【优化设计】2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第一章1.5.3知能演练轻松闯关

1．定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的大小()A．与y＝f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与y＝f(x)有关，与积分区间[a，b]和ξi的取法无关C．与y＝f(x)和ξi的取法有关，与积分区间[a，b]无关D．与y＝f(x)、积分区间[a，b]、ξi的取法均无关解析：选A.定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关．2．下列结论中成立的个数是()①eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)；②eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(i－13,n3)·eq\f(1,n)；③eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n).A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.积分是一个极限的形式，依据积分的定义可知②③正确．3．(2021·铜陵质检)定积分eq\i\in(1,3,)(－3)dx等于()A．－6 B．6C．－3 D．3解析：选A.eq\i\in(1,3,)3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝eq\a\vs4\al(－\i\in(1,3,))3dx＝－6.4．已知函数f(x)＝sin5x＋1，依据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f(x)dx的值，结果是()A.eq\f(1,6)＋eq\f(π,2) B．πC．1 D．0解析：选B.(sin5x＋1)dx＝sin5xdx＋1dx，∵y＝sin5x在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上是奇函数，∴sin5xdx＝0.而1dx＝＝π，故f(x)dx＝π，故选B.5．设a＝eq\i\in(0,1,)xeq\f(1,3)dx，b＝eq\i\in(0,1,)x2dx，c＝eq\i\in(0,1,)x3dx，则a，b，c的大小关系是()A．c＞a＞b B．a＞b＞cC．a＝b＞c D．a＞c＞b解析：选B.依据定积分的几何意义，易知eq\i\in(0,1,)x3dx＜eq\i\in(0,1,)x2dx＜eq\i\in(0,1,)xeq\f(1,3)dx，即a＞b＞c，故选B.6．(2021·淄博调研)定积分eq\i\in(0,1,)(2＋eq\r(1－x2))dx＝________.解析：原式＝eq\i\in(0,1,)2dx＋eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx.∵eq\i\in(0,1,)2dx＝2，eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,4)，∴eq\i\in(0,1,)(2＋eq\r(1－x2))dx＝eq\f(π,4)＋2.答案：eq\f(π,4)＋27．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sinx围成的平面图形的面积可用定积分表示为________．解析：因y＝x3＋sinx为奇函数，故eq\i\in(,0,)－1(x3＋sinx)dx＝－eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx＜0，所以S＝2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx.答案：2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx8.(2021·成都高二检测)若y＝f(x)的图象如图所示，定义F(x)＝eq\i\in(0,x,)f(t)dt，x∈[0,1]，则下列对F(x)的性质描述正确的有________．(1)F(x)是[0,1]上的增函数；(2)F′(1)＝0；(3)F(x)是[0,1]上的减函数；(4)∃x0∈[0,1]使得F(1)＝f(x0)．解析：由定积分的几何意义可知，F(x)表示图中阴影部分的面积，且F(1)＝eq\i\in(0,1,)f(t)dt为一个常数，当x渐渐增大时，阴影部分的面积也渐渐增大，所以F(x)为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必定∃x0∈[0,1]，使S1＝S2，此时矩形ABCO的面积与函数f(x)的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F(1)＝eq\i\in(0,1,)f(t)dt＝f(x0)，故(4)正确．所以对F(x)的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)．答案：(1)(2)(4)9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：解：(1)sinxdx.(2)eq\i\in(-4,2,)eq\i\in(,2,)－4eq\f(1,2)x2dx.(3)－eq\i\in(4,9,)－xeq\f(1,2)dx＝eq\i\in(4,9,)xeq\f(1,2)dx.10．已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.解：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3(eq\i\in(0,1,)x3dx＋eq\i\in(1,2,)x3dx)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx＝6(eq\i\in(1,2,)x2dx＋eq\i\in(2,4,)x2dx)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝－eq\f(1,2).1．将和式的极限eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)(p＞0)表示成定积分为()A.eq\i\in(0,1,)eq\f(1,x)dx B.eq\i\in(0,1,)xpdxC.eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))pdx D.eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,n)))pdx解析：选B.令ξi＝eq\f(i,n)，f(x)＝xp，则eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)f(ξi)＝eq\i\in(0,1,)xpdx.故选B.2．将(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n))表示为定积分为________．解析：由定积分的定义(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n))＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(1,\f(i,n)＋1))·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(n,n＋i))·eq\f(1,n)＝eq\i\in(0,1,)eq\f(1,1＋x)dx.答案：eq\i\in(0,1,)eq\f(1,1＋x)dx3．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))求eq\i\in(0,2,)f(x)dx.解：∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4，x>1，,x＋1，0≤x≤1，))∴eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(x＋1)dx＋eq\i\in(1,2,)(－2x＋4)dx.又由定积分的几何意义得eq\i\in(0,1,)(x＋1)dx＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，eq\i\in(1,2,)(－2x＋4)dx＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\f(3,2)＋1＝eq\f(5,2).4．抛物线y＝eq\f(1,2)x2将圆面x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为eq\f(1,4)＋eq\f(1,6π)，求eq\i\in(0,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1,2)x2)dx.解：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝8，,y＝\f(1,2)x2，))得x＝±2.∴阴影部分的面积为eq\i\in(-2,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1