【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(11月第三期)：D单元数列

D单元数列名目D单元数列 1D1数列的概念与简洁表示法 1D2等差数列及等差数列前n项和 1D3等比数列及等比数列前n项和 1D4数列求和 1D5单元综合 1D1数列的概念与简洁表示法【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19、（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列.（1）求数列的通项公式和；（2）若问是否存在实数，使得数列为单调递增数列？若存在，恳求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【学问点】等差数列及其前n项和；等比数列；单调递增数列的条件.D1D2D3【答案解析】(1)，；（2）存在实数，且.解析：(1)由，得：解得：．∴，．…………………5分(2)由题知．………………6分若使为单调递增数列，则=对一切n∈N*恒成立，即：对一切n∈N*恒成立，…………………10分又是单调递减的,∴当时，=-3，∴．…………………12分【思路点拨】(1)依据已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得和；（2）若数列为单调递增数列，则对一切n∈N*恒成立，即：对一切n∈N*恒成立，由此得的取值范围.【数学理卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】13.若数列的前项和,则=___________【学问点】数列递推式．D1【答案解析】-8解析：由Sn=an+，得，解得：a1=1；取n=2得：，解得：a2=﹣2；取n=3得：，解得：a3=4；取n=4得：，解得：a4=﹣8．故答案为：﹣8．【思路点拨】在数列递推式中分别取n=1，2，3，4，即可求得a4的值．【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】20．（本小题满分12分）设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和.【学问点】已知递推公式求通项；数列前n项和求法.D1D4【答案解析】(1)；（2）.解析：（1）当时，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴（2），所以【思路点拨】（1）利用公式变形已知递推公式，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，再用裂项求和法求数列前项和.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】11.已知数列中满足，，则的最小值为（）A.10B.C.9D.【学问点】累加法；数列中的最小值问题.D1【答案解析】D解析：由于，，所以=2[1+2+3++(n-1)]=n(n-1)所以，所以=，由于函数在上单调递减，在上单调递增，而,且，所以的最小值为，故选D.【思路点拨】由累加法求得数列的通项公式，得是函数图像上的一些点，由函数f(x)的单调性，求得的最小值.【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】13、数列中，，则通项公式为_____________.【学问点】数列递推式．D1【答案解析】解析：设an+1+k=3（an+k），得an+1=3an+2k，与an+1=3an+2比较得k=1，∴原递推式可变为an+1+1=3（an+1），∴，∴{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，∴，【思路点拨】由题意知an+1+1=3（an+1），所以{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，由此可知。【数学文卷·2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】18.（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an，求Sn.【学问点】已知递推公式求通项；数列前n项和求法.D1D4【答案解析】(1)2n；（2）(2n－3)·2n＋1＋6.解析：(1)∵Sn＝2an－2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，即an＝2an－2an－1，∵an≠0，∴eq\f(an,an－1)＝2(n≥2，n∈N*)．∵a1＝S1，∴a1＝2a1－2，即a1＝2.数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴an＝2n.(2)Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，①∴2Sn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1，②①－②得－Sn＝1×2＋(2×22＋2×23＋…＋2×2n)－(2n－1)2n＋1，即－Sn＝1×2＋(23＋24＋…＋2n＋1)－(2n－1)2n＋1∴Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6.【思路点拨】(1)利用公式变形已知递推公式，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，则Sn是一个等差数列通项，与一个等比数列通项的积，构成的新数列的前n项和，所以用错位相减法求Sn.【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】19、（本小题满分13分）已知数列满足，且.若存在一个实数，使得数列为等差数列，恳求出值；在（1）的条件下，求出数列的前n项和.【学问点】已知递推公式求通项；等差数列定义；数列求和.D1D2D4【答案解析】（1）-1；（2）解析：（1）假设存在实数符合题意，则必为与n无关的常数，，要使是与n无关的常数，则=0，得，故存在实数，使得数列为等差数列.6分（2）由（1）可得，且首项为，8分令且其前n项和为，则①②-②得=，，.13分【思路点拨】（1）依据等差数列的定义，转化为方程恒成立问题求值；（2）由（1）得，所以先用错位相减法求得的前n项和，进而得出数列的前n项和.【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】21.(本小题满分12分)已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2），试推断是否存在常数，使对一切都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）求：【学问点】数列的递推公式；等比数列的推断；数列的求和D1D2D4【答案解析】解：（1）由已知得，所以是公比为2的等比数列，首项为，故（2）由于若恒成立，即恒成立所以得（3）【思路点拨】（1）把已知的数列递推式变形，得到数列是公比为2的等比数列，求其通项公式后得答案；（2）求出，由对于一切都有成立，比较系数求得A，B，C的值；（3）直接利用裂项相消求得【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】3.已知数列{an}满足，若，则A.1 B.2 D.3 D.【学问点】数列的概念及简洁表示法D1【答案解析】C解析：由，得当时，得，当时，得，即，两式联立，得，把代入，解得，故选：C【思路点拨】依据数列的递推关系，即可得到结论。【数学文卷·2021届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（202210）】二、填空题：本大题共4小题，共20分。题文】13、若数列的前n项和，则。【学问点】数列的概念与简洁表示法D1【答案解析】当n2时，=2n-1,当n=1时==2所以【思路点拨】依据数列的求和公式求出。D2等差数列及等差数列前n项和【数学（理）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19．（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前项和为，，成等比数列．(Ⅰ)求数列的通项公式及；(Ⅱ)若，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，恳求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【学问点】等差数列;等比数列;数列求和.D2,D3,D4【答案解析】(I)，．(II)解析：解：(Ⅰ)由，得：解得：．∴，．…………………5分(Ⅱ)由题知．若使为单调递减数列，则-=对一切n∈N*恒成立，…8分即：，又=，……10分当或时，=．．………………………12分【思路点拨】依据已知条件可求出数列的首项与公差，再依据数列的性质确定的值.【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19、（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列.（1）求数列的通项公式和；（2）若问是否存在实数，使得数列为单调递增数列？若存在，恳求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【学问点】等差数列及其前n项和；等比数列；单调递增数列的条件.D1D2D3【答案解析】(1)，；（2）存在实数，且.解析：(1)由，得：解得：．∴，．…………………5分(2)由题知．………………6分若使为单调递增数列，则=对一切n∈N*恒成立，即：对一切n∈N*恒成立，…………………10分又是单调递减的,∴当时，=-3，∴．…………………12分【思路点拨】(1)依据已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得和；（2）若数列为单调递增数列，则对一切n∈N*恒成立，即：对一切n∈N*恒成立，由此得的取值范围.【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】21．已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（6分）（Ⅱ）若,,求.（6分）【学问点】等差等比数列的通项公式；数列求和.D2,D3,D4【答案解析】(I)=2n(II)解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入,得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴=2,=2,∴=2n6分（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝6分【思路点拨】依据数列的性质可求出数列的通项，再依据数列的特点用错位相减法求和.【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】19.已知数列与，若且对任意正整数满足数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（5分）（2）求数列的前项和（7分）【学问点】数列的通项公式；数列的求和公式.D2,D3,D4【答案解析】(1)(2)解析：解：（1）由题意知数列是公差为2的等差数列又由于所以--2分当时，；当时，对不成立所以，数列的通项公式:3分（2）时，时，所以照旧适合上式综上，7分【思路点拨】依据题意可求出通式公式，再依据数列的特点对数列进行求和.【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】16．给出下列四个命题：①中，是成立的充要条件；②当时，有；③已知是等差数列的前n项和，若，则；④若函数为上的奇函数，则函数的图象确定关于点成中心对称．其中全部正确命题的序号为．【学问点】充要条件；不等式；等差数列；函数的性质.A2,B4,D2,E1【答案解析】①③解析：由题意可知，在三角形中，是成立的充要条件；当时有可能是负值，所以不愿定大于等于2；等差数列的前n项和，若，则而；若函数为上的奇函数，则函数的图象确定关于点成中心对称．所以只有①③正确.【思路点拨】依据每一个问题进行分析可得到结果，对基础学问熟习是解题关键.三、解答题【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】7．等差数列的前项和为，已知，则()A．B．C．D．【学问点】等差数列D2【答案解析】C解析：解：由【思路点拨】依据等差数列的概念可求出公差.【数学理卷·2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（202211）】14．已知等差数列的前项和是,用由此可类比得到各项均为正的等比数列的前项积（表示）【学问点】等比数列等差数列D2D3【答案解析】在等差数列{an}的前n项和为，由于等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn=故答案为：．【思路点拨】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．【数学理卷·2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（202211）】3．已知等差数列，若，则（）A.24B.27C.15D.54【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】B由等差数列的性质可得a4+a5+a6=3a5=9，解得a5=3，

∴S9===9a5=27故选：B【思路点拨】利用等比数列的性质求解。【数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】10．记数列的前项和为，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为（▲）。A．B．C．D．【学问点】等差数列前n项和，二次函数D2,D5【答案解析】D解析：是等差数列，代入，化简得，此式对任意正整数都成立，所以成立，即解得。【思路点拨】由等差数列前n项和公式（首末项表示）代入原不等式，化简可得一元二次不等式，由可解m的范围。【数学理卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】7.设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为（）A.13B.12C.11D.10【学问点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】B解析：∵，∴，∴a7＜0，a6+a7＞0．∴，=6（a6+a7）＞0．∴满足Sn•Sn+1＜0的正整数n的值为12．故选C．【思路点拨】由，利用等差数列的前n项和公式可得a7＜0，a6+a7＞0．进而得到．据此满足Sn•Sn+1＜0的正整数n的值为12．【数学理卷·2021届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（202210）】19.（本小题满分14分）已知、是方程的两根，数列是递增的等差数列，数列的前项和为，且（）．(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【学问点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性D2,D3【答案解析】(1)(2)略解析：解：（1）由题意得a2=3，a5=9公差所以an=a2+（n﹣2）d=2n﹣1由得当当n≥2时得所以(2)……9分……………11分两式相减得：……13分，所以……14分【思路点拨】（1）通过解二次方程求出方程的两个根，据数列{an}为递增数列为递增数列，求出a2，a5，利用等差数列的通项公式求出数列{an}的公差，利用等差数列推广的通项公式求出其通项，利用数列{bn}的前n项和与通项的关系求出数列{bn}的通项．（2）求出数列{cn}的通项，求出cn+1﹣cn的差，推断出差的符号，得证．【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】17．（本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.【学问点】等差数列及等差数列前n项和等比数列及等比数列前n项和D2D3【答案解析】（1）,（2）（1）由于,所以,得,,（2）由于，所以得【思路点拨】依据等差数列等比数列公式求出通项公式，再依据等比数列求和求出结果。【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】3.为等差数列的前项和，，则A． B． C． D．【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】B：∵数列{an}是等差数列，∴a5===3．

∴S9==9a5=9×3=27．故选A．【思路点拨】由等差数列的性质结合a2+a8=6求出a5，代入前9项和公式即可求得答案．【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】17．（本小题13分）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的全部的集合；若不存在，说明理由.【学问点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．D2D3D4【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在符合条件的正整数，且全部这样的的集合为.解析：（Ⅰ），即，4分解得.5分故.6分（Ⅱ）.8分令，，.当为偶数时，因，故上式不成立；10分当为奇数时，，，.12分综上，存在符合条件的正整数，且全部这样的的集合为.13分【思路点拨】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，可求得1-（-2）n≥2021，对n的奇偶性分类争辩，即可求得答案．【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】11.设是等差数列的前项和，若，则＝.【学问点】等差数列的前n项和.D2【答案解析】1解析：.【思路点拨】利用等差数列的前n项和公式把转化为即可。【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】10.数列满足，,则数列的前项的和为（）A．B.．C．D．【学问点】等差数列；等比数列；数列求和.D2D3D4【答案解析】D解析：由已知得，所以所以数列的前项的和为，故选D.【思路点拨】由已知得的通项公式，从而求得结论.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】6.设公差不为0的等差数列的前项和为，若则（）A．14B．15C．16D．21【学问点】等差数列的性质.D2【答案解析】B解析：由于，所以，所以，所以，故选B.【思路点拨】依据等差数列的性质得，所以k=15.【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】14．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m＝________.【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】10依据等差数列的性质可得：am-1+am+1=2am，

∵am-1+am+1-=0，∴2am-am2=0∴am=0或am=2

若am=0，明显S2m-1=（2m-1）am不成立∴am=2∴s2m-1==（2m-1）am=38，

解得m=10．故答案为：10【思路点拨】依据等差数列的性质可知，am-1+am+1=2am，代入am-1+am+1-=0中，即可求出am，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m-1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】6.设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n=A．5B．6C．5或6D．6或7【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】C∵S6=5a1+10d，∴6a1+15d=5a1+10d得到a1+5d=0即a6=0，

∵数列{an}是公差d＜0的等差数列，∴n=5或6，Sn取最大值．故选：C．【思路点拨】利用S6=5a1+10d，可得a6=0，依据数列{an}是公差d＜0的等差数列，即可得出结论．【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A、3 B、4C、5 D【学问点】等差数列的通项公式．D2【答案解析】A解析：依据题意得：，解得：，故选A．【思路点拨】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的其次、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】2、已知数列为等差数列，且，则的值为（）A、B、C、D、【学问点】等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数．C2C5D2【答案解析】B解析：∵，则a7=，∴tan（a2+a12）=tan2a7=tan=，故选B.【思路点拨】由于，则a7=，所以tan（a2+a12）=tan2a7=tan，由诱导公式计算可得答案．【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】19、（本小题满分13分）已知数列满足，且.若存在一个实数，使得数列为等差数列，恳求出值；在（1）的条件下，求出数列的前n项和.【学问点】已知递推公式求通项；等差数列定义；数列求和.D1D2D4【答案解析】（1）-1；（2）解析：（1）假设存在实数符合题意，则必为与n无关的常数，，要使是与n无关的常数，则=0，得，故存在实数，使得数列为等差数列.6分（2）由（1）可得，且首项为，8分令且其前n项和为，则①②-②得=，，.13分【思路点拨】（1）依据等差数列的定义，转化为方程恒成立问题求值；（2）由（1）得，所以先用错位相减法求得的前n项和，进而得出数列的前n项和.【数学文卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】15．设是实数，成等比数列，且成等差数列，则的值是▲。【学问点】等差中项，等比中项D2D3【答案解析】解析：由于成等比数列，所以，又由于成等差数列，所以，联立可得，由于得，所以.【思路点拨】依据等差中项与等比中项的定义列的等式，然后联立消元，即可求解.【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】19.(本小题满分14分)等差数列数列满足(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和。【学问点】等差数列与等比数列的综合．D2D3【答案解析】(1)(2)解析：…………1分…………2分…………3分…………6分…………7分…………1分…………2分…………3分…………6分…………7分……………………所以，解得a1=1，d=，所以等差数列{an}的通项公式为；（2）由（1）得…………8分则…………9分…………10分所以…………10分…………13分得……………………14分【思路点拨】（1）设出等差数列的公差，利用方程组的思想求出首项和公差即可；（2）利用错位相减法求数列{bn}的前n项和．【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】5.已知是等差数列，其前项和为，若，则=（）A.15B.14C.13【学问点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．D2【答案解析】B解析：由题意可知，a3+a2=7，S4=a1a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．故选：B．【思路点拨】利用已知条件求出a3+a2的值，然后求解S4的值．【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】21.(本小题满分12分)已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2），试推断是否存在常数，使对一切都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）求：【学问点】数列的递推公式；等比数列的推断；数列的求和D1D2D4【答案解析】解：（1）由已知得，所以是公比为2的等比数列，首项为，故（2）由于若恒成立，即恒成立所以得（3）【思路点拨】（1）把已知的数列递推式变形，得到数列是公比为2的等比数列，求其通项公式后得答案；（2）求出，由对于一切都有成立，比较系数求得A，B，C的值；（3）直接利用裂项相消求得【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】17.(本小题满分10分)已知等差数列的前n项和满足（1）求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【学问点】等差数列的通项；数列求和D2D4【答案解析】解：（1）设的公差为d，则.由已知得解得.故的通项公式为.（2）由（I）知从而数列的前n项和为【思路点拨】（1）设出等差数列的首项和公差，直接由列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（2）把（1）中求出的通项公式，代入数列的通项中进行裂项整理，利用裂项相消法可求数列的前n项和。【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】14.已知等差数列()的首项，设为的前n项和，且，故当取最大值时n的值为___________.【学问点】等差数列的性质；等差数列的前项和D2【答案解析】8或9解析：，，，，数列是递减数列，，时，取最大值，故答案为：8或9【思路点拨】依据求得，依据可推断数列为递减数列，进而可知，进而可知当n=8或9时取得最大值．【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】12.已知数列数列{}满足,且.若函数，记，则的前9项和为（）A.0 B.-9 C.9 D.1【学问点】等差数列的推断；等差数列的性质D2【答案解析】C解析：∵数列{}满足∴数列{an}是等差数列，∵，∴，∵，∴，同理，又∵，∴数列的前9项和为9故选：C【思路点拨】确定数列{an}是等差数列，利用等差数列的性质，可得，由此可得结论。第II卷（非选择题共90分）二、填空题（每题4分，共20分）【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】5.下面是关于公差d>0的等差数列{}的四个命题:：数列{}是递增数列； :数列{}是递增数列;：数列{}是递增数列; :数列{}是递增数列.其中的真命题为A.， B.p3， C.， D.，【学问点】等差数列的概念和性质D2【答案解析】B解析：∵对于公差d＞0的等差数列{}，，∴命题：数列{}是递增数列成立，是真命题；对于数列数列{}，第项与第项的差等于不愿定是正实数，即是假命题；对于数列{}，第项与第项的差等于，不愿定是正实数，即是假命题；对于数列{}，第项与第项的差等于，，即是假命题；故选：B【思路点拨】对于各个选项中的数列，计算第项与第项的差，看此差的符号，再依据递增数列的定义得出结论．【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】14．数列中，，，则__________.【学问点】等差数列D2【答案解析】由取导数得，则=1所以{}为等差数列，所以=1+4=3，所以=【思路点拨】构造新数列确定{}为等差数列，求出，再求出。【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】3.为等差数列的前项和，，则A．B．C．D．【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】B：∵数列{an}是等差数列，∴a5===3．

∴S9==9a5=9×3=27．故选A．【思路点拨】由等差数列的性质结合a2+a8=6求出a5，代入前9项和公式即可求得答案．【数学文卷·2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】20.（本小题满分12分）已知等差数列，公差，前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)设，若也是等差数列，试确定非零常数，并求数列的前项和.【学问点】等差数列数列求和D2D4【答案解析】（1）.(2)（1）已知等差数列，且,公差，.由得，..（2），，，又是等差数列，，，【思路点拨】利用等差数列的性质求出通项，用裂项求和求出和。【数学卷·2021届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（202210）】20．（本小题满分12分）已知是公差为的等差数列，它的前项和为，且．（Ⅰ）求公差的值；（Ⅱ）若，是数列的前项和，不等式对全部的恒成立,求正整数的最大值.【学问点】等差数列及其前n项和；裂项求和法；不等式恒成立问题.D2D4E1【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）6.解析：（Ⅰ）∵，即，化简得：，解得．………………4分（Ⅱ）由，∴=．…6分∴==≥，……8分又∵不等式对全部的恒成立∴≥，化简得：，解得：．∴正整数的最大值为6．……12分【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式、前n项和公式求解；（Ⅱ）利用裂项求和法求得，再用不等式恒成立的条件得关于m的不等式，解得m的最大值.D3等比数列及等比数列前n项和【数学（理）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19．（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前项和为，，成等比数列．(Ⅰ)求数列的通项公式及；(Ⅱ)若，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，恳求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【学问点】等差数列;等比数列;数列求和.D2,D3,D4【答案解析】(I)，．(II)解析：解：(Ⅰ)由，得：解得：．∴，．…………………5分(Ⅱ)由题知．若使为单调递减数列，则-=对一切n∈N*恒成立，…8分即：，又=，……10分当或时，=．．………………………12分【思路点拨】依据已知条件可求出数列的首项与公差，再依据数列的性质确定的值.【数学（理）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】3．设各项均不为0的数列{an}满足(n≥1)，Sn是其前n项和，若，则S4=(A)

4 (B)(C) (D)【学问点】等比数列.D3【答案解析】D解析：由知数列是以为公比的等比数列，由于，所以，所以，故选D.【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再依据求得，进而求.【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19、（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列.（1）求数列的通项公式和；（2）若问是否存在实数，使得数列为单调递增数列？若存在，恳求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【学问点】等差数列及其前n项和；等比数列；单调递增数列的条件.D1D2D3【答案解析】(1)，；（2）存在实数，且.解析：(1)由，得：解得：．∴，．…………………5分(2)由题知．………………6分若使为单调递增数列，则=对一切n∈N*恒成立，即：对一切n∈N*恒成立，…………………10分又是单调递减的,∴当时，=-3，∴．…………………12分【思路点拨】(1)依据已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得和；（2）若数列为单调递增数列，则对一切n∈N*恒成立，即：对一切n∈N*恒成立，由此得的取值范围.【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】21．已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（6分）（Ⅱ）若,,求.（6分）【学问点】等差等比数列的通项公式；数列求和.D2,D3,D4【答案解析】(I)=2n(II)解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入,得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴=2,=2,∴=2n6分（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝6分【思路点拨】依据数列的性质可求出数列的通项，再依据数列的特点用错位相减法求和.【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】19.已知数列与，若且对任意正整数满足数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（5分）（2）求数列的前项和（7分）【学问点】数列的通项公式；数列的求和公式.D2,D3,D4【答案解析】(1)(2)解析：解：（1）由题意知数列是公差为2的等差数列又由于所以--2分当时，；当时，对不成立所以，数列的通项公式:3分（2）时，时，所以照旧适合上式综上，7分【思路点拨】依据题意可求出通式公式，再依据数列的特点对数列进行求和.【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】8．设为等比数列的前项和，已知,则公比().A．B．C．D．【学问点】等比数列D3【答案解析】B解析：解：由题意可知所以B为正确选项.【思路点拨】依据等比数列的性质可求出公比.【数学理卷·2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（202211）】18．数列的前项和为，若（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和.【学问点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（1）an=（-3）n-1（2）-(+)•(-3)n（1）∵an+1=-4Sn+1，a1=1，∴Sn=，

an=Sn-Sn-1=-=，∴4an=an-an+1，∴an+1=-3an，∴=-3，∵a1=1，

∴an=（-3）n-1．

（2）∵bn=nan=n（-3）n-1，

∴Tn=1•（-3）0+2•（-3）+3•（-3）2+…+n（-3）n-1，①

-3Tn=1•（-3）+2•（-3）2+3•（-3）3+…+n•（-3）n，②

①-②，得：

4Tn=（-3）0+（-3）+（-3）2+…+（-3）n-1-n•（-3）n

=-n•（-3）n=-(+n)•(-3)n，∴Tn=-(+)•(-3)n．【思路点拨】（1）由已知条件得Sn=，从而得到an=Sn-Sn-1=，所以=-3，再由a1=1，能求出an=（-3）n-1．

（2）由bn=nan=n（-3）n-1，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．【数学理卷·2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（202211）】14．已知等差数列的前项和是,用由此可类比得到各项均为正的等比数列的前项积（表示）【学问点】等比数列等差数列D2D3【答案解析】在等差数列{an}的前n项和为，由于等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn=故答案为：．【思路点拨】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．【数学理卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】18．已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项。（1）求数列的通项公式;（2）若,，求成立的正整数n的最小值。【学问点】等比数列，数列求和D3D4【答案解析】（1）（2）5(I)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，依题意，有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8,∴a2+a4=20∴解之得或又{an}单调递增，∴q=2,a1=2,∴(II),∴①∴②∴①-②得＝∴即故使成立的正整数n的最小值为5.【思路点拨】依据等比数列性质求出通项公式，利用错位相减求出和。【数学理卷·2021届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考（202210）word版(1)】18.（本小题满分12分）已知等差数列QUOTE的前三项和为12，且QUOTE成公比不为1的等比数列.（Ⅰ）求QUOTE的通项公式；（Ⅱ）记QUOTE，是否存在正整数QUOTE，使得QUOTE，对QUOTE恒成立？若存在，求出QUOTE的最小值；若不存在，请说明理由.【学问点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（=1\*ROMANI）=2（Ⅱ）8（=1\*ROMANI）由题意可得：,由①，所以成公比不为1的等比数列，，故=2（Ⅱ）=，由，，故，所以QUOTE，所以QUOTEQUOTE，故M的最小值为8.【思路点拨】依据等差数列等比数列性质求出通项公式，利用等比数列求和求出最小值。【数学理卷·2021届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考（202210）word版(1)】11．在各项均为正数的等比数列中，若，则=．【学问点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】由log2a2+log2a8=1，得log2（a2a8）=1，∴a2a8=2．

∵数列{an}是等比数列，∴=a2a8=2．所以=故答案为：。【思路点拨】由对数的运算性质结合已知得到log2（a2a8）=1，求出a2a8【数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】19．（本小题满分14分）已知正项数列的前项和为，，且满足。（1）求数列的通项公式；（2），。【学问点】等比数列通项、求和公式、数列前n项和与通项的关系D3【答案解析】（1），（2）（1）∵，（2分）两式相减得，（2分）由得，又（1分）∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴（2分）（2）由和的全部可能乘积（，）（1分）可构成下表（2分）设上表第一行的和为，则（2分）于是…＋＝（2分）【思路点拨】（1）由前n项和求通项公式，通常接受联立的方法求解，（2）求出通项，找出规律，再利用等比数列的前n项和即可解出。【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】19.(本小题满分12分)已知数列的首项.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【学问点】等比数列数列求和D3D4【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅰ）∵，，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，①则…，②由①②得…， ．又…．数列的前项和【思路点拨】构造新数列证明等比数列，利用错位相减求和。【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】17．（本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.【学问点】等差数列及等差数列前n项和等比数列及等比数列前n项和D2D3【答案解析】（1）,（2）（1）由于,所以,得,,（2）由于，所以得【思路点拨】依据等差数列等比数列公式求出通项公式，再依据等比数列求和求出结果。【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】9．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前10项和为A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【学问点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】D由题意可得an+1-an==2，

所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．

又由于a1=1，所以an=a1+（n-1）d=2n-1．所以ban=b2n-1=b1•22n-2=22n-2．

设cn=ban，所以cn=22n-2，所以=4，所以数列{cn}是等比数列，且公比为4，首项为1．

由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为(410-1)．故选D．【思路点拨】依据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{an}与{bn}的通项公式，进而表达出{ban}的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】17．（本小题13分）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的全部的集合；若不存在，说明理由.【学问点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．D2D3D4【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在符合条件的正整数，且全部这样的的集合为.解析：（Ⅰ），即，4分解得.5分故.6分（Ⅱ）.8分令，，.当为偶数时，因，故上式不成立；10分当为奇数时，，，.12分综上，存在符合条件的正整数，且全部这样的的集合为.13分【思路点拨】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，可求得1-（-2）n≥2021，对n的奇偶性分类争辩，即可求得答案．【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】16．（本小题13分）在中，角的对边分别为，已知，且成等比数列．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求及的值.【学问点】余弦定理的应用；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．C2C8D3【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）依题意，1分由正弦定理及3分 --6分（Ⅱ）由 由（舍去负值）8分 从而9分 .11分由余弦定理，得 代入数值，得 解得：13分【思路点拨】（Ⅰ）利用等比数列可得．再利用正弦定理可得．利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的正弦公式即可得出；（Ⅱ）先依据accosB=12知cosB＞0，再由sinB的值求出cosB的值，最终依据余弦定理可确定a，c的关系，从而确定答案．【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】17.（本小题满分10分）已知等比数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【学问点】等比数列；数列求和.D3D4【答案解析】(1)；(2)解析：（1）设等比数列的公比为，由得=1\*GB3①由得=2\*GB3②两式作比可得，所以，把代入=2\*GB3②解得，所以.（2）由（1）可得,易得数列是公比为4的等比数列，【思路点拨】（1）由已知求得等比数列的首项和公比即可；（2）由（1）求得数列的通项，再用分组求和法求数列的前项和.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】13.已知等比数列的公比为正数，且，则【学问点】等比数列的性质.D3【答案解析】解析：由于等比数列的公比为正数，>0，所以等比数列的各项为正数，所以由得，又，所以.【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件得公比，又得.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】10.数列满足，,则数列的前项的和为（）A．B.．C．D．【学问点】等差数列；等比数列；数列求和.D2D3D4【答案解析】D解析：由已知得，所以所以数列的前项的和为，故选D.【思路点拨】由已知得的通项公式，从而求得结论.【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】19．(本小题满分12分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N)，求{bn}通项公式bn【学问点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】(1)an＝2n－1.(2)bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(2n－2,n)，n≥2.))(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q整理得2q＝q2.又q≠0，解得q＝2，∴an＝2n－1.(2)当n＝1时，b1＝a1＝1；当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝eq\f(2n－2,n)，∴bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(2n－2,n)，n≥2.))【思路点拨】依据等比数列的性质求解。【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】12、已知实数的极大值点坐标为（b,c）则等于（） A．2 B．1 C．—1 D．—2【学问点】利用导数争辩函数的极值；等比数列的性质．B12D3【答案解析】A解析：∵y′=3﹣3x2=0，则x=±1，∴y′＜0，可得x＜﹣1或x＞1，y′＞0，可得﹣1＜x＜1，∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，∴x=1是极大值点，此时极大值为3﹣1=2．∴b=1，c=2又∵实数a，b，c，d成等比数列，由等比数列的性质可得：ad=bc=2．故选A.【思路点拨】先求导数，得到极大值点，从而求得b，c，再利用等比数列的性质求解.第Ⅱ卷（共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将正确答案填在相应位置上。【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】5、设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=（）A、2B、C、D、3【学问点】等比数列的前n项和.D3【答案解析】B解析：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．【思路点拨】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【数学文卷·2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】3．已知正项等比数列{}中,则()A．5B．6C．7 D.8【学问点】等比数列.D3【答案解析】C解析：由于正项等比数列{}中，所以，所以，所求==，故选C.【思路点拨】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【数学文卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】19．（本小题满分14分）数列中，已知，对，恒有成立。（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列前n项和。【学问点】等比数列，数列求和D3D4【答案解析】（1）略；（2）＝.解析：（1）证明：（方法一），又，得，（2分）由，有，两式相除得，知数列奇数项成等比，首项，公比q=4， （2分）n为奇数时，，当n为奇数时，则n＋1为偶数，由得，，故对，恒有，（定值），故数列是等比数列； （2分）（方法二），又，得，，，猜想：， （2分）下面用数学归纳法证明：（i）n＝1时，结论明显成立， （2分）（ii）设当n＝k时，结论也成立，即，当n＝k＋1时，，即，得，故对，恒有，故数列是等比数列； （2分）（2）（方法一）＝＝数列前n项和即是数列奇数项和（共3n项），（4分）则＝． （4分）（方法二）由，则,（4分），知数列是首项为，公比为的等比数列，（4分）则＝． （4分） 【思路点拨】证明数列为等比数列可接受定义法，也可接受等比中项，数列求和时，先求数列的通项，然后依据通项公式的特点，确定接受何种求和方法.【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】19.(本小题满分14分)等差数列数列满足(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和。【学问点】等差数列与等比数列的综合．D2D3【答案解析】(1)(2)解析：…………1分…………2分…………3分…………6分…………7分…………1分…………2分…………3分…………6分…………7分……………………所以，解得a1=1，d=，所以等差数列{an}的通项公式为；（2）由（1）得…………8分则…………9分…………10分所以…………10分…………13分得……………………14分【思路点拨】（1）设出等差数列的公差，利用方程组的思想求出首项和公差即可；（2）利用错位相减法求数列{bn}的前n项和．【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】19.(本小题满分12分)已知数列的首项.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【学问点】等比数列数列求和D3D4【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅰ）∵，，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，①则…，②由①②得…， ．又…．数列的前项和【思路点拨】构造新数列证明等比数列，利用错位相减求和。【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】17．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的各项均为正数，且．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【学问点】等比数列数列求和D3D4【答案解析】（Ⅰ）an=（Ⅱ

）（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．由条件可知c>0，故．由得，所以．故数列{an}的通项式为an=．（Ⅱ

）故所以数列的前n项和为【思路点拨】（1）设数列{an}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{an}的通项公式；

（2）可知{bn}为等差数列利用等差数列的求和公式可求得bn，利用裂项法，可求数列{}的前n项和．【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】7．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前10项和为A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【学问点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】D由题意可得an+1-an==2，

所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．

又由于a1=1，所以an=a1+（n-1）d=2n-1．所以ban=b2n-1=b1•22n-2=22n-2．

设cn=ban，所以cn=22n-2，所以=4，所以数列{cn}是等比数列，且公比为4，首项为1．

由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为(410-1)．故选D．【思路点拨】依据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{an}与{bn}的通项公式，进而表达出{ban}的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．D4数列求和【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】21．已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（6分）（Ⅱ）若,,求.（6分）【学问点】等差等比数列的通项公式；数列求和.D2,D3,D4【答案解析】(I)=2n(II)解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入,得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴=2,=2,∴=2n6分（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝6分【思路点拨】依据数列的性质可求出数列的通项，再依据数列的特点用错位相减法求和.【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】19.已知数列与，若且对任意正整数满足数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（5分）（2）求数列的前项和（7分）【学问点】数列的通项公式；数列的求和公式.D2,D3,D4【答案解析】(1)(2)解析：解：（1）由题意知数列是公差为2的等差数列又由于所以--2分当时，；当时，对不成立所以，数列的通项公式:3分（2）时，时，所以照旧适合上式综上，7分【思路点拨】依据题意可求出通式公式，再依据数列的特点对数列进行求和.【数学理卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】18．已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项。（1）求数列的通项公式;（2）若,，求成立的正整数n的最小值。【学问点】等比数列，数列求和D3D4【答案解析】（1）（2）5(I)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，依题意，有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8,∴a2+a4=20∴解之得或又{an}单调递增，∴q=2,a1=2,∴(II),∴①∴②∴①-②得＝∴即故使成立的正整数n的最小值为5.【思路点拨】依据等比数列性质求出通项公式，利用错位相减求出和。【数学理卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】13.已知数列满足，则数列的前n项和为.【学问点】数列求和D4【答案解析】由1+2+3+…….+n=,则，==-，的前n项和为4[（-）+（-）+…..(-)]=4(1-)=,故答案为。【思路点拨】依据裂项求和求结果。【数学理卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】19.已知等差数列的各项均为正数，，其前项和为，为等比数列,，且．(Ⅰ)求与；（Ⅱ）若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．【学问点】数列的求和．D4【答案解析】(Ⅰ)；；（Ⅱ）解析：(Ⅰ)设的公差为，且的公比为…7分（Ⅱ），∴，（10分）问题等价于的最小值大于或等于，即，即，解得。…14分【思路点拨】(Ⅰ)直接由已知求得等差数列的公差，代入等差数列的通项公式求解，再由b2S2=32求得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，然后由裂项相消法求得++…+＜，问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，由此列式求得a的取值范围．【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】19.(本小题满分12分)已知数列的首项.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【学问点】等比数列数列求和D3D4【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅰ）∵，，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，①则…，②由①②得…， ．又…．数列的前项和【思路点拨】构造新数列证明等比数列，利用错位相减求和。【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】15.已知，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为.【学问点】数列求和D4【答案解析】-4由an=(2x+1)dx=(x2+x)=n2+n，

∴==-，

∴数列{}的前项和为Sn=（1-）+（-）+…+（-）=1-=．

又bn=n-8，∴bnSn=(n-8)•==(n+1)+-10≥2-10=-4．当且仅当n+1=，即n=2时等号成立．故答案为-4．【思路点拨】求定积分得到an，则的通项可求，由裂项相消法求数列{}的前项和为Sn，代入bnSn中配方，然后利用基本不等式求最值【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】17．（本小题13分）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的全部的集合；若不存在，说明理由.【学问点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．D2D3D4【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在符合条件的正整数，且全部这样的的集合为.解析：（Ⅰ），即，4分解得.5分故.6分（Ⅱ）.8分令，，.当为偶数时，因，故上式不成立；10分当为奇数时，，，.12分综上，存在符合条件的正整数，且全部这样的的集合为.13分【思路点拨】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，可求得1-（-2）n≥2021，对n的奇偶性分类争辩，即可求得答案．【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】14．当n为正整数时，定义函数N(n)为n的最大奇因数．如N(3)＝3，N(10)＝5，….记S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．则S(3)＝；S(n)＝.【学问点】数列的求和．D4【答案解析】22；eq\f(4n＋2,3)解析：由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1.又S(1)＝N(1)＋N(2)＝2.S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋2＝22.S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)]＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]，∴S(n)＝4n－1＋S(n－1)(n≥2)，∴S(n)＝4n－1＋4n－2＋…＋41＋2＝eq\f(4n＋2,3).【思路点拨】由题设知，S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]．由此能求出S（3）．由题意当n∈N*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…从写出的这些项及S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…N（2n）利用累加法即可求得．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】20．（本小题满分12分）设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和.【学问点】已知递推公式求通项；数列前n项和求法.D1D4【答案解析】(1)；（2）.解析：（1）当时，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴（2），所以【思路点拨】（1）利用公式变形已知递推公式，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，再用裂项求和法求数列前项和.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】17.（本小题满分10分）已知等比数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【学问点】等比数列；数列求和.D3D4【答案解析】(1)；(2)解析：（1）设等比数列的公比为，由得=1\*GB3①由得=2\*GB3②两式作比可得，所以，把代入=2\*GB3②解得，所以.（2）由（1）可得,易得数列是公比为4的等比数列，【思路点拨】（1）由已知求得等比数列的首项和公比即可；（2）由（1）求得数列的通项，再用分组求和法求数列的前项和.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】10.数列满足，,则数列的前项的和为（）A．B.．C．D．【学问点】等差数列；等比数列；数列求和.D2D3D4【答案解析】D解析：由已知得，所以所以数列的前项的和为，故选D.【思路点拨】由已知得的通项公式，从而求得结论.【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】10．在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项的和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是（）A．24B．48C．60【学问点】数列求和D4【答案解析】C∵a1＞0，a10•a11＜0，∴d＜0，a10＞0，a11＜0，

∴T18=a1+…+a10-a11-…-a18=S10-（S18-S10）=60．故选C．【思路点拨】依据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列{|an|}的前18项和．【数学文卷·2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】18.（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an，求Sn.【学问点】已知递推公式求通项；数列前n项和求法.D1D4【答案解析】(1)2n；（2）(2n－