《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第六章-第6讲-数学归纳法

第6讲数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．[做一做]1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq\f(1,2)n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1 B．2C．3 D．0答案：C1．辨明两个易误点(1)数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是其次步，证题时应留意：①必需利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或削减了哪些项．2．明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不行．第一步是递推的基础，其次步是递推的依据，其次步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时确定要运用它，否则就不是数学归纳法．其次步的关键是“一凑假设，二凑结论”．[做一做]2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增加的代数式是()A．2k＋2 B．2k＋3C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)答案：D,[同学用书P116～P117])eq\a\vs4\al(考点一)__用数学归纳法证明等式______________用数学归纳法证明：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2n（2n＋2）)＝eq\f(n,4（n＋1）)(n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，左边＝eq\f(1,2×1×（2×1＋2）)＝eq\f(1,8)，右边＝eq\f(1,4×（1＋1）)＝eq\f(1,8).左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k（2k＋2）)＝eq\f(k,4（k＋1）)，则当n＝k＋1时，eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k（2k＋2）)＋eq\f(1,2（k＋1）[2（k＋1）＋2])＝eq\f(k,4（k＋1）)＋eq\f(1,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k（k＋2）＋1,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(（k＋1）2,4（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(k＋1,4（k＋2）)＝eq\f(k＋1,4（k＋1＋1）).所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．[规律方法]用数学归纳法证明恒等式应留意：(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不行少)．(2)“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立”并写出命题形式分析“n＝k＋1”时命题是什么，然后找出与“n＝k”时命题形式的差别．(3)弄清左端应增加或削减的项，明确等式左端变形目标，把握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不行少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．1.设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－1))＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（k＋1）－\f(1,k＋1)))－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论照旧成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．eq\a\vs4\al(考点二)__用数学归纳法证明不等式____________设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1,an)(n＝1，2，…)．证明：an＞eq\r(2n＋1)对一切正整数n都成立．[证明]当n＝1时，a1＝2＞eq\r(2×1＋1)，不等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＞eq\r(2k＋1)成立．那么当n＝k＋1时，aeq\o\al(2,k＋1)＝aeq\o\al(2,k)＋eq\f(1,aeq\o\al(2,k))＋2＞2k＋3＋eq\f(1,aeq\o\al(2,k))＞2(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，ak＋1＞eq\r(2（k＋1）＋1)成立．综上，an＞eq\r(2n＋1)对一切正整数n都成立．[规律方法]数学归纳法证明不等式应留意：(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他方法不简洁证，则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可接受分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．2.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，aeq\o\al(2,n＋1)＋an＋1－1＝aeq\o\al(2,n).求证：当n∈N*时，an<an＋1.证明：(1)当n＝1时，由于a2是方程aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0的正根，所以a1<a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1，则由aeq\o\al(2,k＋1)－aeq\o\al(2,k)＝(aeq\o\al(2,k＋2)＋ak＋2－1)－(aeq\o\al(2,k＋1)＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，得ak＋1<ak＋2，即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立．依据(1)和(2)，可知an<an＋1对任何n∈N*都成立．eq\a\vs4\al(考点三)__归纳—猜想—证明____________________已知数列{xn}满足x1＝eq\f(1,2)，xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论。[解]由x1＝eq\f(1,2)及xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，得x2＝eq\f(2,3)，x4＝eq\f(5,8)，x6＝eq\f(13,21).由x2>x4>x6，猜想：数列{x2n}是递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，已证命题成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么x2k＋2－x2k＋4＝eq\f(1,1＋x2k＋1)－eq\f(1,1＋x2k＋3)＝eq\f(x2k＋3－x2k＋1,（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋3）)＝eq\f(\f(1,1＋x2k＋2)－\f(1,1＋x2k),（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋3）)＝eq\f(x2k－x2k＋2,（1＋x2k）（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋2）（1＋x2k＋3）)>0，即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合①和②知命题成立．[规律方法]“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观看有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探究性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．3.(2021·江苏南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推想an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)将n＝1，2，3分别代入可得a1＝eq\f(3,2)，a2＝eq\f(7,4)，a3＝eq\f(15,8)，猜想an＝2－eq\f(1,2n).(2)证明：①由(1)得n＝1时，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即ak＝2－eq\f(1,2k)，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，∴2ak＋1＝2＋2－eq\f(1,2k)，ak＋1＝2－eq\f(1,2k＋1)，即当n＝k＋1时，命题也成立．依据①、②得，对一切n∈N*，an＝2－eq\f(1,2n)都成立．

1．假如命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是()A．p(n)对全部正整数n都成立B．p(n)对全部正偶数n都成立C．p(n)对全部正奇数n都成立D．p(n)对全部自然数n都成立解析：选B.由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对全部正偶数都成立．2．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的其次步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)解析：选B.∵n为正奇数，∴n＝2k－1(k∈N*)．4．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.eq\f(1,（n－1）（n＋1）) B.eq\f(1,2n（2n＋1）)C.eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）) D.eq\f(1,（2n＋1）（2n＋2）)解析：选C.由a1＝eq\f(1,3)，Sn＝n(2n－1)an，求得a2＝eq\f(1,15)＝eq\f(1,3×5)，a3＝eq\f(1,35)＝eq\f(1,5×7)，a4＝eq\f(1,63)＝eq\f(1,7×9).猜想an＝eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）).5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增加的代数式是________．解析：∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)26．(2021·皖南三校联考)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________．(n≥1，n是自然数)解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.答案：4n2－n＋27．(2022·高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由题意知S2＝4a3－20，∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，结论明显成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＝2k＋1，则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝eq\f(k[3＋（2k＋1）],2)＝k(k＋2)．又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，对于∀n∈N*，an＝2n＋1.8．设实数c>0,整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.证明：用数学归纳法证明．①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋