）设集合M{aaxy,2x2y2t,其中x,y,t,a均为整数}，则集合M_____..5.2022tM2a（上海实验学校高三月考）已知集合＝x|0，若3M,5M，则实数的取值范围是xa____________．6.（2020陕西省榆林中学）对于集合Maax2y2,xZ,yZ，给出如下三个结论：①如果bb2n1,nZ，那么PM；②如果c4n2,nZ，那么cM；③如果a1M，a2M，那么a1a2M.其中正确结论的个数是A．0B．1C．2D．37.(2019上海浦东新区高三5月练）设集合A(x,y)|yx22bx1,B{(x,y)|y2a(xb)}，且AB是单元素集合，若存在a0,b0使点P(x,y)|(xa)2(yb)21，则点P所在的区域的面积为________.8（.2019吉林高三阶段练）记A{|fxsinx为偶函数，是正整数}，B{x|xaxa10}，对任意实数a，满足AB中的元素不超过两个，且存在实数a使AB中含有两个元素，则的值是__________．9.（2021河南宋基信阳实验中学）设Ax|ylog2(x2)，BxR|x29，则A(ðRB)（）A．2,3B．2,3C．(3,)D．(2,)10.（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2021-2022学年高三上学期期中）已知集合Axa2xa3,Bx(x1)(x4)0，若ABR，则a的取值范围是（）A．,1B．1,3C．1,3D．3,专题2-2中心对称、轴对称与周期性归类【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数【典例分析】fxx1eefaxf12ax1xR恒成立，则实数a已知函数xx，若不等式2对21的取值范围是（）A．0,eB．0,eC．0,1D．0,1【提分秘籍】基本规律ab1.若fx满足faxfbx2c，则fx,c2关于中心对称2.特殊的奇函数：（考试难点）：1、对数与反比例复合：y=logm-nx，y=logm+nx，如：log1-x，log1-kx，logam+nxam-nxa1+xa1+kxa2、指数与反比例复合：y=ax+1,y=ax-1,y=1ax，y=1+axax1ax+11+ax1ax223、对数与无理式复合：y=log（（kx）+1kx），如：y=log（（x）+1+x）aaax+m1m3.形如y=对称中心为（0，2）ax1

x-1x+1【变式演练】1.D上的函数fx，点Am,n是fx图像的一个对称中心的充要条件是：对对于定义在任意xD都有fxf2mx2n，判断函数fxx32x23x4的对称中心______.2.设函数fxlnx，若a，b满足不等式fa22af2bb20，则当1a4x21时，2ab的最大值为A．1B．10C．5D．8已知函数fxxelnex，若3.2exae2e2018e2019e2019ab，其中b0，则1ffff的202022ab202020202020最小值为35A．B．C．D．22442【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称【典例分析】已知函数ysinx1与yx2在[a，a]（aZ，且a2017）上有m个交点(x1，y1)，x(x2，y2)，……，(xm，ym)，则(x1y1)(x2y2)(xmym)A．0B．mC．2mD．2017【提分秘籍】基本规律1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适。2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点【变式演练】1.函数f(x)12sin[(x1)]在x[3,5]上的所有零点之和等于______.x122.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________．3.2x+1sinxln已知函数fxx21x，若不等式f3x9xfm3x34对任意xR均成立，则m的取值范围为（）A．,21B．,21C．21,21D．21,33333【题型三】轴对称【典例分析】已知函数fx2ex21a2x222xa2有唯一零点，则负实数a（）2A．2B．1C．1D．1或122【提分秘籍】基本规律1.函数fx对于定义域内任意实数x满足faxfbx，则函数fx关于直线xa2b对称，特别地当fxf2ax时，函数fx关于直线xa对称；2.如果函数yfx满足faxfax，则函数yfx的图象关于直线xa对称.3.yf(ax)与y(xb)关于直线xab2对称。【变式演练】1.fxx24xex2e2xx11,5m,M已知函数在区间的值域为，则mM（）A．2fxxB．4fx=fC．6y=|x-ax-5|D．8x点为（，xixyxyxy），若函数a=与（）图象的交．．i．．A1），（，），…，（，），且3，则（D）BC13.已知函数fxsinx，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有21x22x2x①函数fx是周期函数；②函数fx既有最大值又有最小值；③函数fx的定义域为R，且其图象有对称轴；④对于任意的x1,0，fx0（fx是函数fx的导函数）A．②③B．①③C．②④D．①②③【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性∈[−10]()=−【典例分析】已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当，时，.若函数在区间，上的所有零点之和为__________．【提分秘籍】基本规律关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。【变式演练】定义在上的奇函数fx满足f2xfx，且在0,1上单调递减，若方程fx1在0,1上有实数根，则方程fx1在区间1,11上所有实根之和是（）A．30B．14C．12D．62.R的函数f3f0，若曲线已知定义域为x的图像关于原点对称，且fxxfx在6,f6处切线的斜率为4，则曲线yfx在2022,f2022处的切线方程为（）A．y4x8088B．y4x80881101111011C．yxD．yx42423.若函数yf(x)是R上的奇函数，又yf(x1)为偶函数，且-1£x1<x2£1时，[f(x2)f(x1)](x2x1)0，比较f(2017)，f(2018)，f(2019)的大小为（）A．f(2017)f(2018)f(2019)B．f(2018)f(2017)f(2019)C．f(2018)f(2019)f(2017)D．f(2019)f(2018)f(2017)【题型五】画图：放大镜【典例分析】设函数yf(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意xD，都有(xT)Tf(x)，则称函数yf(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数yf(x)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”yf(x)的“似周期”为1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f(x)2x是“似周期函数”；③如果函数f(x)cosx是“似周期函数”，那么“2k,kZ或(2k1),kZ”．以上正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【提分秘籍】基本规律“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大。2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。【变式演练】1.已知函数f(x)满足当x0时，2f(x2)f(x)，且当x(2,0]时，f(x)|x1|1；当0时，f(x)logax(a0且a1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A．(625,)B．(4,64)C．(9,625)D．(9,64)2.R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1]时，f(x)x(x1)．若对设函数f(x)的定义域为任意x(,m]，都有f(x)1，则m的取值范围是（）2310,,2A．B．24510,,2C．D．24定义在上函数q满足fx11fx，且当x0,1时，fx12x1则使得3.R2.fx1在m,上恒成立的m的最小值是（）16A．7B．9C．13D．152244【题型六】利用对称解决恒成立和存在型【典例分析】x1m已知函数f(x)lg(xx21)，且对于任意的x(1，2]，f()f[(x1)2(x6)]0恒成立，则m的取值范围为（x1）A．(，0)B．(，0]C．[4，)D．(12，)【提分秘籍】基本规律常见不等式恒成立转最值问题：（1）xD，f(x)mf(x)minm；（2）xD，f(x)mf(x)maxm；（3）xD，f(x)g(x)f(x)g(x)min0；（4）xD，f(x)g(x)f(x)g(x)max0；（5）x1D,x2M，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max；（6）x1D,x2M，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min；（7）x1D,x2M，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min；（8）x1D,x2M，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max；【变式演练】1.已知函数f(x)2xm（0x1），函数g(x)(m1)x（1x2）.若任意的x0,1，2x1 1，使得fg，则实数m的取值范围为（存在x1,2xx）5B．2,3555A．1,C．2,D．,322.R2x1.3x上的函数，且fx0已知f是定义在x1关于直线对称当时，1x214,0x2，若对任意的xm,m1，不等式f22xfxm恒成立，则fx22logx,x2实数m的取值范围是（）A．1,0B．1,1C．1,D．1,422已知f(x)2sin|x|，x2,1，xe1,e2g(x)|lnx|2m，若对于sin|x|63使得fx1gx2，则实数m的取值范围是_________．【题型七】函数整数问题【典例分析】定义：Nf(x)g(x)表示不等式f(x)g(x)的解集中的整数解之和.若f(x)|log2x|，g(x)a(x1)22，Nf(x)g(x)6，则实数a的取值范围是A．(,1]B．(log232,0)C．(2log26,0]D．(log232,0]4【提分秘籍】基本规律涉及到整数型题，一般要用到奇偶性和对称性，周期性，单调性，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，试题综合度高，没有固定的方法，较难【变式演练】定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(2x)，当x0,2时，f(x)4x28x.若在1.m1区间a,b上，存在m(m3)个不同的整数x(i1,2,...,m)，满足f(x)f(xi1)72，则ba的最小值为i1A．15B．16C．17D．182.f(x)xex2，若关于x的不等已知偶函数f(x)满足f(3x)f(3x)，且当x[0,3]时，式在[150,150]上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（）11331A．(0,e)B．(e,3e)C．(3e,2e1)D．(e,2e1)222223.定义在R上的偶函数fx满足f5xfx3，且fx2x24x,0x1，若关x2lnx,1x4于x的不等式f2xa1fxa0在20,20上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是（）A．1,ln22B．2ln33,2ln22C．2ln33,2ln22D．22ln2,32ln31.（广东省广州市二中、广雅、执信、六中四校2020-2021学年联考）已知函数fxlgcosxx21x，则其图像可能是（）A． B．C．D．2.（安徽省蚌埠市第三中学2020-2021学年5月）设函数f(x)f(32x)2的x取值范围是（）A．(3,)B．(1,)C．(,3)

(x)sinxexexx1，则满足D．(,1)3.（山东省淄博市淄博实验中学2020-2021学年高三上学期第二次模块考试）已知函数fx2sinx，则2020x1111fln1fln2fln3fln2020flnflnfln（）232020A．4038 B．4039 C．4040 D．40414.（黑龙江省绥化市安达市第七中学2020-2021学年9月）已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且满足f(x)f(2x)，当x[0,1]时，f(x)x，则函数F(x)f(x)x4在区间12x[9,10]上零点的个数为（）A．9B．10C．18D．20x1,1x05.（四川省雅安市雅安中学2021-2022学年上学期）已知fxfx11,x0，则函数1gxfx3x32零点的个数为___________.46.（安徽省蚌埠市怀远县第一中学2020-2021学年下学期第一次月考）已知函数f(x)在R上可导，对任意x都有f(x)f(x)2sinx，当x0时，f(x)1，若π2πf(t)ft3cost，则实数t的取值范围为_________337.（福建省龙岩第一中学2022届上学期第一次月考）已知函数f(x)ln(x21)2x2x，则使不等式f(x1)f(2x)成立的x的取值范围是_______________8.（山东省青岛市2021-2022学年高三上学期开学考试）设函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且fxf2x，当x[0,1]时，f(x)x3，则函数g(x)|cosx|f(x)在1,5上所有零点之和为___________. 229.（福建省泉州市2022届高三8月份质检数学试题（一））已知函数fx的定义域为R，x2为偶函数，fx31为奇函数，且当x0,1时，fxaxb．若f41，则1001kfkk12______．10.（甘肃省临夏中学2019-2020学年高二上学期第一次月考）已知anf(0)f(1)f(2)f(n1)f(1)(nN*)，又函数F(x)f(x1)1是R上的奇函2nnn数，则数列{an}的通项公式为（）A．ann1B．annC．ann1D．ann2专题2-3零点【题型一】水平线法：参变分离【典例分析】2x1,x1,已知函数fx{12x函数gxfxm，则下列说法错误的是（）2x,x1,32x3A．若m，则函数gx无零点B．若m，则函数gx有零点22C．若3m3，则函数gx有一个零点D．若m3，则函数gx有两个零点222【提分秘籍】基本规律1.分离参数。得常数函数（含参水平线）2.函数画图，需要运用到复合函数单调性，【变式演练】1.已知函数fx{xx1,x0，若函数yf3x2a恰有三个不同的零点，则42x,x0实数a的取值范围是___2.已知函数|log2|,0<≤2，若函数存在四个不同的零点，则3.()=|log2|,>0,)=()−+1,值范围是A若函数有四个零点零点从小到大依已知函数则的值为．．C．D．【题型二】基础图像交点法【典例分析】设函数f(x)logx(1)x，f(x)log1x(1)x的零点分别为x,x，则（）12222122【提分秘籍】基本规律1.幂、指、对、对勾、双曲等函数之间图像交点。2.可以借助二分法、单调性奇偶性等寻找交点所在区间。【变式演练】1.已知函数f(x)x22ax2alnx(aR)，则下列说法不正确的是（）．．．A.当a0时，函数yf(x)有零点B.若函数yf(x)有零点，则a2C.存在a0，函数yf(x)有唯一的零点D.若函数yf(x)有唯一的零点，则a2．24−4(≤1)ℎ()=()−()2.设，2，则的零点个数是__________3.已知函数f(x)x4k有三个不同的零点，则k的取值范围是__________.x【题型三】分段函数含参【典例分析】已知fxx1,xa，若a0，方程fx0的解集是；若方程fx0的x23x2,xa______解集中恰有3个元素，则a的取值范围是______.【提分秘籍】基本规律属于“动态函数”画图法1.参数在分段函数定义域分界点处。2.函数图像的“动态”讨论点，多从特殊点，交点，单调性改变点，奇偶性等处寻找。3.引导学生多画分解图。【变式演练】x,xm,1.已知函数f(x)＝x22mx4m,xm,其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有（）A．2B．3C．4D．522.aR3a，若函数g(x)f(x)3设，函数f(x)(xa),x0有且仅有个零点，则的x1a,x0x取值范围是___________.3.f(x)3,xa,若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的已知函数x2,xa.x取值范围是（）A．(,1)(0,)B．(,0)(1,)C．(,0)D．(0,1)【题型四】研究直线斜率（临界是切线）寻找交点关系【典例分析】25x3,x1xx已知函数f(x)2,则函数g(x)f(x)的零点个数为21(x2)2,3x1A.1B.2C.3D.4【提分秘籍】基本规律当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。1.交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，这样可以简化一些计算。3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握。【变式演练】1.x24x2,xm，若方程fxx0恰有三个根，那么实数m的取值已知函数fx2,xm范围是（）BCD．1,2．1,2．2,．,1x22x,x02.已知函数fx，若关于x的方程fxax3有四个不同的实数根，则1,x0x实数a的取值范围是（）A．,42B．423,3D．0,423C．0,4233.已函数f(x)22，当x(0,1]时，fxx2，若在区间11，内，f(x1)t______gfxxtx1有两个不同的零点，则实数的取值范围是．【题型五】“放大镜”函数的交点【典例分析】1x,0已知函数fx为偶函数，且当x0时，fx13fx

x11,x1，则当x2,2时，方程fx1x的根有（）个3A．3B．5C．7D．9【提分秘籍】基本规律“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大。2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。【变式演练】x1,1x2,1.定义在(0,)上的函数f(x)满足：①当x[1,3)时，f(x)3x,2x3,f(3x)3f(x).（i）f(6)_____；（ii）若函数F(x)f(x)a的零点从小到大依次记为x1,x2,,xn,，则当a(1,3)时，x1x2x2n1x2n_______.2.已知函数fxlnx，0xe，函数Fxfxax有2个零点，则实数af2ex，ex2e的取值范围是____________．3.sinx,x0,2，下列5__________对于函数fxfx2,x2,个结论正确的是（把你认为正20,，都有fx1fx2确的答案全部写上）．（1）任取x1,x22；4,5（）函数yfx在上单调递增；32kfx2k0,（）fxKN，对一切x恒成立；（）函数yfxlnx1有个零点；（5）若关于x的方程fxmm0有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1x23.【题型六】函数变换：【典例分析】已知函数f(x)2mx,x0，若关于x的方程f(x)f(x)20x有且仅有四个互不相等x22x,x0的实根，则实数m的取值范围是（）A．（-∞，7]B．（6，+∞）C．（2+∞）D．[8，+∞）【提分秘籍】基本规律利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等等函数图像特征性质。【变式演练】x,1x0，若方程fx=2t在区间1,1内有且仅有两个根，则1.设函数fx11,0x1fx1实数t的取值范围是（）1B．,011A．,C．,0D．,022234x,x0,，若关于x的方程2fxfxk0有且只有3个实2.已知函数fx2x2,x0,x数根，则实数k的取值范围是___________.3.xRx已知函数yf(x)对于恒有f(2x)f(x)2，若f(x)与函数g(x)的图像的x1点交为(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)，则(x1y1)(x2y2)...(xnyn)=____________【题型七】对数函数绝对值“积定法”【典例分析】设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【提分秘籍】基本规律对于f（x）=|logax|，|logax|=a若有两个零点，则满足0x11x2x1x2=13.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”【变式演练】1.已知x，x是方程ex2lnx的两个解，则（）12A.0xx1B.1xx1C.1xxeD.xxeee12121212()=()−=02.已知函数，方程有四个不相等的实数根,,,4．<<<．+．ABCD），且满足：，则的取值范围是（已知函数1gxa,0x3，（其中），若f(x)的四个零点从小到lg(6x)a,3x64大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2xi的值是（）1A．16 B．13 C．12 D．10【题型八】高斯函数型【典例分析】设x表示不超过x的最大整数，如11,0.50，已知函数fxxxk(x0)，若方程fx0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）12]23]34]45]A.（，B.（，C.（，D.（，23344556【提分秘籍】基本规律取整函数（高斯函数）1.具有“周期性”2.一端是“空心头”，一端是“实心头”3.还可以引入“四舍五入”函数作对比【变式演练】1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设xR，用x表示不超过x的最大整数，yx也被称为“高斯函数”，例如2,12，33，1,52，设x0为函数fxlog2x31的零点，则x0（）.xA．2B．3C．4D．52.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数yx,xR称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数.设xxx，则函数fx2xxx1的所有零点之和为（）A．1B．0C．1D．23.高斯函数fx[x]（x表示不超过实数x的最大整数），若函数gxexex2的零0点为x，则gfx（）A．1e2B．C．e12D．e212eee22【题型九】与三角函数结合【典例分析】设a∈R，函数f(x)cos2x2a22a25x1xa个零点，则a的取值范围是（）A．（2，9]∪（5，11]442C．（2，9]∪[11，3）44【提分秘籍】基本规律与三角函数结合时，三角函数提供了1.多中心，多对称轴。2.周期性3.正余弦的有界性。4.正切函数的“渐近线”性质

x＜axa，若函数f(x)在区间（0，+∞）内恰有6B．（74，2]∪（52，114]7 11D．（4，2）∪[4，3）【变式演练】1.已知定义在R上的奇函数，满足f(2x)f(x)0，当x0,1时，f(x)logx，若函数Fxf(x)sinx，在区间1，m上有10个零点，则m的取值范围是（）．3.5，4．3.5,4．5,5.5．5，5.52.若函数f(x)x2axcosxa有且只有一个零点，又点P(3a,1)在动直线x21MNm(x1)n(y1)0上的投影为点M若点（，），那么的最小值为__________.3.函数f(x)12sin[(x1)]在x[3,5]上的所有零点之和等于______.x12【题型十】借助周期性【典例分析】1函数fx是定义在R上的奇函数，且fx1为偶函数，当x0，1时，fxx2，若函数gxfxxb恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）2k1，2k12k1，2k5A．，kzB．，kz44224k1，4k14k1，4k15C．，kzD．，kz4444【提分秘籍】基本规律本专题，讲清楚【典例分析】这道题，在周期函数中，与切线的关系。可以利用周期平移对称等距等等函数性质，求出对应的切线截距。当做选择题来分析讲解(虽然本题可以“秒杀”排除）【变式演练】定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)，且当x[1,2]时，f(x)lnxx1，若函数1.g(x)f(x)mx有7个零点，则实数m的取值范围为．1ln2,1ln2ln21,ln21ln21,ln21A．B．8666881ln2,1ln21ln2,ln21C．D．88662.R的奇函数fx满足fx24，已知定义域为x1f3x，当x0,2时，fx则函数yf__________xaaR在区间4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为．2x0x1已知函数yf(x)的定义域是[0,)，满足f(x)x24x51x3,且2x83x4(x4)f(x)a，若存在实数k，使函数g(x)f(x)k在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____1.12（天津市滨海新区2020-2021学年下学期）已知函数f(x)x4x2,x1，函数x1,x12g(x)f(x)kx有三个零点，则k的取值范围是（）111,422A．,0B．,022C．1,422D．1,4222.（多选题）（黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年上学期10月）已知函数14,x0xxk有6个不同的实数根，则实数k的值fxx1，若关于x的方程fx2,x0x可以是（）A．0B．1C．2D．1233（.多选题（）河南省南阳市2018-2019学年下学期）关于x的函数fxx212x21k，给出下列四个命题，其中是真命题的为（）．A．存在实数k，使得函数恰有2个零点；B．存在实数k，使得函数恰有4个零点；C．存在实数k，使得函数恰有5个零点；D．存在实数k，使得函数恰有8个零点；4.11（北京市首师大附中2020-2021学年上学期）给出定义：若xm,m（其中m为22整数），则m叫做与实数x“亲密的整数”记作xm，在此基础上给出下列关于函数(x)xx的四个说法：①函数yf(x)在0,1是增函数；②函数yf(x)的图象关于直线xk2kZ对称；1③函数yf(x)在k,kkZ上单调递增；21④当x0,2时，函数g(x)f(x)2x2有两个零点.2其中说法正确的序号是__________.5.（山东省新泰市第一中学东校2021-2022学年高三上学期第一次月考）已知函数(x)x1|xa|,g(x)ax1，其中a0，若f(x)与g(x)的图像有两个交点，则a的取2值范围是_________6（.贵州省蟠龙高级中学2020-2021学年上学期第二次月考）对于实数a和b，定义运算“”：2ab,ab，设f(x)(2x1)(x1)，且关于x的方程为f(x)m(mR)恰有三a*bab2ab,ab个互不相等的实数根，则m的取值范围是___________.x2x1，x0，7.2（重庆市南开中学校2022届高三上学期第一次月考）设函数fx1x2x，x0211则函数yfxx的零点个数为_______；若gxkx，且函数Fxfxgx22有偶数个零点，则实数k的取值范围是____________．8.（2020届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第五次联考）已知函fx满足fx1x24x1，函数gx{fx4,xm有两个零点，则m的4,xm取值范围为__________．9.（江西省奉新县第一中学2020届高三上学期第二次月考）设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4g(x)2.x(0,2]，的周期为，且f(x)是奇函数当时，k(x2),0x1f(x)1(x1)2，g(x)1，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x,1x22的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.10.（陕西省安康市2021-2022学年上学期期中）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函yx，其中x表示不超过x的最大整数，如1.71，1.22，x表示实数x的非负纯小数，即xxx，如1.70.7，1.20.8．若函数yx1logax（a0，且a1）有且仅有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）．2,3．2,3．3,4．3,411.（多选题）（湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期月考（四））高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如2.13，2.12.已知函数fxsinxsinx，函数gxfx，则（

）AB．函数gx的值域是0,1,2．函数gx是周期函数C．函数gx的图象关于x对称D．方程gxx只有一个实数根2212.（2020届河北省新乐市第一中学高三下学期高考冲刺）已知函数f(x)Asinx，2g(x)k(x7)，(k0)，已知时，函数h(x)f(x)g(x)的所有零点和为2A1__________21A2时，函数h(x)f(x)g(x)的所有零点的和为．专题2-4复合二次型和镶嵌函数的零点【题型一】一元二次复合型基础型：可因式分解则实数()【典例分析】2已知函数，若关于的方程−∞,1−e有且仅有三个不同的实数解，的取值范围是A．B．C．D．【提分秘籍】基本规律1.以f（x）为变量，可转化为一元二次型2.一元二次可通过因式分解，转化为“水平线与f（x）交点型”2()有10个不同的实数解−，则+实数3,0的取≤<值1范围是（）()=−2ln,≥1【变式演练】2[()]+−1()−=01.已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程C．D．A．+1,≠1B．|−1|2.函数2若关于的方程有五个不实数解，则的取值范围是（）3.已知函数=2−1,<1，若关于的方程2+1−2−2=0有4个A数解，则实数的取值范围是（）．B．C．D．【题型二】一元二次复合型：根的分布型−2=0的取值范【典例分析】，若关于的方程22已知函数D．有三个不同的实数解，则A．B．围是（）−11,−∞,21【提分秘籍】基本规律1.“一元二次”系数多参，无法因式分解2.可通过分析f（x）图像，确定“水平线与f（x）”交点情况。进而确定一元二次根的范围3.通过“根的分布”知识转化为不等式（组）求解则的取()=−1()+()+=0【变式演练】1，若关于的方程2B1.已知函数恰有6个不同的实数解，C．D值情况不可能的是（）．，．，的实数解()=，．，−(+2)+3=0aB．(－2－2，2－2)恰好有六个不同2.设函数若关于x的方程332∞)323∞)D(2，＋5−1−1,≥0．－，＋2−2+1+3.设定义域为的函数，若关于的方程2=0有7={+4+4,<0A．B．C．或2D．【题型三】一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型【典例分析】已知1，若关于的方程1恰有3个不同的实数解（为C．对数的底数），则实数的取值范围是（）A．B．【提分秘籍】基本规律对于具有特殊形式的“一元二次型”1、可以通过参变分离求解参数2、可以通过判别式来讨论判断3、可通过求根公式来计算。实数解，则【变式演练】2，设关于的方程2121.已知函数有个不同的的所有可能的值为（）A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6()=[()]+()−=0(∈)则 的所有可能的值构成的集合为______．3.已知则实数

2…，关于x的不等式[f(x)]2f(x)x11(x0)af(x)b20有且只有一个整数解，的最大值是____．【题型四】一元二次复合型（老高考）：线性规划型【典例分析】−+1+1,≤02已知函数，若方程有7个不同2+3．B．(6,9)C．D．(4,13)A(2,6)(2,12)【提分秘籍】基本规律“一元二次型”系数多参，对于根的分布得到的不等式（组），可借助线性规划求解多参式的范围或者最值【变式演练】()−()+=0(≠0)围是1.已知函数有六个不同的3+A．[6,11]B．[3,11]C．(6,11)D．(3,11)2.已知函数()=|ln|,>0，若关于x的方程2−()+=0(,