2025高考数学一轮复习-2.9-函数模型的应用-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-2.9-函数模型的应用-专项训练【A级基础巩固】1．有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变．若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)，货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是()2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\f(1,2)x3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况4．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).若火箭的最大速度为11.2km/s，则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约为(参考数据：e0.0056≈1.0056)()A．1.0056 B．0.5028C．0.0056 D．0.00285．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%.现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq\f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．6 B．9C．8 D．76．某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1).若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．7．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝eq\f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)，则日销售额的最大值为________．8．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入手机零钱通，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元．(参考数据：1.02254≈1.093，1.02255≈1.118，1.04015≈1.217)9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m为常数).(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问：至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q＝λ1eq\f(|ΔT|,d\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ1l,λ2d)＋2)))，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10-3焦耳/(厘米·度)，不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10-4焦耳/(厘米·度)，ΔT为室内外温度差，q值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表所示：型号每层玻璃厚度d(单位：厘米)玻璃间夹空气层厚度l(单位：厘米)A型0.43B型0.34C型0.53D型0.44则保温效果最好的双层玻璃的型号是()A．A型 B．B型C．C型 D．D型2．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，现有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折．不重复打折．方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元．已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为________元．3．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120＜a≤160，))设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？参考答案【A级基础巩固】1．答案：A2．解析：由题表可知函数在(0，＋∞)上单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．答案：B3．解析：设该股民购这只股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这只股票略有亏损．答案：B4．解析：由v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝11.2，可得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝eq\f(11.2,2000)＝0.0056，∴eq\f(M,m)＝e0.0056－1≈0.0056.答案：C5．解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求，则eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20)，由nlgeq\f(2,3)≤－lg20，即n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，得n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4.答案：BC6．解析：由题意知100＝alog2(1＋1)⇒a＝100，当x＝7时，可得y＝100log2(7＋1)＝300.答案：3007．解析：设日销售额为S，当1≤t≤30时，S＝(－2t＋200)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＋30))＝－t2＋40t＋6000＝－(t－20)2＋6400.当t＝20时，Smax＝6400；当31≤t≤50时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9000，当t＝31时，Smax＝6210.∵6210<6400，故当t＝20时，日销售额有最大值6400.答案：64008．解析：将1000元存入手机零钱通，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1000×(1＋4.01%)5≈1217(元)，故共得利息1217－1000＝217(元).将1000元存入银行，则存满5年后的本息和为1000×(1＋2.25%)5≈1118(元)，即获利息1118－1000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).答案：999．解：(1)由题意可列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))两式相除，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4)．))(2)由题意可列不等式128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤0.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：由题意得，q＝λ1eq\f(|ΔT|,d\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ1l,λ2d)＋2)))＝eq\f(4×10-3×|ΔT|,\f(4×10-3,2.5×10-4)l＋2d)＝eq\f(4×10-3×|ΔT|,16l＋2d)，固定|ΔT|，可知16l＋2d越大，q越小，保温效果越好．对于A型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.4＝48.8，对于B型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.3＝64.6，对于C型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.5＝49，对于D型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.4＝64.8，经过比较可知，D型玻璃保温效果最好．答案：D2．解析：方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元．方案二：满5000元减1000元，按原价计算eq\f(5000,300)≈16.7，则满5000元至少需凑齐17人，17×300－1000＝5100－1000＝4100，则单人票价为eq\f(4100,17)≈241.满10000元时，eq\f(10000,300)≈33.3，则需34人，单人票价为241元，满15000元时，eq\f(15000,300)＝50，人数不足．因为241＜270，所以用方案二先购买34张票，剩余13人不满足方案二，但满足方案一，所以总费用的最小值为34×300－2000＋13×300×0.9＝11710(元).答案：117103．解：(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，所以f(128)＝4×eq\r(2×128)－6＋eq\f(1,4)×112＋2＝88(万元).因此，此时公司的总收益为88万元．(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥80，,240－x≥80，))解之得80≤x≤160，当80≤x<120，即120<240－x≤160时，f(x)＝4eq\r(2x)－6＋32＝4eq\r(2x)＋26<26＋16eq\r(15)；当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，f(x)＝4eq\r(2x)－6＋eq\f(1,4)(240－x