2025年中考数学一轮复习之无理数与实数

第1页（共1页）2025年中考数学一轮复习之无理数与实数一．选择题（共10小题）1．在1，﹣2，3，0四个数中最小的数是（）A．1 B．﹣2 C．3 D．02．若m=(12+A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．4和5之间3．设实数7的整数部分为a，小数部分为b．则b2+2ab的值为（）A．1 B．47-5 C．3 D．﹣4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积S=14[a2b2-(a2+b2-cA．2 B．3 C．4 D．55．下列四个实数中，最小的数是（）A．2 B．﹣3 C．-2 D．6．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是（）填空：①﹣1的倒数是1；（×）②1的平方根，立方根都等于它本身；（√）③(-④|1-⑤3-A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．0＜a＜b B．|a|＝|b| C．ab＞0 D．a﹣b＞08．在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那么x的值是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝46 D．x＝﹣469．如图，在数轴上，点O对应数字0，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB＝4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间10．116A．14 B．-14 C．12二．填空题（共5小题）11．请写出一个大于2且小于3的无理数．12．设n为正整数，若n的整数部分是1，则n的值可以是.（写出一个即可）13．比较大小：5-114．已知a+1与|b﹣2|互为相反数，ab＝15．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n=m2+m+n，当m＞n时n2+m三．解答题（共5小题）16．计算：(-17．【观察思考】如图是由长度为1cm和2cm【规律发现】请用含n的式子表示：（1）第n个图案中需要2cm长的线段的条数为；（2）第n个图案中需要1cm长的线段的条数为；【规律应用】（3）若要组成一个面积为100cm2的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？18．如图，是一条不完整的数轴，点A、B、C对应的实数分别为a、b、c，AB＝6，c＝﹣1，其中2a、﹣b与c的和记为M．（1）若a＝4，求M的值；（2）若a＝2x，5≤M＜9，求满足条件的x的整数解．19．小杰计算2cos小杰的计算是否正确？若正确请在框内打“√”，直做第20题；若错误．请指出错误：.（从“①”“②”“③”中选填），并写出你的解答过程．20．计算：(1

2025年中考数学一轮复习之无理数与实数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在1，﹣2，3，0四个数中最小的数是（）A．1 B．﹣2 C．3 D．0【考点】实数大小比较；算术平方根．【专题】实数；推理能力．【答案】B【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣2＜0＜1＜3∴在1，﹣2，3，0四个数中最小的数是﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．若m=(12+A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，并进行化简，然后估算2+2【解答】解：∵m=12=12×=4=2+2∵11＜∴2+1＜3＜∴3＜m＜4，∴m的值应在3和4之间，故选：A．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和如何估算无理数的大小．3．设实数7的整数部分为a，小数部分为b．则b2+2ab的值为（）A．1 B．47-5 C．3 D．﹣【考点】估算无理数的大小；实数的运算．【专题】实数；数感；运算能力．【答案】C【分析】先估算7的近似值，确定a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵4＜7＜9，即∴a＝2，b=7-∴b2+2ab＝（7-2）2+2×2×（7-＝3，故选：C．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的意义是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积S=14[a2b2-(a2+b2-cA．2 B．3 C．4 D．5【考点】估算无理数的大小．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】根据题意计算出三角形的面积为8，再估算出8的取值范围即可得出结果．【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，3，3，∴S==1=8∵4＜∴2＜8＜∵面积S介于整数n﹣1和n之间，∴n的值为3，故选：B．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练计算出三角形的面积是解题的关键．5．下列四个实数中，最小的数是（）A．2 B．﹣3 C．-2 D．【考点】实数大小比较；算术平方根．【专题】实数；数感．【答案】B【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数比较即可．【解答】解：﹣3＜-2＜0＜故选：B．【点评】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．6．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是（）填空：①﹣1的倒数是1；（×）②1的平方根，立方根都等于它本身；（√）③(-④|1-⑤3-A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】实数的运算；平方根；立方根．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】运用倒数、平方根、立方根和绝对值知识分别进行计算、辨别．【解答】解：∵﹣1的倒数是﹣1；1的平方根是±1，立方根都等于它本身；（-13）2|1-2|=23-∴嘉琪批改的第①③④⑤题正确，第②题错误，∴嘉琪批改正确的题数是4个，故选：C．【点评】此题考查了实数的运算能力，关键是能准确确定各种运算方法，并能进行正确地计算．7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．0＜a＜b B．|a|＝|b| C．ab＞0 D．a﹣b＞0【考点】实数与数轴；绝对值．【专题】实数；数感．【答案】B【分析】根据图示，可得a＝﹣2，b＝2，a＜0＜b，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得a＝﹣2，b＝2，a＜0＜b，∵a＜0＜b，∴选项A不符合题意；∵a＝﹣2，b＝2，∴|a|＝2，|b|＝2，∴|a|＝|b|，∴选项B符合题意；∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴选项C不符合题意；∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．8．在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那么x的值是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝46 D．x＝﹣46【考点】实数的运算；解一元一次方程．【专题】新定义；运算能力．【答案】A【分析】按照定义的新运算可得（x+2）2﹣25＝x2﹣25，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），（x+2）2﹣25＝x2﹣25，x2+4x+4﹣25＝x2﹣25，x2+4x﹣x2＝﹣25+25﹣4，4x＝﹣4，x＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．9．如图，在数轴上，点O对应数字0，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB＝4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【考点】实数与数轴．【专题】常规题型．【答案】B【分析】因为△OAB是一个直角三角形，且有OC＝OB，所以可求得OB的长度即得C点所表示的数，可判断其大小．【解答】解：∵AB⊥OA∴在直角三角形OAB中有OA2+AB2＝OB2∴OB=∴4＜20又∵OC＝OB∴点C所表示的数介于4和5之间故选：B．【点评】此题考查的重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答案．10．116A．14 B．-14 C．12【考点】算术平方根．【专题】二次根式．【答案】C【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：116=1故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．二．填空题（共5小题）11．请写出一个大于2且小于3的无理数5（答案不唯一）．【考点】实数大小比较；无理数．【专题】实数；数感．【答案】见试题解答内容【分析】根据完全平方数，即可解答．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜5＜∴写出一个大于2且小于3的无理数是5，故答案为：5（答案不唯一）．【点评】本题考查了实数大小比较，无理数，熟练掌握完全平方数是解题的关键．12．设n为正整数，若n的整数部分是1，则n的值可以是2（答案不唯一）.（写出一个即可）【考点】估算无理数的大小；二次根式有意义的条件．【专题】计算题；数感．【答案】2（答案不唯一）．【分析】根据题意可得：1≤n＜4，即1≤n＜4，因此n的值可以是1，【解答】解：∵n为正整数，若n的整数部分是1，∴1≤∴1≤n＜4，∴n的值可以是1，2，3，故答案为：2（答案不唯一）．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．13．比较大小：5-1＜【考点】实数大小比较；算术平方根．【专题】实数；数感．【答案】＜．【分析】先估算出5和2的取值范围，再求出5-1【解答】详解：∵5≈2.236，2≈∴5-1≈1.236＜1.414∴5-1＜故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出5的范围是解此题的关键．14．已知a+1与|b﹣2|互为相反数，ab＝1【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【专题】二次根式；运算能力；应用意识．【答案】1．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵a+1与|b﹣2|∴a+1+|∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，所以，ab＝（﹣1）2＝1故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质，关键是根据“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”列出方程．15．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n=m2+m+n，当m＞n时n2+m【考点】实数的运算．【专题】一元二次方程及应用；几何直观；运算能力．【答案】3．【分析】根据新定义，当x＞﹣1时，x2+x﹣1＝11，即x2+x﹣12＝0，当x≤﹣1时，（﹣1）2+x﹣1＝11，然后分别解一元二次方程和一元一次方程可得到满足条件的x的值．【解答】解：当x＞﹣1时，x2+x﹣1＝11，即x2+x﹣12＝0，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），当x≤﹣1时，（﹣1）2+x﹣1＝11，解得：x＝11，所以x的值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．三．解答题（共5小题）16．计算：(-【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【答案】12【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：(=-12-2=1【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．17．【观察思考】如图是由长度为1cm和2cm【规律发现】请用含n的式子表示：（1）第n个图案中需要2cm长的线段的条数为2n2；（2）第n个图案中需要1cm长的线段的条数为2n2+2n；【规律应用】（3）若要组成一个面积为100cm2的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？【考点】算术平方根；规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）2n2；（2）2n2+2n；（3）需要2cm长的线段200条，需要1cm长的线段220条．【分析】（1）根据题干中所给的图案总结出规律即可；（2）根据题干中所给的图案总结出规律即可；（3）由题意可得此为第10个图案，然后代入（1）（2）中所得结论中计算即可．【解答】解：（1）第1个图案中2cm长的线段的条数为2×1．第2个图案中2cm长的线段的条数为2×4＝2×22，第3个图案中2cm长的线段的条数为2×9＝2×22，…第n个图案中2cm长的线段的条数为2n2，故答案为：2n2；（2）第1个图案中1cm长的线段的条数为4×1．第2个图案中1cm长的线段的条数为4×2+2×2×1，第3个图案中1cm长的线段的条数为4×3+3×2×2，…第n个图案中1cm长的线段的条数为4×n+n•2（n﹣1）＝2n2+2n，故答案为：2n2+2n；（3）由题意得，面积为100cm2的正方形图案为第10个图案，当n＝10时，2n2＝200，2n2+2n＝220，即需要2cm长的线段200条，需要1cm长的线段220条．【点评】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．18．如图，是一条不完整的数轴，点A、B、C对应的实数分别为a、b、c，AB＝6，c＝﹣1，其中2a、﹣b与c的和记为M．（1）若a＝4，求M的值；（2）若a＝2x，5≤M＜9，求满足条件的x的整数解．【考点】实数与数轴；解一元一次方程．【专题】计算题；运算能力．【答案】（1）M＝9；（2）x的整数解为0或1．【分析】（1）由题意得，a﹣b＝6，已知a＝4，可得b的值，已知c＝﹣1，可得M的值；（2）已知a＝2x，a﹣b＝6，可得b的值，可求得M的值，因为5≤M＜9，可得x的取值范围，因为x为整数，可得满足条件的x的整数解．【解答】解：（1）由题意得，a﹣b＝6，∵a＝4，∴b＝﹣2，∴M＝2a﹣b+c＝4×2﹣（﹣2）+（﹣1）＝9；（2）∵a＝2x，a﹣b＝6，∴b＝2x﹣6，∴M＝2a﹣b+c＝4x﹣（2x﹣6）﹣1＝2x+5，∵5≤M＜9，∴5≤2x+5＜9，解得：0≤x＜2，∴x的整数解为0或1．【点评】本题考查了实数与数轴，关键是正确化简计算．19．小杰计算2cos小杰的计算是否正确？若正确请在框内打“√”，直做第20题；若错误．请指出错误：①②③.（从“①”“②”“③”中选填），并写出你的解答过程．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【答案】①②③．【分析】根据实数的混合运算法则运算检验即可．【解答】解：小杰做的不正确，①②③都错，正确解答如下：2cos＝2×12+1﹣（＝1+1﹣2+=3故答案为：①②③．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数混合运算是关键．20．计算：(1【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【答案】2024．【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减即可．【解答】解：(=2023+1+23=2023+1+23＝2024．【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．4．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．5．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．6．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．7．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如2，（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．8．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．9．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．10．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．11．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算