专题04 一次函数和反比例函数的应用（测试）-2024年中考数学冲刺复习讲练测（浙江新中考）（解析版）

专题04一次函数和反比例函数的应用

录

■k题型特训•精准提分

题型01一次函数■分配方案问题

题型02一次函数■最大利润问题

题型03一次函数■行程问题

题型04一次函数■几何问题

题型05反比例函数的实际应用

题型06反比例函数和一次函数实际应用

题型07反比例函数与一次函数其他运用

中考逆袭•高效集训

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・题型特训•精准提分

题型01一次函数-分配方案问题

1.[2024•成都模拟）某学校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会.运动会上的参赛

选手努力拼搏、团结进取，展现了新时代学生蓬勃向上的良好精神风貌.为表彰取得优异成绩的参赛选

手，学校计划购入甲、乙两种体育文创产品，已知每件乙种文创产品的价格比每件甲种文创产品的价格

多10元，且用300元购进甲种文创产品的数量与用400元购进乙种文创产品的数量相同.

（1）求甲、乙两种文创产品的单价；

（2）若学校一次性购进甲、乙两种文创产品共200件，且要求购进甲种文创产品的件数不超过乙种文创

产品件数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？求出购买文创产品的最少费用及相应的购买方案.

【答案】（1）30元，40元；

（2）购进甲种文创产品133件、乙种文创产品67件，6670元.

【解析】解：（I）设甲种文创产品的单价是x元，则乙种文创产品的单价是（x+10）元.

根据题意，得刎

xx+10

解得x=30,

经检验，x=30是所列分式方程的解，

30+10=40（元），

・•・甲、乙两种文创产品的单价分别是30元和40元.

（2）设购进甲种文创产品小件,则购进乙种文创产品（200-w）件，

根据题意，得mW2（200-77/）,

解得〃忘刎（”为整数）.

3

设购买这些文创产品的费用为W元，则W=30〃?+40（200-〃?）=-10w+8（）（X）.

V-10<0,

・・・W随，〃的增大而减小，

工当〃7=133时，W取最小值，W^=-10X133+8000=6670,

此时购进乙种文创产品200-133=67（件），

・•・购进甲种文创产品133件、乙种文创产品67件才能使费用最少，最少费用为6670元.

2.（2024•蒲城县模拟）【项目情境】

校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业

发展和学校教育水平的提高.为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要卬刷一批校本研修（听课）

记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示.设印制数量为份），甲、乙两个

印刷厂的收费分别为“（元）和”（元）.

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【项目解决】

目标1:确定甲、乙两厂的收费标准.

（1）分别求），1、”关于X的函数表达式.

目标2：给出最终选择方案.

（2）根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂?

（2）印制数量大于2500本时，选择乙厂；印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于

2500本时，选择甲厂.

【解析】解：（1）由图象可知，甲厂每本收费400・1000=0.4（元），

.,.yi=0.4x；

设”=匕+瓦把（0,500）,（1000,700）代入得:

fb=500

11000k+b=700

解得2,

lb=500

A3?2=0.2X+500：

（2）当f>”，即0.4x>0.2r+500时，

解得：x>2500,

・•・印制数量大于2500本时，选择乙厂：

当y\=”，即0小=02计500时，

解得：x=25OO,

・•・印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；

当>'1V”，即04EV02r+5（）（）时，

解得：x<2500,

・•・印制数量小于2500本时，选择甲厂：

答：印制数量大于2500本时，选择乙厂；印制数最为2500本可，选择两个厂都一样；印制数量小于2500

本时，选择甲厂.

4.（2024•沈丘县一模）某校准备购买一批羽毛球拍和羽毛球对歌咏比赛获奖学生进行奖励，团委王老师经

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过调研发现购买2副羽毛球拍和3盒羽毛球需花费290元，购买3副羽毛球拍和2盒羽毛球需花费360

元.

（1）求每副羽毛球拍和每盒羽毛球的价格.

（2）本次歌咏比赛的获奖学生共50名，学校决定获得一等奖奖励一副羽毛球拍，二等奖奖励一盒羽毛

球，本次比赛只设一、二等奖，且一等奖人数不超过二等奖人数的工，设羽毛球拍购买x副，则羽毛球

3

拍最多购买多少副？

（3）现有两家文体公司售卖羽毛球拍和羽毛球，两家公司售价与（1）中的价格相同，且两家公司均在

做让利活动，方案如下：

甲公司：所有商品一律打八折.

乙公司：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球.

①设羽毛球拍购买x副，学校若在甲公司购买需花费），1元，若在乙公司购买需花费中元，求出V，*

关于x的解析式；

②若只在一家公司购买，学校应选择哪家公司最合算？

【答案】（1）每副羽毛球拍和每盒羽毛球的单价分别为100元和30元；

（2）羽毛球拍最多购买12副；

（3）①从甲公司购买时），1关7x的函数关系式为yi=56.什1200；从乙公司购买时”关于K的函数关系

式为），=40x+1500；②学校应选择在甲公司购买最合算.

【解析】解：（1）设每副羽毛球拍和每盒羽毛球的价格分别为。元和》元，

依题意得，俨+3b=290,

l3a+2b=360

解得卜=100.

lb=30

答：每副羽毛球拍和每盒羽毛球的单价分别为10（）元和30元；

（2）设羽毛球拍购买x副球，则羽毛球购买（50-x）盒，

依题意得，xW2（50-x）,

3

解得xW至，

2

为整数，

・•・羽毛球拍最多购买12副；

（3）①从甲公司购买的费用:yi=[100x+30（50-x）JX80%=56x+1200.

从乙公司购买的费用：”=10。计30（50-x-x）=40A+1500

，从甲公司购买时户关于x的函数关系式为户=56x+1200：从乙公司购买时"关于x的函数关系式为1y

=40x+1500；

②当yiV”时，即56X+12（X）＜40.¥+150（）,

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解得xV18.75,

・••当xW18时，到甲公司购买更划算；

当），1=”时，即56,1+1200=4（lv+1500,

解得x=18.75.

•・"为整数，

・•・甲、乙公司的花费不会相同；

当yi>y2时，W56x+1200>4（h-+1500,

解得Q18.75：

・••当xN19时.，到乙公司购买更合算.

•.•（XW空，

2

・•・学校应选择在甲公司购买最合算.

5.（2024•驻马店一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今己有四千多年的历史.中

国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施

后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋.其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，

已知购买1副象棋比I副围棋少花10元.（1）求每副象棋和围棋的单价；

（2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和机（/〃220）副

中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：方案一：购买围棋超过20副时，超

过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；

方案二：按购买总金额的八折付款.

分别求出按照方案一、二购买的总费用户、”关于相的函数关系式：

（3）若选择方案二购买更合算，求机的取值范围.

【答案】（1）每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是3（）元.

（2）yi=40w+12（X）；*=32/〃+1600.

（3）当〃?>5（）时，该校选择方案二更划算.

【解析】解：（I）设每副象棋的价格是〃元，每副围棋的价格是〃元.

依题意有（4°a+20b=2600,

la=b-10

解得:（a=40,

lb=50

答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元；

（2）设选择方案一所需的费用为），i元，选择方案二所需的费用为），2元.

根据题意得：yi=40X50+40（w-20）=40w+1200；

y2=（40/^+40X50）X0.8=32/w+1600；

（3）•・•选择方案二购买更合算，

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.\y\>y2,

・・・40〃?+1200>32m+1600,解得m>5（）.

答：当小>50时.，该校选择方案二更划算.

6.（2023秋•宿松县期末）2023年12月18F1甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损

失.为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A

镇100吨，调往灾区B镇400吨.已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元;

从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元.

（1）设从甲县调往4镇水泥/吨，求总运费），关于x的函数关系式；

（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

【答案】（1）y=-201+29000（OWxWlOO）；

（2）从甲县分别调往A镇和6镇水泥各100吨，从乙县将300吨水泥全部调往4镇，27000元.

【解析】解：（1）根据题意可知，从甲县调往B镇水泥（20（）7）吨，从乙县调往人镇水泥（100-x）

吨、调往8镇水泥（x+200）吨，

Ay-40.r+80（200-x）+30（100-x）+50（x+200）--20A+29000,

・•・），关于x的函数关系式为y=-20x+290（X）（OWxW100）.

（2）Vy=-20x+29000（04W100）,

・•・），随x的增大而减小，

当x=100时，），取最小值，y的最小值为y=-20X100+29000=27000,

・••从甲县分别调往A镇和B镇水泥各100吨，从乙县将3（X）吨水泥全部调往B镇，可使总运费最低，最

低运费是27000元.

题型02一次函数.最大利润问题

I.（2023秋•端州区期末）2023年杭州亚运会期间，吉祥物徽章受到了众多人的喜爱.某网店直接从工厂

购进A款礼盒120盒，B款礼盒5。盒，两款礼盒全部售完.两款礼盒的进货价和销售价如下表：

类别

8款礼盒

进货价（元/盒）3025

销售价（元/盒）4533

（1）求该网店销售这两款礼盒所获得的总利润.

（2）网店计划用第一次所获的销售利润再次去购买A、8两款礼盒共80盒.该如何设计进货方案，使

网店获得最大的销售利润？最大俏售利润是多少？

【答案】（1）该网店销售这两款礼盒所获得的总利润为2200元；

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（2）该网店购进A款礼盒和B款礼盒各40盒网店获得最大的销售利润，最大利润为920元.

【解析】解：（1）120X（45-30）+50（33-25）=1800+400=2200（元），

答：该网店销售这两款礼盒所获得的总利润为2200元；

（2）设购进x盒A款礼盒，则购进（80-x）盒8款礼盒，网店所获利润为），元，

根据题意得：y=（45-30）x+（33-25）（80-x）=7.r+640,

XV30x+25（80-x）<2200,

，xW40,

V7>0,

・•・），随x的增大而增大，

・••当x=40时，y有最大值，最大值为920,

・•・该网店购进A款礼盒和B款礼盒各40盒网店获得最大的销售利润，最大利润为920元.

2.（2024•天河区校级一模）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57万

元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，

B型每台售价3200元，预计销售额不低于12.32万元.设人型电脑购进x台、商场的总利润为,，（元）.

（1）请你设计出进货方案；

（2）求出总利润），（元）与购进人型电脑汇（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最

大，最大利润是多少元？

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）设A型电脑购进上台，则4型电脑购进（40-x）台，由题意，得

/2500X+2800（40-xX105700

3000x+3200（40-x）>123200,

解得：21WxW24,

•・”为整数，

，x=21,22,23,24

・••有4种购买方案：

方案I：购A型电脑21台，B型电脑19台；

方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；

方案3：购A型电脑23台，8型电脑17台：

方案4：购A型电脑24台，4型电脑16台；

（2）由题意，得

y=（3（X）0-2500）x+（3200-28（X））（40-x）,

=5001+16000-400A-,

=100x+16000.

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•••k=100>0,

・•・），随X的增大而增大，

1・x=24时,yA4x=18400元.

答：采用方案4,即购A型电脑24台，B型电脑16台的利涧最大，最大利润是18400元.

3.（2024春•夏邑县月考）剪纸是我国古老的民间艺术之一.作为一种镂空艺术，剪纸能在视觉上给人以透

空的感觉和艺术享受.某经销商在某网店选中A,B两种剪纸作品，决定从该网店进货并销售.两种剪

纸作品的进货价和销售价如表：

4种剪纸作品3种剪纸作品

进货价（元/件）3040

销售价（元/件）3550

（I）该经销商用680元购进了A,B两种剪纸作品共20件，求两种剪纸作品各购进多少件.

（2）该经销商计划再次购进两种剪纸作品共33件，其中8种剪纸作品的进货量不超过A种剪纸作品进

货量的2倍.该经销商应如何设计进货方案才能在两种剪纸作品全部售出后获得最大利润？最大利润是

多少？

【答案】（1）A剪纸作品购进20个，8剪纸作品购进10个；

（2）按照A剪纸作品购进11个、8剪纸作品购进22个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是440

元.

【解析】解：（I）设4剪纸作品购进x个，8剪纸作品购进（20-x）个，由题意得：

3O,V+4O（20-x）=680,

解得：x=12,

20-12=8（个）.

答：A剪纸作品购进20个，B剪纸作品购进10个；

（2）设第二次A剪纸作品购进〃个，8剪纸作品购进（33・〃）个，获利），元，由题意得：

产（35-30）a+（50-40）（33-a）=-5。+495,

•・・B种剪纸作品的进货量不超过A种剪纸作品进货量的2倍，

；・33-

解得；11>而aW33,

•・j，=-5。+495,

:・k=-5<0,

随。的增大而减少.

.,.4=11时，y城大=-5X11+495=440（元），

・・・B剪纸作品为：3371=22（个）.

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答：按照A剪纸作品购进11个、B剪纸作品购进22个的方案进货才能获得最大利涧，最大利润是440

元.

4.（2024•凉州区一模）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种

品牌空调的进价高20%,用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台.

（1）求甲、乙两种品牌空调的进货价：

（2）该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价

为2500元/台，乙种品牌空调的售价为3500元/台.请你帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台

空调后获利最大，并求出最大利润.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）设甲种品牌空调的进货价为x元/台，则乙种品牌空调的进货价为L2x元；台，

根据题意得：7200__3000_=2>

1.2xx

解得：x=1500,

经检验，x=1500是原分式方程的解，

.*.L2v=l5（X）X1.2=1800.

答：甲种品牌空调的进货价为1500元/台，乙种品牌空调的进货价为1800元/台.

（2）设购进甲种品牌空调。台，所获得的利润为），元，则购进乙种品牌空调（10-。）台，

根据题意得：1500。+1800（10-。）<16000,

解：心”

3

・・・aW10,且。为正整数,

:.a=7,8,9,10.

Vy=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-«）=-700〃+17000,其中女=-700<0,

・•・），的值随着。的值的增大而减小，

・•・当。=7时，），取得最大值，此时y=-7X700+17000=12100.

答：进货方案为：购进甲种空调7台，乙种空调3台，可获得最大利润，最大利润为12100元.

5.（2023秋•货池区期末）随着''低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交

通工具.某汽车销售公司计划购进-•批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆4型汽车、3辆3型汽车

的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元.

（1）求4、8两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？

（2）若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元

全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来；

（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，俏售1辆8型汽车可获利0.5万元，在（2）

中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？

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【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）设A、△两种型号的汽车进价分别为x万元、y万元.

根据题意，w（2x+3y=11°,解得产5

l3x+2y=115ly=20

答：A、B两种型号的汽车进价分别为25万元、20万元.

（2）设A、8两种型号的汽车分别购进〃辆和〃辆.

根据题意，得25a+20/?=400,^b=20-—•

4

•・•两种型号的汽车均购买，且心〃均为正整数，

#4或卜=8或卜=12,

b=15b=10b=5

・••共有以下3种购买方案：

方案1：A型号的汽车购进4辆，6型号的汽车购进15辆;

方案2：A型号的汽车购进8辆，8型号的汽车购进10辆;

方案3：A型号的汽车购进12辆，6型号的汽车购进5辆.

（3）方案1可获利:0.8X4+0.5X15=10.7（万元）；

方案2可获利：0.8X8+0.5X10=11.4（万元）;

方案3可获利：0.8X12+0.5X5=12.1（万元）；

V10.7<11.4<12.1,

工方案3获利最大,最大利润是12.1万元.

6.（2023秋•阜阳期末）商店销售1台4型和2台8型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电

施的利润为350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型

电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润），元.

（1）①求），关于X的函数关系式；

②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

（2）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调了机（0V〃?W50）元，且限定商店最多的进4型电脑70

台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及12）中条件，设计出售这100台电脑销售总

利润最大的进货方案.

【答案】（1）①1=-50x+15000,

②商店购进34台A型电脑和66台5型电脑的销售利润最大.

（2）①当0VmV50时,商店购进34台A型电脑和66台8型电脑的销售利润最大.

②加=50时，商店购进A型电胸数量满足332WxW70的整数时，均获得最大利润.

3

【解析】解：（1）设每台A型电脑销售利润为。元，每台8型电脑的销售利润为。元；根据题意得

fa+2b=400

I2a+b=350

第io页共57页

解得卜=100

IOOA+150(100-x),即y=-5Ox+l5O()O,

②据题意得，IOO-xW2x,解得工2332，

3

Vy=-50x+15000,-50<0,

・・・y随x的增大而减小，

•・3为正整数，

・•・当x=34时，y取最大值，则100-x=66,

即商店购进34台A型电脑和66台8型电脑的销售利润最大.

(2)据题意得,y=(100+m)x+150(100-%),即y=(m-50)x+15000,

3

①当0V〃?V50时，.v随x的增大而减小，

・••当x=34时，y取最大值，

即商店购进34台人型电脑和66台B型电脑的销售利润最大.

②加=50时，m-50=0,>>=15000,

即商店购进4型电脑数量满足332WxW7O的整数时，均获得最大利润.

3

题型03一次函数.行程问题

I.(2024•浙江模拟〉已知人，B两地相距90Q〃，甲、乙两人沿同一条公路从人地出发到B地，乙骑自

行车，甲骑摩托车.图中OF、折线O-E-C分别表示甲、乙离开4地的路程s(km)与时间/(h)的

函数关系的图象，根据图象填空:

(1)甲、乙两人相遇前乙的速度为20kmfh,相遇后乙的速度为30k而h；

(2)求甲离开A地的路程s(km)与时间/(A)的函数表达式;

(3)若甲、乙两人之间的距离表示为)，(切?)，请在图2中画出距离》(km)与时间t(/?)的函数关系

图象.

Ay/km

60---r-

50一.1

40---r-

30---*--

20--7-

10—；

60.5I1.522.533.5Th

图2

第II页共57页

【答案】(1)20切?〃?，30km/h；

c_(0(0<t<l)

(2)s一；

l60t-60(l<t<2.5)

(3)图象见解答.

【解析】(1)根据图象，甲、乙两人相遇前乙的速度为30・1.5=20(km/h),相遇后乙的速度为(90-

30)-r(3.5-1.5)=30(痴〃D.

故答案为:20kmJh,3()km/h.

(2)设甲离开4地的路程s与时间，的函数表达式为尸七+b*、〃为常数，且20).

将坐标E(1.5,30)和产(2.5,90)代入s=kf+b,

‘1.5k+b=30

2.5k+b=90

解得”:60.

lb=-60

.*.5=60/-60,

当s=0时，得60L60=0,

解得f=1,

•••1W/W2.5,

・••当1WW2.5时,甲离开A地的路程s与时间/的函数表达式为S=60L60(1W/W2.5),

・•・甲离开4地的路程s与时间r的函数表达式为

l60t-60(l<t<2.5)

(3)设OE对应的s与1之间的关系式为s=%/(匕为常数，且内关0).

将坐标E(1.5,30)代入S=粒，

得1.5内=30,

解得后=20,

；・OE对应的s与/之间的关系式为s=20f(0W/W1.5)；

设EC对应的s与/之间的关系式为s=Q/+加(幻、历为常数，且QK0).

将坐标£(1.5,30)和C(3590)代入s=>f+加,

1.5ko+b1=30

得I21,

3.5k2+bi=90

rk=30

解得19,

bp-15

；・EC对应的s与f之间的关系式为s=30/-15(1.5</<3.5).

综上，乙离开A地的路程S与时间1的函数表达式为5=(20t(0<t<l,5)

130t-15(1.5<t<3.5)

当0W/M1时，y=20r；

第12页共57页

当1V/W1.5时，y=20t-(60r-60)=-40/+60：

当1.5V/W2.5时，y=60f-60-(30/-15)=301-45：

当2.5V/W3.5时,y=90-(30?-15)=-30/+105.

r20t(0<t<l)

,_-40t+60(l<t<1,5)

琮上尸30t-45(1.5<t<2.5)'

-30t+105(2.5<t<3.5)

其图象如图所小：

2.（2024•伊通县一模）在一条笔直公路上A、B两地相距120h〃，甲骑自行车从A地驶往8地，乙骑自行

车从8地驶往A地，甲比乙先出发.设甲、乙两人距A地的路程为y（千米），甲行驶的时间为小时）,

y与x之间的关系如图所示.

（1）甲骑自行车的速度是20千米/小时，乙骑自行车的速度是3千米/小时；

（2）求乙骑自行车距A地的路程），（千米）与甲骑自行车行独的时间％（小时）之间的函数关系式；

（3）当甲、乙两人相距20千米时，直接写出x的值.

【答案】（1）20.30：

（2）乙骑自行车距A地的路程y（千米）与甲骑自行车行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为y=

，120（0<x<l）

-30x+150（l<x<150）：

（3）当甲、乙两人相距20千米时，工=里或x=2L

55

【解析】解：（1）甲骑自行车的速度是殁=20（千米/小时），乙骑自行车的速度是3=30（千米/小时）,

35-3

故答案为：20,30：

第13页共57页

（2）•・•乙骑自行车的速度是30千米/小时，

・•・乙从8地驶往4地所需时间为坨=4（小时），

30

•・•乙比甲晚出发1小时，

当OWxVl时，y=12O；

当时，设），与x的函数解析式为），=丘+4

把（1,120）,（5,0）代入），=履+力得：付b=120,

5k+b=0

解得（k=-30,

lb=150

・•・），=-3Ox+15O,

综上所述，乙骑自行车距A地的路程y（千米）与甲骑自行车行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为

=J120（0<x<l）

‘I-30x+150（l<x<150）：

（3）根据题意甲车距A地的路程），与行驶时间r的函数解析式为y=20心

•・•两车相距20km,

A|-30x+150-20x|=20,

即-5OA+15O=2O或-5O.v+15O=-20,

解得或

55

,当甲、乙两人相距2。千米时，、=里或

55

3.（2024•和平区一模）甲，乙两人骑自行车从A地到8地.甲先出发骑行3h〃时，乙才出发：开始时，两

人骑行速度相同，后来甲改变猗行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后2.8人甲到达4地.下面

图中x表示乙骑行时间，），表示骑行的距离，图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系.

（I）乙比甲提前0.4万到达B地,乙的骑行速度为15km/h,f值为1/7；

（II）求甲骑行过程中，），关于工的函数解析式；

（III）乙到达8地，此时甲离地的路程为4km；

（IV）在甲到达B地前，当x=1.2力或2%或2.6万h时，甲乙两人相距2km.

第14页共57页

Ay/km

36

ot2.42.8x/h

【答案】(I)0.4,15,1；

(ID甲骑行过程中，)，关于k的函数解析式为产(15x+3,号,1)

110x+8(l<x<2.8)

(III)4；

(IV)1.2力或2力或2.6.

【解析】解：(I)由图象知，乙比甲提前2.8・24=0.4(〃)到达，

乙的速度为36+2.4=15(千米/时)，

•・•开始时，甲、乙两人骑行速度相同，

・•・片经3=1,

15

・•・，的值为1,

故答案为：0.4,15,1；

(II)当OWxWl时,由题意得：y=\5x+3；

当1VXW2.8时，设y关于x的函数解析式为)，=履+力，

把(1,18),(2.8,36)代入产质+力得4"=18,

12.8k+b=36

解得"=1°，

lb=8

.,.)，=10.v+8,

综上所述，甲骑行过程中，)，关于x的函数解析式为尸(15x+3,吃£1)

llOx+8(l<x<2.8)

(III)由图象可知，/=2.4时，乙到达B地，

在丁=10x+8中，令x=2.4得,=10X2.4+8=32,

736-32=4(千米)，

・•・乙到达8地后，甲离B地4千米.

故答案为：4；

(IV)•・•乙的速度为15千米〃、时，

第15页共57页

・•・乙骑行过程中，y关于X的函数解析式为y=\5x,

①甲、乙两人相遇前后相距2k”，

则|10x+8-15.r|=2,

解得x=1.2或x=2；

②乙到达3地后，甲、乙相距2E】，

则x=2.4+曲=2.6.

2

综上所述，当％=1.2人或2人或2.6/1时,甲乙两人相距2%.

故答案为：1.2〃或2力或2.6.

4.（2024•西平县一模）周末，小阳一家人准备去离家7.5M?的公园野餐，小阳和爸爸为了锻炼身体骑自行

车以25团?〃?的速度从家先出发，12〃〃力后妈妈带着户外野餐装备从家开车沿同一条路追赶小阳，小阳到

达公园3/〃加后妈妈赶到.如区①是小阳一家所走路程y（单位：Q〃）关于出发时间x（单位："而）的函

数关系图象.

（1）求点3的坐标:

（2）求线段AC对应的函数表达式，并写出自变的取值范围;

（3）请在图②中画出小阳和妈妈之间的距离（单位：km）关于出发时间x（单位：疝〃）的函数图象.

y/km.

6

5

4

3

2

1

O3691215182124x/min

②

【答案】（1）点8的坐称为（18,7.5）；

（2）线段AC对应的函数表达式为尸》10（124W21）；

（3）画出函数图象见解答过程.

【解析】解：⑴V7.54-25X60=18（min）,

，点8的坐称为（18,7.5）；

（2）•门2〃”〃后妈妈带着户外野餐装备从家开车沿同•条路追赶小阳，小阳到达公园3min后妈妈赶到,

：.A(12,0),C(21,7.5),

设线段AC对应的函数表达式为）=心+4

.（12k+b=0

'l21k+b=7.5,

第16页共57页

解得「6,

b=-10

・•・线段4c对应的函数表达式为产区-10（I2WXW2I）；

6

（3）当x=（）时v'=0,当工=12时），'=至乂12=5,当工=18时0=7.5-7.5=（18_12）=2.5；

6021-12

当x=21时，y=o,

画出函数图象如下：

5.（2023•临潼区一模）涛涛同学蔚共享单车保持匀速从家到博学书店买书，选好书付好款后，以相同的速

度原路骑共享单车返回家中.设涛涛同学距离家的路程为y（〃?），运动时间为x（〃〃力），），与x之间的函

数图象如图所示.

（1）a=14.

（2）在涛涛同学从书店返回家的过程中，求），与x之间的函数关系式.

（3）在涛涛从家里出发的同时，小波同学以60〃"〃丽的速度从博学书店匀速步行去涛涛家，当小波同学

与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间.

【解析】解：（1）根据题意，24-10=14,

・・・。=14,

故答案为：14.

（2）设），与x的函数解析式为：），=区+儿

代入（14,2000）,（24,0）,

第17页共57页

得114k+b=2000

l24k+b=0

解得(k=-200,

b=4800

・••函数解析式为：)，=-200卢4800.

(3)设涛涛同学从家里出发x〃”〃，与小波同学相遇，

则有(200+60)x=2(X)0,

解得

13

工涛涛同学经过期〃〃力与小波同学相遇.

13

题型04一次函数.几何问题

1.如图1，一个长方体铁块放置在高为60o〃的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容

器为止.容器顶部离水面的距离y(c〃?)与注水时间x(〃〃加之间的函数图象如图2所示.

(1)求线段8。的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)若注水速度为每分钟1500O〃3,求长方形铁块的体积.

(2)600(W.

【解析】解：(1)设线段8。的函数解析式：y=kx^b(^0),

将点8(4,40),C(12,20)代入解析式，

得［4k+b=40

312k+b=20，

解得K2,

b=50

・・・3。的解析式：y=1^i+50,

2

当y=0时，一|x+50=0,

解得4=20,

第18页共57页

・•・自变量X的取值范围是：4WxW20,

，线段BD的解析式：y=莒计50(40W20)；

2

(2)由图象可知,容器顶部离水面的距离由60c〃?到40cm用时4分钟，由40cm到20cm用时8分钟,

乂•・•注水速度为每分钟I5OOC77『，

，长方体铁块的体积=(8-4)X1500=6000(cw3),

答：长方体铁块的体积为600W〃P.

2.如图，在长、宽分别为8〃?，6川的长方形场地中，先沿平行宽方向划一块宽度为x(〃?)的小长方形场地

(如图乙)，再沿平行长方向划一块宽度为2机的小长方形场地(如图甲)，剩余部分为丙地块，甲、乙、

丙地块分别种植不同价格的花卉，如表，且丙场地种植花卉的面积不小于甲、乙场地种植花卉的面积和

的2,设甲、乙、丙场地种植花卉的总价为卬元.

3

(1)当0cxW3时，求卬关于x的函数表达式.

(2)若wWllOOO,请根据提供的信息，求x的取值范围.

当0<xWx>3时，

3时，花卉花卉的单

的单价价(元/平

(元/平方方米)

米)

甲100110

乙300270

丙200220

8m*

【答案】(1)当0<xW3时，w关于x的函数表达式为印=80(k+8000；(2)x的取值范围为0vxW3.2.

【解析】解：(1)由题意，得卬=100X2(8-x)+300X6x+200X4(8-x)=800.v+8000,

:.当0VxW3时,w关于x的函数表达［1为M,=800;t+8000；

(2)①当0«时，把卬=800x+8000代入wW11000,

得800x+8000W11000,

第19页共57页

解得xW3.75,

XV4(8-x)■铲(8-x)+6x］,

解得：xW3.2,

・・・0VW3；

②当x>3时、

vv=H0X2(8-x)+270X6x+220X4(8-x)=520x+8800,

当wW11(X)()时，得520x+8800<11000,

解得xW4&,

13

由・・"W3.2,

・・・3VXW3.2.

综上：x的取值范围为OVxW3.2.

3.将一些相同规格的长方形纸按图①所示方法粘合起来，粘合部分的宽相等.某学校数学综合与实践小组

从函数角度进行了如下探尢：

图①

［观察测量］数学综合与实践小组通过观察测量，得到如表：

长方形纸x(张)12345

总长度y(厘米)1525354555

［探究发现］①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示长方形纸张数x,纵轴表示粘合后的总长度,，，描

出以表格中数据为坐标的各点.

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对

应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由.

［结论应用］应用上述发现的规律计算：

①当x=20时，粘合后的纸条总长度)，为205厘米.

②粘合后的纸条总长度)，为505厘米时，需使用长方形纸50张.

第20页共57页

y（厘米）

5

)5-

5卜

4)(5)

一

40-

35

-

30

-

25

2-

0-

15

1-

O-

5-

0123456789i（张）

图②

【答案】［探究发现］

①描出以表格中数据为坐标的冬点见解答过程；

②上述各点在同一条直线上，这条直线对应的函数表达式是），=10"5：

:结论应用］

①205；

②50.

【解析】解：［探究发现］

①描出以表格中数据为坐标的各点如图：

y（屋米）

551

501

451

401

351

3()1

251

201

151

1(5)1

0123456789工（张）

②上述各点在同一条直线上，

设这条直线对应的函数表达式是履+〃，将（1,15）,（2,25）代入得：

（k+b=15,解得（k=9

2k+b=25b=5

答：这条直线对应的函数表达式足,=10广5；

［结论应用］

①在>'=IOA+5中，令x=20得>*=205,

故答案为：205；

②在y=10x+5中，令），=505得x=50,

故答案为：50.

题型05反比例函数的实际应用

1.（2024•扶沟县一模）呆商家设计了一个水箱水位自幼报警仪，具电路图如图1所示，具中定值电阻R\

第21页共57页

=ion,R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水

平，承受水压的面积S