2020-2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修2

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.(2)画法:【思考】定义中的“任何”是否多余,能否把“任何”去掉?提示:(1)“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线,或者说找不到一个平面同时经过这两条直线.(2)定义中“任何”是不可缺少的关键词,不能误解为“不同在某一平面内”.如图所示,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.2.空间两条直线的位置关系3.公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言直线a,b,c,a∥b,b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行4.等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′,OB∥O′B′⇒∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°作用证明两个角相等或互补5.异面直线所成的角(或夹角)(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).(2)范围:0°<θ≤90°.特别地,当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b.【思考】(1)在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗?提示:根据等角定理可知,a′与b′所成角的大小与点O的位置无关.但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).(2)研究范围推广到空间后,直线与直线垂直的含义有变化吗?有什么变化?提示:有变化.空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线. (

)(2)垂直于同一条直线的两条直线平行. (

)(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线. (

)(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直. (

)提示:(1)×.没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线.(2)×.在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都与棱AA′垂直,但是这两条直线相交.(3)×.若a,b是异面直线,a,c是异面直线,那么b,c可以平行,可以相交,可以异面.(4)√.由异面直线所成角的定义或等角定理都可得出,该命题正确.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的是 (

)

A.AB

B.BB1

C.DD1

D.B1C1【解析】选D.AB与AA1相交;BB1与AA1平行;DD1与AA1平行;B1C1与AA1异面.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.

【解析】因为B1C1∥BC,所以异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°.答案:65°类型一空间两条直线位置关系的确定【典例】1.(2019·淮南高一检测)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是 (

)A.l

至少与l1,l2中的一条相交B.l

与l1,l2

都不相交C.l

与l1,l2都相交D.l

至多与l1,l2中的一条相交2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,以下四个结论:①直线DM与CC1是相交直线;②直线AM与NB是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上).

3.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明.【思维·引】1.一方面注意l和l1,l2都平行,可推出和l1,l2平行,另一方面注意画图举反例说明有关结论不正确.2.利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断.3.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.【解析】1.选A.假如l和l1,l2都不相交.因为l和l1,l2都共面,所以l和l1,l2都平行,所以l1∥l2,l1和l2共面,这样便不符合已知的l1和l2异面,所以A选项正确,B选项错误.C错误.如图1所示,l与l2相交,l∥l1.D错误.如图2所示,l与l1和l2都相交.2.①中直线DM与直线CC1在同一平面内,它们不平行,必相交.故结论正确.③④中的两条直线既不相交也不平行,即均为异面直线,故结论正确.②中AM与BN是异面直线,故②不正确.故填①③④.答案:①③④3.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.直线a与c可能平行(如图①所示),也可能相交(如图②所示),还可能异面(如图③所示).【内化·悟】研究范围由平面推广到空间后,能否只根据公共点个数判断两条直线的位置关系?提示:不能.因为两条平行直线和两条异面直线都是没有公共点的,无法从公共点个数上进行区别.【类题·通】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,B∉l,l⊂α,则AB与l是异面直线(如图).【发散·拓】异面直线是不同在任何一个平面内的直线,它的反面情况是两条直线共面.从这一角度考虑,证明异面直线还有没有其他方法?提示:可以利用反证法,其基本思路是:先假设命题的结论不成立,即肯定结论的反面成立;由此假设出发,经过严密的逻辑推理,步步为营,最后得出矛盾;由正确推理导出的矛盾,说明“假设结论不成立”是错误的,从而肯定欲证的结论成立.【延伸·练】如图,a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b的位置关系,并证明你的结论.【解析】假设EF和a共面,设这个平面为α,则EF⊂α,a⊂α.所以A,B,E,F∈α,所以BF⊂α,AE⊂α.又因为C∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b⊂α.从而a,b共面于α,这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.所以EF和a共面的假设不成立,所以EF和a是异面直线.同理可得EF和b也是异面直线.【习练·破】1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中的八条棱所在的直线中,异面直线共有________对.

【解析】每条侧棱与底面四边形中不共点的两边均为异面直线,故共有8对.答案:82.如图,在这个正方体中:

①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是________.

【解析】根据正方体的特征可得:①BM与ED是异面直线,①错误;②CN与BM是异面直线,②正确;③由已知可证四边形BCNE是平行四边形,所以CN与BE是平行直线,③错误;④DN与BM是异面直线,④正确.答案:②④【加练·固】在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是 (

)A.相交B.异面C.平行D.垂直【解析】选A.如图,在正方体AC1中,因为A1B∥D1C,所以A1B与D1C可以确定平面A1BCD1,又因为EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交.类型二公理4及等角定理的应用【典例】1.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为____.

2.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC

AD,BE

FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.(2)判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?【思维·引】1.依据两条边分别对应平行的两个角的大小关系直接计算.2.(1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等.(2)只需证明C,H,F,E四点共面,即可推出C,D,F,E四点共面.【解析】1.因为a∥OA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.答案:60°2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GH

AD.又BC

AD,所以GH

BC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)共面.理由:由BE

AF,G为FA的中点知,BE

FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BG

CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.【内化·悟】与等角定理和公理4类似,平面几何中的一些结论在空间中仍然成立:如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线,那么另一条也垂直于第三条直线.想一想平面几何中的结论在空间中是否都成立呢?成立的标准是什么?提示:平面几何中的结论在空间中不一定成立.平面几何中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内,在空间中就成立,否则不成立.【类题·通】1.证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法.三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法.用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)公理4.用公理4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由公理4即可得到a∥c.2.证明两个角相等的方法(1)利用等角定理.(2)利用三角形全等或相似.【习练·破】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D,平面CC1D1D的中心,G,H分别是棱AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是 (

)A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直【解析】选C.如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.

由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1中点.

求证:∠BGC=∠FD1E.【证明】因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点,所以CE平行且等于GD1,BF平行且等于GD1.所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.所以GC∥D1E,GB∥D1F.因为∠BGC与∠FD1E的方向相同,所以∠BGC=∠FD1E.【加练·固】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:(1)EF

E1F1.(2)∠EA1F=∠E1CF1.【证明】(1)如图,连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF

BD.同理,E1F1

B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1

DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BD

B1D1.又EF

BD,E1F1

B1D1,所以EF

E1F1.(2)取A1B1的中点M,连接F1M,BM,则MF1

B1C1.又B1C1

BC,所以MF1

BC,所以四边形BMF1C为平行四边形,所以BM∥CF1.因为A1M=A1B1,BE=AB,且A1B1

AB,所以A1M

BE,所以四边形BMA1E为平行四边形,所以BM∥A1E,所以CF1∥A1E.同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.类型三异面直线所成的角【典例】已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.【思维·引】选择恰当的点分别作AB和CD的平行线,同时找到直线AB与CD所成的角、直线AB和MN所成的角.【解析】如图,取AC的中点P,连接PM,PN,因为点M,N分别是BC,AD的中点,所以PM∥AB,且PM=AB;PN∥CD,且PN=CD,所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角.因为直线AB与CD成60°角,所以∠MPN=60°或∠MPN=120°.又因为AB=CD,所以PM=PN,①若∠MPN=60°,则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°,即AB与MN所成的角为60°.②若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形.所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.综上可知:AB与MN所成角为60°或30°.【素养·探】在与异面直线所成的角有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算和逻辑推理,通过直线与直线平行和异面直线所成角的定义作出所求角,并在三角形中求出角的大小.将本例的条件改为“E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB”,求EF与CD所成的角.【解析】取AD的中点H,连接FH,EH.则在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°.【类题·通】1.求两异面直线所成的角的一般步骤:(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角.(2)证:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角的值,常利用解直角三角形.可用“一作二证