2024届安徽凤台某中学高中毕业班第一次诊断性检测试题数学试题

2024届安徽凤台一中高中毕业班第一次诊断性检测试题数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（文）=L+cos但+1-PI，则/（X）的极大值点为（)

2(2J

717171

A.B.C.

~376

2.如图，在人ABC中，点。是8c的中点，过点。的直线分别交直线A5,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM，

AC=nAN»则加+〃=()

C.2D.3

3.已知圆f+y2-4x+2），+I=0关于双曲线。：［-m二|（”0力〉0）的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为

（）

A.V5B.5C.在D.-

24

47r

4.如图所示，用一边长为力的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为羊的鸡

蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）

V2-1

R!叵>•+--'---

~T~2

rV6-1»•号

2

¥/，有""")>0成立,己知a=/(ln)),

5.定义在R上的偶函数/（x）,对VN，X2G（-CO,0）,且不

X2~Xl

b=fe,贝!1〃，/?,c的大小关系为（)

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

6.在一个数列中，如果X/〃£N“，都有。，〃+M“+2=2（%为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的

公积.已知数列｛4｝是等积数列，且6=1,生=2,公积为8,则弓+生+…+%020=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

7t

7.已知a满足sina=—，则cos&+a/os；-a

3U)U4

7777

B.-C.——D.——

189189

8.设〃?，〃是两条不同的直线,尸是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若m//a,，〃///,则a!ipB.若〃?_La,则〃_La

C.若mLa,ml/〃，则n_LaD.若a_L尸，加_La，则，〃///

9.已知函数/(x)=2sin(〃回+0）（刃＞0,0＜。＜〃），==o且在（°，乃）上是单调函数，则下列

(2

说法正确的是（）

1(7U\V64-V2

A.co=—1>./---

2I8J2

乃D.函数/（"的图像关于点［芋,0］对称

C.函数在上单调递减

I4/

10.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的。的值为（）

11.已知双曲线二—4二1（。>0,/?>0）的左、右焦点分别为EF,以QF（。为坐标原点）为直径的圆C交

a2b2

双曲线于A8两点，若直线AE与圆。相切，则该双曲线的离心率为（）

A五+3瓜„20+6「3&+2«「3x/2+V6

A.-------B.--------C.---------D.--------

2222

12.如医，正方体ABCD-ABCiR中,E,F,G,〃分别为棱AA、CG、MG、4蜴的中点，则下列各直

线中，不与平面A。。平行的是（）

A.直线麻B.直线G”C.直线EHD.直线

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量〃=（，刀、1）,/?=（2,1）,且=+〃），则，〃=.

14.已知数列｛q｝满足：点（几。〃）在直线2/-），+1=0上，若使4、4、％构成等比数列，则加二

15.已知（2x-l）7="“+a[x+4*2+...+。7，，贝I]a2=.

16.己知四棱锥。一A3co的底面ABC0是边长为2的正方形，且NE48=90。.若四棱锥尸・A"CO的五个顶点在以4

为半径的同一球面上，当必最长时，则/PD4=；四棱锥尸・ABC&的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/.（用=|2]一。|

参考答案

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解题分析】

求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.

【题目详解】

因为f(x)=^x+cos^J^+x\=^x-siftx,

故可得/'(x)=-cosx+g,

令,f'(x)=。，因为xw，

故可得尤=一£或,

33

Z\

则/(X)在区间S、-三单调递增,

在单调递减,在£单调递增,

I33；(32)

故.f(x)的极大值点为一?.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.

2.C

【解题分析】

1一一_______

连接AO,因为。为〃。中点，可由平行四边形法则得AO=](A8+AC),再将其用AM，AN表示.由M、O、N

三点共线可知，其表达式中的系数和?十==1,即可求出加+〃的值.

22

【题目详解】

连接AO,由。为8c中点可得,

]m-n

AO=-(AB+AC)=—AM+-AN,

222

・./、0、N三点共线，

inn.

——+—=1,

22

.\m+n=2.

故选：C

【题目点拨】

本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.

3.C

【解题分析】

将圆V+V—qr+Zy+JO,化为标准方程为，求得圆心为(2,-1).根据圆f+V—4.r+2y+l=0关于双曲线

C：£等=1(〃>02>0)的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，1再根据e=：=Jl+(1J求解.

【题目详解】

己知圆x2+-4x+2y+1=0,

所以其标准方程为：(x—2『+(.y+l)2=4,

所以圆心为(2,-1).

22

因为双曲线C:三一六二1(〃>0力>0),

所以其渐近线方程为y=±2x,

a

22

又因为圆/+丁2_以+2)，+1=0关于双曲线。：三—/=1(〃>()/>())的一条渐近线对称，

则圆心在渐近线上,

所以2=；.

a2

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4.D

【解题分析】

因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为I,又因为鸡蛋的体积为方，所

以球的半径为1,所以球心到截面的距离“=Jill=立，而截面到球体最低点距离为1-且，而蛋巢的高度为!，

V4222

故球体到蛋巢底面的最短距离为!-h-=立J.

2（2）2

点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何

体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解

决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.

5.A

【解题分析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.

【题目详解】

解：对WX],々£（YO,0）,且百户工2，有/（%）>（）

/（X）在X«7）,0）上递增

因为定义在R上的偶函数/（X）

所以/（力在X«0,转）上递减

又因为Iog2,=l0g26>2,1vln〃<2,n,A1

所以〃>4>C

故选：A

【题目点拨】

考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.

6.B

【解题分析】

计算出出的值，推导出。/3=4乂〃£")，再由2020=3X673+1,结合数列的周期性可求得数列｛凡｝的前202()项

和.

【题目详解】

8」

由题意可知4Ml+4+2=8,则对任意的鹿wN*，凡工。，则4。2%=8,•..%=---=4,

a\a2

由%/+1%+2=8，得%+得”+24+3=8，.•.%%+4+2=­，•二％+3=4，

••,2020=3x673+1,因此，q+4+…+/020=673(4+%+4)+4=673x7+1=4712.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

7.A

【解题分析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.

【题目详解】

1

sin«=-,

3

(7i71.71.

?.cos—+acos---a=cos-cos«-sin—sinacos-cosa+sin-sin«

(4J14八44JI44J

[6叵.]1/

=——cosa----sina——cosa+——sina=—(ca-sin2tz)=_(1_2sin"ex']=_1—2x||=—.

(22)[22)2V，2、72|_UJj18

故选：A.

【题目点拨】

本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

8.C

【解题分析】

在A中，a与夕相交或平行；在B中，〃//。或〃ua；在c中，由线面垂直的判定定埋得〃_LQ；在D中，〃，与

夕平行或，〃<=/.

【题目详解】

设相，〃是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则：

在A中，若m//a,，〃///?,则。与夕相交或平行，故A错误；

在B中，若〃z_La,m±/?>则〃//a或〃ua,故B错误；

在C中，若m_La,mHn,则由线面垂直的判定定理得〃_La,故C正确；

在D中，若aJ-夕，机JLa,则〃?与仅平行或"zu/?,故D错误.

故选C.

【题目点拨】

本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.是中档题.

9.B

【解题分析】

根据函数/(X),在(0,4)上是单调函数，确定然后一一验证，

A.若口二；,则f(x)=2sin；x十°,由=彳„3%.fl7t3吟V2.

导5=——，但，­=sin—x—+—工——.B.由

41<8)1k284J2

/(()=&'确定〃x)=2sin停x+爷)，再求解/f-g]验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调

1o7

性判断.D.计算/(今)是否为0.

【题目详解】

因为函数“X),在(0,乃)上是单调函数，

所以二2九，即」22乃，所以OVGKI,

2co

若勿=〈，则/(x)=2sinj：K+8],又因为/g=0,nr4)乃)八口

即，弓尸叫.[(1x、+q=O,解1得°=彳37r，.而

(4、.fl71V2战也、

f-sinx—I----|w，故A错1误a.

(8J(284)2

—AS冗zo71(0

不妨令~^-+。=万,得夕=71———

=sin仿X，小丑,7tc17171八731

得(o^—+(p=2k7r+—^(o^—+(p=2k7r

\8J2T

71712k1

当69X—4-69=2攵兀+一时,所----4-2,不合题意.

843

当口x工+夕=22乃+阴时,2k兀2此时/(x)=2sin：工+等)

co=--+-----

8433

g、i/万1c•/2(不、2")(2(万、2万、7汽瓜+叵

所以7-7=2s,nQX—7+-7=2sin7X+V=2s,n7T=一；一，故B正确•

\O73)\oJ3)12乙

jr,，4jr(兀、

因为xe―兀、一5^+―-e0,—,函数/(x),在0,可上是单调递增，故C错误.

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.

10.C

【解题分析】

根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的〃的值，进而求解"的值，得

到答案.

【题目详解】

3

由题意9CI=—,〃=1,

5

2

第1次循环，〃=—1,〃=2,满足判断条件；

第2次循环，«=1,H=3,满足判断条件；

2

3

第3次循环，«=-,H=4,满足判断条件；

可得。的值满足以3项为周期的计算规律,

所以当〃=2019时，跳出循环，此时附和〃=3时的值对应的"相同，即a=?.

2

故选：c

【题目点拨】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的

关键，着重考查了推理与计算能力.

11.D

【解题分析】

连接C4,AF,可得|EC|=与，在二Ab中，由余弦定理得A尸，结合双曲线的定义，即得解.

【题目详解】

连接C4,AF,

则|。。|=|。|二|。”|=3,目=c，

所以年。=年，|FC|=-|

在放一E4C中，|AE|=0c,cos/ACE=；,

故cosZ.ACF=-cosNACE=--

3

在一Ab中，由余弦定理

AF2=C42+CF2-2CACFcosZACF

国

可得A/=

3

根据双曲线的定义，得/。一逅c=2a,

3

263及+逐

所以双曲线的离心率”

正_"3叵-瓜~2~

故选：D

【题目点拨】

本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

12.C

【解题分析】

充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据EF〃AC判断A的正误.根据6〃//&G，4G//ACf

判断B的正误.根据3//G〃，G〃与相交，判断C的正误.根据A8//RC,判断D的正误.

【题目详解】

在正方体中，因为EF〃AC,所以M//平面ACR,故A正确.

因为打/"£,力£/"「，所以GH//AC,所以G”//平面4cA故B正确.

因为A6//RC，所以4B//平面AC。，故D正确.

因为夕///Q〃，G〃与0c相交，所以E”与平面ACQ相交，故C错误.

故选:C

【题目点拨】

本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解题分析】

根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果.

【题目详解】

由题可知：a•b=2m+1

且=nr+\,b=5

由“力=;(/+/?)

所以2m+1=g(〃2?+1+5)=＞加=2

故答案为：2

【题目点拨】

本题考食向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.

14.13

【解题分析】

根据点在直线上可求得凡，由等比中项的定义可构造方程求得结果.

【题目详解】

（几为）在2x-y+l=0上，.=2«+1,

・.・4，〃4，〃,“成等比数列，二W=6金，即81=3（26+1）,解得，,?2-13.

故答案为：13.

【题目点拨】

本题考杳根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题.

15.-84

【解题分析】

根据二项展开式的通项公式即可得结果.

【题目详解】

解：（2x4）7的展开式通式为：“a（2%厂（-1丫

当r二5时，7；=C^（2X）2（-1）5=-84X2,

则。2=-84.

故答案为：-84

【题目点拨】

本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.

16.90°

3

【解题分析】

易得AB_L平面口。尸点在与BA垂直的圆面。|内运动，显然，PA是圆01的直径时，PA最长；将四棱锥夕-48co

补形为长方体AQGP-ABCQ,易得心为球的直径即可得到尸"从而求得四棱锥的体积.

【题目详解】

如图，由NPA3=90°及/W_LA。，得A8_L平面玄&,

即P点在与BA垂直的圆面。|内运动,

易知，当尸、。]、A二点共线时，以达到最长，

此时，以是圆。1的直径，则NPD4=9();

又所以PD_L平面A5C。，

此时可将四棱锥P-ABCD补形为长方体A^C}P-ABCD,

其体对角线为必=2/<=8,底面边长为2的正方形，

易求出，高PD=2jT4，

故四棱锥体积V=,x4x2拒二汉巴.

【题目点拨】

本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(—co,—]kJ[2,4-co)(2)-8]

3

【解题分析】

(1)依题意可得一|2x+l|22,再用零点分段法分类讨论可得；

(2)依题意可得|4x-a|Nx+2对VxwR恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集

的并集为R,得到不等式即可解得；

【题目详解】

解：(1)若。=1,/(x)=|2x-l|,则/(2幻一/3+1)之2,gp|4x-l|-|2x+l|>2,

当时，原不等式等价于l—4x+2x+lN2,解得入4一1

22

当一不＜刀＜一时，原不等式等价于1—4x—2x—1W2,解得x0-二,所以一二＜工£一二；

24323

当八？,时，原不等式等价于41一1一2元一1N2,解得x22；

4

(\~\

综上，原不等式的解集为-8,-1=[2,十8)；

\3」

(2)/(2x)-xN2即|4%一4工工+2,得4x—aNx+2或4x—a4一x—2,

由4大一6之x+2解得,

a—2

由4x-〃W-x—2解得-XW--,

要使得/(2划一工22的解集为R,贝

JJ

解得8,故〃的取值范围是

【题目点拨】

本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题.

18.(1)证明见解析(2)叵

6

【解题分析】

(1)首先证明CG_LA8,CG工BF,=4,.・.CGJ•平面A3F.即可得到4bu平面八a*CGA.AF.

(2)以0为坐标原点，DA,DC,力E所在的直线分别为x轴、)'轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面4砂

和平面Bb的法向量，带入公式求解即可.

【题目详解】

(1)・・,6_1_平面八88,AB\平面ABC。，：.CFVAB.

又・・•四边形43co是正方形，，44_L8C.

•・•BC1CF=C,工AB上平面BCF.

•・・。6(=平面8。/，・・・。6_1_48.

又•：BC=CF=2,G为8尸的中点，・・・CG_L3厂.

•；AB、BF=B,・・・CG_L平面A8户.

VAFu平面ABF，:.CG±AF.

(2)・・・CTJ_平面ABC。，CF.DE,：.DE上平面ABCD.

以。为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为x轴、)'轴、[轴建立空间直角坐标系.

如图所示:

则。（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,£（0,0』）厂（0,2,2）.

・・・AE=（-2,0,l）,EF=（0,2,1）,DC=（0,2,0）.

设〃=(xy,z)为平面AEF的法向量，

,nAE=00(-2x+z=0

则〈，得＜r八，

n-EF=0[2y+z=0

令X=1,贝=-1,2).

由题意知OC=(0,2,0)为平面8b的一个法向量，

./~〃・DC-2在

•.cosI凡DCI=----------=-7=—=--------,

\7\n\\DC\V6x26

・•・平面BCF与平面AEF所成角的正弦值为J一(—逅了=叵.

【题目点拨】

本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中

档题.

19.⑴⑵小那+〃+1)，出(〃EN)

【解题分析】

(1)当〃22时，利用q=S”—S,-可得'=；(〃之2),故可利用等比数列的通项公式求出｛《｝的通项.

an-\」

(2)利用分组求和法可求数列｛q+"｝的前〃项和Tn.

【题目详解】

(1)当拉=1时，2S]+q=l,所以4=；,

»■

当刀之2时,2s.+?=1,①

25,i+3=1,②

所以2（S〃-S,i）+q-0,

即3q二a〃T，又因为4=：rO,故北工0,所以区=：(〃22),

a

3n-\J

二!，公比为!的等比数列,

所以｛〃”｝是首项q

33

故〃JxQ[=[-1（〃EN'

3⑴⑺,

（2）由％=仇+1得：数列也,｝为等差数列，公差d=l,

々=3x1=1,bn=l+（/?-l）xl=??,

3

7r=（4+4）+3+色）+…+（4+〃）

=（q+生+…+。〃）+屹+%+-+〃）

=S〃+（1+2H--（-/?）

【题目点拨】

本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组

求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么

用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

20.(1)〃〃=5匕(2)证明见解析

【解题分析】

12,

(1)由已知可得一二—+1,构造等比数列即可求出通项公式;

|312I11

(2)当〃22时，由。”＞歹7,可求弓时，由凡＜万=尹，可证S“<Z（〃£N'）,验证"=1,2

JLU

时，不等式也成立，即可得证.

【题目详解】

M1/、八、12

(1)由(二.(〃22)可得,—=——+1,

即，+1=2(,+1],(n>2)

4)

所以」_+1=2、

%

解得/=占，

(2)当”=1时，S[=%=1,

•m,

当，之2时，4>★,

_1_

nf,

c.111.4-231

〃22232",122"

1--

2

31

综上将5¥(〃WN)

由。,>0可得⑸｝递增，

4=1,%=§,〃之3时见<.=声

11

c.1111441111111

322232'"3.1322n~'62M~'6

1--

2

所以，

■•6

综上：S“N)

故。---<S„<—(neN^].

22r"6、)

【题目点拨】

本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.

411

21.(1)a=\-n(n>