2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形及简单几何体的表面积和体积-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形及简单几何体的表面积和体积-专项训练【A级基础巩固】1．下列说法中，正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等2．一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为()A.2eq\r(3)cm2 B．2eq\r(6)cm2C.4eq\r(6)cm2 D．8eq\r(3)cm23．在正四棱锥P­ABCD中，PA＝6，且PA与底面所成的角为60°，则该四棱锥的体积为()A.16 B．18eq\r(3)C.36eq\r(3) D．54eq\r(3)4．已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为eq\f(2,3)π，则该圆锥的高为()A.6eq\r(2) B．9C.3 D．3eq\r(2)5．如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为()A.0.25cm3 B．0.65cm3C.0.15cm3 D．0.45cm36．已知圆台下底面的半径为2、高为2、母线长为eq\r(5)，则这个圆台的体积为()A.eq\f(14,3)π B．eq\f(7,2)πC.eq\f(14,5)π D．eq\f(7,3)π7．在我国古代数学名著《数书九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为()A.2丈4尺 B．2丈5尺C.2丈6尺 D．2丈8尺8．如图是水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．9．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.10．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是________．11．在三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，O为底面四边形的中心．若存在点O′到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于d，则d＝()A.eq\f(\r(5)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3)－\r(2),2) D．eq\f(\r(6)－\r(2),2)2．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为eq\f(2π,3).若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为()A.15 B．eq\r(223)C.10eq\r(2) D．123．(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E­ACD，F­ABC，F­ACE的体积分别为V1，V2，V3，则()A.V3＝2V2B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2D.2V3＝3V14．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点．若平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))5．如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B­AMNC的体积为________．6．某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱组成．已知正四棱柱的底面边长为3cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________，体积为________cm3.7．已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为eq\f(81π,8)，则圆锥PO1的侧面积为________．8．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．参考答案【A级基础巩固】1．解析：棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确．答案：C2．解析：直观图的面积为eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)×42＝2eq\r(6)(cm2).答案：B3．解析：设四棱锥的高h＝PA·sin60°＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，AC＝PA＝6，则该四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×6))×3eq\r(3)＝18eq\r(3).答案：B4．解析：由题意得，该圆锥的底面半径r＝eq\f(6π,2π)＝3，母线长l＝eq\f(6π,\f(2,3)π)＝9，所以该圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝6eq\r(2).答案：A5．解析：设正三棱锥底面正三角形的内切圆半径为r，由等面积法，可得eq\f(1,2)×1×1×sin60°＝eq\f(1,2)×(1＋1＋1)r，解得r＝eq\f(\r(3),6).由三棱锥体积公式与圆柱体积公式可得，所求体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×sin60°×2＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))eq\s\up12(2)×0.6≈0.45(cm3).答案：D6．解析：设圆台上底面的半径为r，下底面半径为R，高为h，则有(eq\r(5))2＝(2－r)2＋22，解得r＝1或r＝3(舍去).圆台的体积V＝eq\f(1,3)πh(r2＋R2＋rR)＝eq\f(1,3)×π×2×(12＋22＋2×1)＝eq\f(14,3)π.答案：A7．解析：如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，一条直角边(即圆木的高)长AB＝24尺，另一条直角边长BE＝5尺，因此葛藤绕圆木2周后最少长为BD＝eq\r(AB2＋(2BE)2)＝eq\r(242＋102)＝26(尺)，即为2丈6尺．答案：C8．解析：利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)9．解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝eq\f(1,2)×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm2).答案：2600π10．解析：设BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，∴VE­BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝10.答案：1011．解析：如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝eq\f(1,3)S1h1，V2＝eq\f(1,3)S2h2，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1h1,S2h2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：如图，在正四棱锥S­ABCD中，连接OS，取BC的中点E，连接OE，SE，易知点O′在线段OS上，过O′作O′F⊥SE，交SE于点F，易知O′F⊥平面SBC.设∠OSE＝α，由题意可得OE＝1，SO＝2，O′F＝OO′＝d，则SO′＝SO－OO′＝2－d，sinα＝eq\f(OE,SE)＝eq\f(O′F,SO′)，即eq\f(1,\r(22＋12))＝eq\f(d,2－d)，解得d＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：A2．解析：由题意知该几何体为圆台，如图所示，其中AB，CD分别为上、下底面圆的直径，设圆台的上底面圆的半径为r1，圆心为O1，下底面圆的半径为r2，圆心为O2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πr1＝12×\f(2π,3)＝8π，,2πr2＝27×\f(2π,3)＝18π，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＝4，,r2＝9，))过点A作AM⊥CD，交CD于点M，连接O1O2，则四边形AO1O2M为矩形，所以△ADM为直角三角形，AO1＝MO2，AM＝O1O2.圆台的母线长l＝AD＝27－12＝15，所以圆台的高h＝AM＝eq\r(\a\vs4\al(AD2－DM2))＝eq\r(152－(r2－r1)2)＝10eq\r(2).答案：C3．解析：因为ED⊥平面ABCD，且FB∥ED，所以FB⊥平面ABCD.设AB＝ED＝2FB＝2a，则FB＝a，则V1＝eq\f(1,3)S△ACD·ED＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·2a·2a·2a＝eq\f(4,3)a3，所以V2＝eq\f(1,2)V1＝eq\f(2,3)a3.如图，连接BD，交AC于O，连接OE，OF.易证AC⊥平面BDEF.S△EOF＝S梯形BDEF－S△ODE－S△OBF＝eq\f(1,2)(a＋2a)×2eq\r(2)a－eq\f(1,2)×2a×eq\r(2)a－eq\f(1,2)×a×eq\r(2)a＝eq\f(3\r(2),2)a2，故V3＝eq\f(1,3)S△EOF·AO×2＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(2),2)a2×eq\r(2)a×2＝2a3，故V1＋V2＝V3，2V3＝3V1成立．答案：CD4．解析：∵正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，∴正方体的棱长为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，当点M为线段BC的中点时，MN∥AD1，A，M，N，D1共面，截面为四边形AMND1，如图，即BM＝eq\f(1,2)，不合题意，排除选项A，C，D；当BM>eq\f(1,2)时，截面为五边形，如图，符合题意，即平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为五边形，线段BM的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案：B5．解析：如图，连接AN，对于三棱锥B­ACN，B­AMN，显然它们等底同高，故VB­ACN＝VB­AMN，而VB­ACN＝VN­ABC，注意到CN＝C1N，于是三棱锥N­ABC的高是三棱柱ABC­A1B1C1高的一半，且它们都以△ABC为底面，故VN­ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)V＝eq\f(1,6)V，故VB­AMNC＝2×eq\f(1,6)V＝eq\f(1,3)V.答案：eq\f(1,3)V6．解析：易知两个正四棱柱的公共部分为两个正四棱锥拼接而成，且两个正四棱锥的底面重合，所以公共部分构成的多面体的面数为8，因为正四棱柱的底面边长为3，则公共部分的两个正四棱锥的底面边长为3eq\r(2)，高为eq\f(3\r(2),2)，所以体积V＝eq\f(1,3)×2×(3eq\r(2))2×eq\f(