2024届重庆第二外国语学校高高三下学期第二次诊断考试数学试题

2023届重庆第二外国语学校高高三下学期第二次诊断考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（）A． B．C． D．2．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为()A． B． C． D．5．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）A． B． C． D．6．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A．1 B．2 C．3 D．47．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为()A． B． C． D．9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．是恒成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（）A． B． C． D．12．（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若，则___________.14．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．15．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________.16．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________cm．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（）在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围；（2）若有两个不同的极值点，，且，若不等式恒成立.求正实数的取值范围.18．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.19．（12分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点.求实数的取值范围；若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值.20．（12分）在中，角的对边分别为.已知，且.（1）求的值；（2）若的面积是，求的周长.21．（12分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.22．（10分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.（1）求证:平面；（2）求证:.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

解出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．C【解析】

如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．C【解析】

讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，由开口向上，则恒成立；当恒成立时，若，则不恒成立，不符合题意，若时，要使得恒成立，则，即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出是的充分条件；若，则推出是的必要条件.4．C【解析】

由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.5．B【解析】

根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的．故选：．【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．6．D【解析】

先用公差表示出，结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列，所以，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.7．B【解析】

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解.【详解】平面，底面是边长为2的正方形，如图建立空间直角坐标系，由题意：，，，，，为的中点，.，，，异面直线与所成角的余弦值为即为.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.8．A【解析】

由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决.【详解】由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以，即，解得.故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题.9．D【解析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.10．A【解析】

设成立；反之，满足，但，故选A.11．D【解析】

根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.【详解】设，所以，因为当时，，即，所以，在上是增函数，在中，因为，所以，，因为，且，所以，即，所以，即故选：D【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．D【解析】

利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.【详解】由所以，所以原式所以原式故故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.【详解】因为函数，其定义域为，所以其定义域关于原点对称，又，所以函数为奇函数，因为，所以.故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14．【解析】

由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得，故的面积.故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.15．7【解析】

根据题意，当时，，可得，进而得数列为等比数列，再计算可得，进而可得结论.【详解】由题意，当时，，又，解得，当时，由，所以，，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，又，，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查了数列递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，计算得是解决本题的关键，属于中档题.16．【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）.【解析】

（1）求导得到有两个不相等实根，令，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2），是方程的两根，故，化简得到，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.【详解】（1）由题可知有两个不相等的实根，即：有两个不相等实根，令，，，，；，，故在上单增，在上单减，∴.又，时，；时，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的两根，∴，则因为在单减，∴，又，∴即，两边取对数，并整理得：对恒成立，设，，，当时，对恒成立，∴在上单增，故恒成立，符合题意；当时，，时，∴在上单减，，不符合题意.综上，.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．（1）分布列见解析；（2）①；②，.【解析】

（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，，，∴的分布列为：－101（2）由（1），，同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．∴．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．19．；4；12.【解析】

由题意可知，，求导函数，方程在区间上有实数解，求出实数的取值范围；由，则，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数的最大值；设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，整理得.所以，求得，设，则，所以在上单调递增，最后求出实数的值.【详解】由题意可知，，则，即方程在区间上有实数解，解得；因为，则，①当，即时，恒成立，所以在上单调递增，不符题意；②当时，令，解得：，当时，，单调递增，所以不存在，使得在上的最大值为，不符题意；③当时，，解得：，且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，若，则在上单调递减，所以，若，则上单调递减，在上单调递增，由题意可知，，即，整理得，因为存在，符合上式，所以，解得，综上，的最大值为4；设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程整理得：由题意可知，，即，即，解得所以切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，整理得.所以，消去，整理得，且因为，解得，设，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20．（1）；（2）【解析】

（1）由正弦定理可得,,化简并结合,可求得三者间的关系,代入余弦定理可求得;（2）由（1）可求得,再结合三角形的面积公式,可求出,从而可求出答案.【详解】（1）因为,所以,整理得:.因为,所以,所以.由余弦定理可得.（2）由（1）知,则,因为的面积是,所以,即,解得,则.故的周长为:.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.21．（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题，所以故，，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；（Ⅱ）由题（1）当时，在上单调递增.则函数在上的最小值是（2）当时，令，即，令，即（i）当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是（ii）当，即时，由的单调性可得在上的最小值