《动态规划模型举例》课件

动态规划模型举例本课件将通过几个例子，详细介绍动态规划模型的应用及实现。课程导引课程目标帮助学生掌握动态规划模型的基本思想、应用场景及常见问题类型学习内容动态规划的概念、算法思想、常用技巧及应用举例教学模式理论讲解、案例分析、代码演示、互动练习动态规划概述动态规划是一种将复杂问题分解成多个子问题，并存储子问题的解以避免重复计算的方法。它常用于优化问题，例如寻找最短路径、最优资源分配和最优策略等。使用场景最优路径问题例如，寻找地图上两点之间的最短路径，或者规划物流配送路线。资源分配问题比如，分配有限资源以最大化收益，例如分配生产任务或分配广告预算。决策优化问题例如，在投资组合管理中，选择最佳资产组合以最大化回报。优点与局限性优点解决复杂问题、优化效率局限性空间复杂度高、难以理解算法思想1分解问题将大问题分解成若干子问题2存储结果将子问题的解存储起来，避免重复计算3递推求解利用子问题的解，递推求解原问题状态定义状态定义定义问题每个阶段的特征，用于描述问题求解过程中的状态，例如当前位置、已选物品等。状态定义举例斐波那契数列第n项，背包问题中已选物品的重量，矩阵连乘问题中已连乘的矩阵范围等。状态转移方程1定义状态转移方程描述了从一个状态到另一个状态的转换过程。它基于当前状态和已知信息来计算目标状态的值。2公式状态转移方程通常用数学公式表示，例如：dp[i]=dp[i-1]+cost[i]。其中dp[i]表示第i个状态的值，cost[i]表示从第i-1个状态到第i个状态的代价。3应用状态转移方程是动态规划算法的核心，用于递归地构建最优解。它将问题分解成子问题，并利用子问题的解来计算最终解。边界条件初始状态动态规划算法通常需要一个初始状态，代表问题最基本的情况。特殊情况一些动态规划问题可能需要处理一些特殊情况，比如空串、空数组等。问题求解步骤1确定状态2状态转移方程3边界条件4初始化5遍历状态斐波那契数列动态规划解状态定义dp[i]表示第i个斐波那契数的值状态转移方程dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]边界条件dp[0]=0,dp[1]=1问题求解计算dp[n]即为第n个斐波那契数的值矩阵连乘问题1问题描述给定n个矩阵A1，A2，...，An，要求计算它们的乘积A1A2...An，并找出最优的加括号方案，使得乘法运算次数最少。2动态规划思想将问题分解成子问题，并利用子问题的解来求解原问题，避免重复计算。3状态定义定义状态dp[i][j]表示矩阵Ai到Aj的乘积最少需要的乘法次数。4状态转移方程dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+pi-1pkpj}，其中k∈[i,j-1]5边界条件当i=j时，dp[i][j]=0背包问题1问题描述给定一个背包，容量为C，以及n个物品，每个物品都有重量wi和价值vi。要求选择若干物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，且总重量不超过背包容量。2动态规划求解定义dp[i][j]表示从前i个物品中选取总重量不超过j的最大价值。3状态转移方程dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wi]+vi)最长公共子序列1问题定义求解两个字符串的最长公共子序列2动态规划思想利用子问题的最优解构建问题的最优解3状态定义dp[i][j]表示字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列长度4状态转移方程if(A[i]==B[j])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;elsedp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])5边界条件dp[0][j]=dp[i][0]=0编辑距离定义编辑距离是指将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小操作次数。操作允许的操作包括插入、删除和替换字符。应用广泛应用于拼写检查、文本相似度计算和基因序列比对等领域。股票买卖问题问题描述给定一个股票价格的数组，找出最佳的买卖时机，以获得最大利润。动态规划思路定义状态dp[i]表示在第i天卖出股票所能获得的最大利润。状态转移方程dp[i]=max(dp[i-1],prices[i]-minPrice)边界条件dp[0]=0,minPrice=prices[0]硬币找零问题1问题描述给定不同面值的硬币和一个目标金额，求最少需要多少枚硬币才能凑出目标金额。2动态规划思路定义状态dp[i]表示凑出金额i所需的最少硬币数量，状态转移方程为：dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)。3边界条件dp[0]=0，表示凑出金额0所需硬币数量为0。01背包问题1问题描述给定一个容量为**W**的背包，和**N**个物品，每个物品都有重量**w[i]**和价值**v[i]**。2目标如何选择物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大？3约束每个物品只能选择放入背包或不放入，不能部分放入。完全背包问题1无限物品每个物品可以无限次选择2容量限制背包容量有限制3最大价值求最大总价值多重背包问题1物品数量限制每个物品有固定的数量限制2价值与重量每个物品有对应的价值和重量3背包容量限制背包容量有限，不能装下所有物品分组背包问题1物品分组将所有物品划分为若干个组，每个组中的物品相互独立。2组内选择对于每个组，可以选取该组中的若干个物品，但最多只能选择一个物品。3总体最大价值目标是选取一些物品，使得它们的总价值最大。树型动态规划1树形结构适用于树形结构上的问题2自底向上从叶子节点开始，逐步向上计算3状态表示用节点信息表示状态动态规划的记忆化搜索优化递归记忆化搜索本质上是递归，但它使用一个表来存储已计算过的结果，以避免重复计算。这种方法在递归过程中避免了重复计算，提高了效率。减少冗余通过记忆化搜索，每次遇到重复子问题时，不再重新计算，而是直接从存储表中获取结果，节省了大量的计算时间。动态规划常见问题类型路径规划问题寻找最短路径、最长路径等。背包问题如何选择物品以最大化价值。博弈问题寻找最优策略以赢得游戏。最优子结构性质分解问题将原问题分解成多个子问题，每个子问题的最优解可以用来构建原问题的最优解。组合最优利用子问题的最优解，以某种方式将它们组合起来，得到原问题的最优解。重叠子问题特性动态规划算法中，子问题可能被多次重复计算。重复计算会导致效率低下。动态规划通过保存子问题的解来避免重复计算。动态规划算法模板1定义状态确定问题的子问题，并定义一个状态变量来表示子问题的解。2确定状态转移方程找到当前状态的解与之前状态解之间的关系，并写出状态转移方程。3确定边界条件找到最小子问题的解，作为状态转移方程的初始值。4递推求解根据状态转移方程和边界条件，自底向上递推计算出最终状态的解。动态规划问题求解要点明确问题准确理解问题，确定目标函数和约束条件。分解问题将问题分解成相互重叠的子问题。定义状态用状态变量表示子问题的解。建立状态转移方程描述子问题之间的递推关系。课程总结动态规划是一种强大的算法思想，在解决各种优化问题方面有着广泛的应用。掌握动态规划的思路和技巧，可以帮助我们更高效